문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

지수적 증가와 감소

y'=ky로 인구 증가, 방사성 붕괴(연대 측정), 냉각 법칙을 다룬다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 3.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

어떤 물체가 뉴턴의 냉각 법칙을 따르고, 그 물체의 온도가 어떤 상수 $k$ 에 대해 $T(t)=[T(0)-A]e^{kt}+A$ 로 주어진다고 하자. $T(t)=A$ 가 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose an object obeys Newton's Law of Cooling, and its temperature is given by $T(t)=[T(0)-A]e^{kt}+A$ for some constant $k$ . At what time is $T(t)=A$ ?

정답·풀이 보기

우리가 알고 싶은 것은 다음이 성립하는 때이다.

$\begin{aligned} [T(0)-A]e^{kt}+A&=A \\ \text{즉, 다음과 같을 때} \\ [T(0)-A]e^{kt}&=0 \\ \text{모든 $k$ 와 $t$ 의 값에 대해 $e^{kt}>0$ 이므로, 이는 다음과 같을 때에만 일어난다} \\ T(0)-A=0 \end{aligned}$

따라서 물체의 처음 온도가 주위 온도와 같지 않으면, 이 모델에 따르면 물체의 온도는 결코 주위 온도와 같아지지 않는다! (그러나 $t$ 가 점점 커질수록 $T(t)$ 는 $A$ 에 점점 가까워지며, 다만 정확히 $A$ 에 도달하지는 않는다.)

물체의 처음 온도가 주위 온도와 같으면 $t$ 의 모든 값에 대해 $T(t)=A$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We want to know when

$\begin{aligned} [T(0)-A]e^{kt}+A&=A \\ \text{That is, when} \\ [T(0)-A]e^{kt}&=0 \\ \text{Since $e^{kt}>0$ for all values of $k$ and $t$, this happens exactly when} \\ T(0)-A=0 \end{aligned}$

So: if the initial temperature of the object is not the same as the ambient temperature, then according to this model, it never will be! (However, as $t$ gets larger and larger, $T(t)$ gets closer and closer to $A$ –it just never exactly reaches there.)

If the initial temperature of the object starts out the same as the ambient temperature, then $T(t)=A$ for all values of $t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 7번

# 지수적 증가와 감소활용기본자동 분류

2.CLP-1 · 3.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

시각 $t$ 에서의 인구가 맬서스 모형 $P(t)=P(0)e^{bt}\text{ 어떤 양의 상수 $b$ 에 대해}$ 으로 주어졌다고 하자. $\displaystyle \lim_{t \to \infty}P(t)$ 의 값을 구하세요. 이 모형은 $t$ 의 값이 클 때 타당한가요?

영어 원문 보기

Let a population at time $t$ be given by the Malthusian model, $P(t)=P(0)e^{bt}\text{ for some positive constant $b$.}$ Evaluate $\displaystyle \lim_{t \to \infty}P(t)$ . Does this model make sense for large values of $t$ ?

정답·풀이 보기

$b$ 가 양의 상수이므로 $\displaystyle \lim_{t \to \infty}e^{bt}=\infty$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty}P(t)&=\lim_{t \to \infty} P(0)e^{bt} =\left\{\begin{array}{cc} 0&P(0)=0\text{ 일 때}\\ \infty&P(0)>0\text{ 일 때} \end{array}\right. \end{aligned}$

이다.

$P(0)=0$ 이면 이 모형은 단순히 “개체가 하나도 없이 시작한 인구는 영원히 개체가 없는 상태로 남는다”고 말하는 것이며, 이는 분명히 타당하다. $P(0) \neq 0$ 이면 (인구가 음수일 수는 없으므로) $P(0)>0$ 이고, 이 모형은 “어떤 개체들로 시작한 인구는 충분한 시간이 주어지면 상상할 수 있는 어떤 거대한 수에도 이르게 된다”고 말한다. 이것은 그다지 타당하지 않다. 인구는 자원의 부족 등으로 인해 어느 유한한 크기까지만 증가한다. 맬서스 모형을 유도할 때는 순출생률이 상수라고, 즉 (개체당) 출생률과 사망률이 인구에 의존하지 않는다고 가정하는데, 이는 장기적으로는 합리적인 가정이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $b$ is a positive constant, $\displaystyle \lim_{t \to \infty}e^{bt}=\infty$ . Therefore:

$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty}P(t)&=\lim_{t \to \infty} P(0)e^{bt} =\left\{\begin{array}{cc} 0&\text{ if }P(0)=0\\ \infty&\text{ if }P(0)>0 \end{array}\right. \end{aligned}$

If $P(0)=0$ , then the model simply says “a population that starts with no individuals continues to have no individuals indefinitely," which certainly makes sense. If $P(0) \neq 0$ , then (since we can't have a negative population) $P(0)>0$ , and the model says “a population that starts out with some individuals will end up with any gigantically huge number you can think of, given enough time." This one doesn't make so much sense. Populations only grow to a certain finite amount, due to scarcity of resources and such. In the derivation of the Malthusian model, we assume a constant net birth rate–that the birth and death rates (per individual) don't depend on the population, which is not a reasonable assumption long-term.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 3번

# 지수적 증가와 감소활용기본자동 분류