오일러 방법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.Active Calculus · 7.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

초깃값 문제의 해를 근사할 때 오차는 $\Delta t$ 에 비례함을 보았다. 즉, $E_{\Delta t}$ 가 $\overline{t}$ 에서 초깃값 문제의 해에 대한 오일러 방법의 근삿값이라면

$y(\overline{t})-E_{\Delta t} \approx K\Delta t$

를 만족하는 비례상수 $K$ 가 있다.

이 문제에서는 이 사실을 이용하여 가속 수렴이라는 아이디어로 추정값을 개선하는 방법을 알아본다.

(a) 오차가 $\Delta t$ 에 정확히 비례한다고 가정하여, 다음 식에 따라 새로운 근삿값을 만들어 보자. $y(\overline{t})-E_{\Delta t} =K\Delta t\,.$ 초깃값 문제 $dy/dt = y$ , $y(0)=1$ 에서 $\Delta t = 0.2$ 와 $\Delta t = 0.1$ 일 때 앞에서 얻은 결과를 이용하면 다음과 같다. $\begin{aligned}y(1) - 2.4883 =\mathstrut & 0.2K \\ y(1) - 2.5937 =\mathstrut & 0.1K\end{aligned}\,.$ 이것은 미지수 $y(1)$ 과 $K$ 에 대한 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식이다. 이 연립방정식을 풀어 $y(1)$ 의 새로운 근삿값을 구하세요. (정확한 값은 $y(1) = e = 2.71828\ldots$ 임을 기억할 것이다.) (b) 다른 자료인 $E_{0.05} = 2.6533$ 과 $E_{0.025} = 2.6851$ 을 이용하여 (a)와 비슷한 방법으로 또 다른 근삿값을 구하세요. 어느 쪽이 더 좋은 근삿값인가요? 그 이유는 무엇이라고 생각하나요? (c) 이제 초깃값 문제 $\frac{dy}{dt} = t-y, \ y(0) = 0$ 을 살펴보자. 오일러 방법을 적용하여 근삿값 $E_{0.1}$ 과 $E_{0.05}$ 를 구하고 이를 이용해 $y(0.3)$ 을 어림하세요. 그런 다음 가속 수렴의 아이디어를 이용하여 더 좋은 근삿값을 구하세요. (비교를 위해, 실제 값은 $y(0.3) = 0.0408$ 임을 참고하세요.)

영어 원문 보기

We have seen that the error in approximating the solution to an initial value problem is proportional to $\Delta t$ . That is, if $E_{\Delta t}$ is the Euler's method approximation to the solution to an initial value problem at $\overline{t}$ , then

$y(\overline{t})-E_{\Delta t} \approx K\Delta t$

for some constant of proportionality $K$ .

In this problem, we will see how to use this fact to improve our estimates, using an idea called accelerated convergence.

(a) We will create a new approximation by assuming the error is exactly proportional to $\Delta t$ , according to the formula $y(\overline{t})-E_{\Delta t} =K\Delta t\,.$ Using our earlier results from the initial value problem $dy/dt = y$ and $y(0)=1$ with $\Delta t = 0.2$ and $\Delta t = 0.1$ , we have $\begin{aligned}y(1) - 2.4883 =\mathstrut & 0.2K \\ y(1) - 2.5937 =\mathstrut & 0.1K\end{aligned}\,.$ This is a system of two linear equations in the unknowns $y(1)$ and $K$ . Solve this system to find a new approximation for $y(1)$ . (You may remember that the exact value is $y(1) = e = 2.71828\ldots$ .) (b) Use the other data, $E_{0.05} = 2.6533$ and $E_{0.025} = 2.6851$ to do similar work as in (a) to obtain another approximation. Which gives the better approximation? Why do you think this is? (c) Let's now study the initial value problem $\frac{dy}{dt} = t-y, \ y(0) = 0\,.$ Approximate $y(0.3)$ by applying Euler's method to find approximations $E_{0.1}$ and $E_{0.05}$ . Now use the idea of accelerated convergence to obtain a better approximation. (For the sake of comparison, you want to note that the actual value is $y(0.3) = 0.0408$ .)

정답·풀이 보기

(a) 일차방정식으로 이루어진 연립방정식 $\begin{aligned}y(1) - 2.4883 =\mathstrut & 0.2K \\ y(1) - 2.5937 =\mathstrut & 0.1K\end{aligned}$ 에서 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 $y(1)$ 이 소거된다. 이렇게 하면 $-2.4883 - (-2.5937) = 0.2K - 0.1K$ 이므로 $0.1054 = 0.1K$ 이고, 따라서 $K = 1.054$ 이다. 이 값을 연립방정식의 첫째 식에 대입하면 $y(1) - 2.4883 = 0.2(1.054)$ 이므로 $y(1) = 0.2(1.054) + 2.4883 = 2.6991$ 이다. (b) $E_{0.05} = 2.6533$ 과 $E_{0.025} = 2.6851$ 이므로, 이 자료로부터 비슷한 연립일차방정식 $\begin{aligned}y(1) - 2.6533 =\mathstrut & 0.05K \\ y(1) - 2.6851 =\mathstrut & 0.025K\end{aligned}\,.$ 을 얻는다. 이 연립방정식을 풀면 $K = 1.272$ , $y(1) = 2.7169$ 이다. $y(1)$ 의 참값이 $e = 2.71828\ldots$ 이므로 (b)의 근삿값이 훨씬 더 좋음을 알 수 있다. 이는 예상된 결과인데, (a)에서 쓴 더 작은 $\Delta t$ 값을 두 번 반으로 줄인 $\Delta t = 0.05$ 와 $\Delta t = 0.025$ 를 사용하여 이미 더 좋은 근삿값에서 출발하기 때문이다. (c) $E_{0.1}$ 과 $E_{0.05}$ 를 계산하기 위해 먼저 $\Delta t = 0.1$ 과 $\Delta t = 0.5$ 를 사용하여 $y(0.3)$ 의 추정값을 구한다. 이렇게 구하고 (a), (b)에서처럼 오차에 대해 비슷한 가정을 하면, $\Delta t = 0.1$ 일 때 $y(1) \approx 0.0290$ , $\Delta t = 0.05$ 일 때 $y(1) \approx 0.0351$ 이므로 다음 연립방정식을 생각한다. $\begin{aligned}y(0.3) - 0.0290 &= 0.1K \\ y(0.3) - 0.0351 &= 0.05K\end{aligned}\,.$ 이 연립방정식을 풀면 $K = (-0.0290 + 0.0351)/0.05 = 0.122$ 이고 $y(0.3) = 0.1(0.122) + 0.0290 = 0.0412$ 이며, 이는 실제 값 $y(0.3) = 0.0408$ 에 훨씬 더 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) To solve the linear system $\begin{aligned}y(1) - 2.4883 =\mathstrut & 0.2K \\ y(1) - 2.5937 =\mathstrut & 0.1K\end{aligned}$ we subtract the second equation from the first to eliminate $y(1)$ . Doing so, we find that $-2.4883 - (-2.5937) = 0.2K - 0.1K$ so that $0.1054 = 0.1K$ and thus $K = 1.054$ . Substituting this value into the first equation in the system, it follows that $y(1) - 2.4883 = 0.2(1.054)$ so $y(1) = 0.2(1.054) + 2.4883 = 2.6991$ . (b) Recalling that $E_{0.05} = 2.6533$ and $E_{0.025} = 2.6851$ , it follows that this data generates the similar linear system given by $\begin{aligned}y(1) - 2.6533 =\mathstrut & 0.05K \\ y(1) - 2.6851 =\mathstrut & 0.025K\end{aligned}\,.$ Solving this system yields $K = 1.272$ and $y(1) = 2.7169$ . Knowing that the true value of $y(1)$ is $e = 2.71828\ldots$ , we see that the approximation here in (b) is much better. That is expected because we are already working with better approximations that come from using $\Delta t = 0.05$ and $\Delta t = 0.025$ , which have been twice halved from the smaller $\Delta t$ value in (a). (c) To compute $E_{0.1}$ and $E_{0.05}$ , we first compute the estimates to $y(0.3)$ using $\Delta t = 0.1$ and $\Delta t = 0.5$ . Doing so and making similar assumptions about the error as we did in (a) and (b), we find that for $\Delta t = 0.1$ , $y(1) \approx 0.0290$ and for $\Delta t = 0.05$ , $y(1) \approx 0.0351$ , and therefore we consider the system $\begin{aligned}y(0.3) - 0.0290 &= 0.1K \\ y(0.3) - 0.0351 &= 0.05K\end{aligned}\,.$ Solving the system, it follows that $K = (-0.0290 + 0.0351)/0.05 = 0.122$ and $y(0.3) = 0.1(0.122) + 0.0290 = 0.0412$ , which is much closer to the actual value of $y(0.3) = 0.0408$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.3절 · 6번

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