지수적 증가와 감소 연습문제

1.CLP-1 · 3.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

아이작 뉴턴은 커피에 크림을 넣어 마십니다. 정확히 말하면 커피 9 : 크림 1의 비율입니다. 집주인 아주머니가 $95^\circ$ C의 커피를 한 잔 따라 주면, 뉴턴은 $5^\circ$ C의 냉장고에서 꺼낸 크림을 그 커피에 넣고 젓습니다. 10분 뒤에 그 혼합물을 마실 때 보니 $54^\circ$ C로 식어 있었습니다. 뉴턴은 마시기 직전에 크림을 넣었다면 커피가 더 뜨거웠을지(그리고 얼마나 더 뜨거웠을지) 궁금해합니다. 다음을 가정하고 이 문제를 분석하세요.

(i) 식당의 온도는 $22^\circ$ C로 일정하다. (ii) 온도가 $T_1$ 인 액체의 부피 $V_1$ 과 온도가 $T_2$ 인 액체의 부피 $V_2$ 를 섞으면, 혼합물의 온도는 $\dfrac{V_1T_1+V_2T_2}{V_1+V_2}$ 이다. (iii) 뉴턴의 냉각 법칙: 물체의 온도는 물체와 주변의 온도 차에 비례하는 비율로 식는다. (iv) 크림을 넣은 커피 한 잔과 순수한 커피 한 잔의 비례상수는 같다.

영어 원문 보기

Isaac Newton drinks his coffee with cream. To be exact, 9 parts coffee to 1 part cream. His landlady pours him a cup of coffee at $95^\circ$ C into which Newton stirs cream taken from the icebox at $5^\circ$ C. When he drinks the mixture ten minutes later, he notes that it has cooled to $54^\circ$ C. Newton wonders if his coffee would be hotter (and by how much) if he waited until just before drinking it to add the cream. Analyze this question, assuming that:

(i) The temperature of the dining room is constant at $22^\circ$ C. (ii) When a volume $V_1$ of liquid at temperature $T_1$ is mixed with a volume $V_2$ at temperature $T_2$ , the temperature of the mixture is $\dfrac{V_1T_1+V_2T_2}{V_1+V_2}$ . (iii) Newton's Law of Cooling: The temperature of an object cools at a rate proportional to the difference in temperature between the object and its surroundings. (iv) The constant of proportionality is the same for the cup of coffee with cream as for the cup of pure coffee.

정답·풀이 보기

첫 번째 경우: 시각 $0$ 에 뉴턴은 온도가 $95^\circ$ C 인 커피 9 와 온도가 $5^\circ$ C 인 크림 1 을 섞는다. 그 결과 혼합물의 온도는 $\frac{9\times 95+1\times 5}{9+1}=86^\circ$ 이다. 이 혼합물은 처음 온도 86 $^\circ$ , 주변 온도 22 $^\circ$ 로 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 식는다.

$\begin{aligned} T(t)&=[86-22]e^{-kt}+22\\ T(t)&=64e^{-kt}+22 \\ \text{10분 후,} \\ 54=T(10)&=22+64e^{-10 k}\\ e^{-10 k}&=\frac{54-22}{64}=\frac{1}{2} \end{aligned}$

이로부터 $k$ 를 계산할 수 있지만 그럴 필요는 없다.

두 번째 경우: 시각 $0$ 에 뉴턴은 온도가 $95^\circ$ C 인 뜨거운 커피를 받는다. 이 커피는 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 식는다.

$\begin{aligned} T(t)=[T(0)-22]e^{-kt}+22 \end{aligned}$

이 두 번째 경우에서 $T(0)=95$ 이므로 $T(t)=[95-22]e^{-kt}+22=73e^{-kt}+22$ 이다. $k$ 의 값은 첫 번째 경우와 같으므로 10분 후에 $T(10)=22+73e^{-10k}=22+73\frac{1}{2}=58.5$ 이다. 이 식은 커피를 차가운 크림과 섞으면 혼합물의 온도는 $\frac{9\times 58.5+1\times 5}{9+1}=53.15$ 가 된다.

두 번째 경우(마시기 직전에 크림을 넣는 경우)에는 커피가 $0.85^\circ$ C $\,$ 더 차가워진다.

원본 교재 풀이(영어)

First scenario: At time $0$ , Newton mixes 9 parts coffee at temperature $95^\circ$ C with 1 part cream at temperature $5^\circ$ C. The resulting mixture has temperature $\frac{9\times 95+1\times 5}{9+1}=86^\circ$ The mixture cools according to Newton's Law of Cooling, with initial temperature 86 $^\circ$ and ambient temperature 22 $^\circ$ :

$\begin{aligned} T(t)&=[86-22]e^{-kt}+22\\ T(t)&=64e^{-kt}+22 \\ \text{After 10 minutes,} \\ 54=T(10)&=22+64e^{-10 k}\\ e^{-10 k}&=\frac{54-22}{64}=\frac{1}{2} \end{aligned}$

We could compute $k$ from this, but we don't need it.

Second scenario: At time $0$ , Newton gets hot coffee at temperature $95^\circ$ C. It cools according to Newton's Law of Cooling

$\begin{aligned} T(t)=[T(0)-22]e^{-kt}+22 \end{aligned}$

In this second scenario, $T(0)=95$ , so $T(t)=[95-22]e^{-kt}+22=73e^{-kt}+22$ The value of $k$ is the same as in the first scenario, so after 10 minutes $T(10)=22+73e^{-10k}=22+73\frac{1}{2}=58.5$ This cooled coffee is mixed with cold cream to yield a mixture of temperature $\frac{9\times 58.5+1\times 5}{9+1}=53.15$

Under the second (add cream just before drinking) scenario, the coffee ends up cooler by $0.85^\circ$ C $\,$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 1번

# 지수적 증가와 감소활용도전자동 분류

2.CLP-1 · 3.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

아이스티 한 잔의 온도가 처음에 $5^\circ$ 이다. 공기의 온도가 $30^\circ$ 인 방에서 5분이 지나자 차의 온도가 $10^\circ$ 로 올랐다.

(a) 뉴턴의 냉각 법칙을 이용하여 시각 $t$ 에서의 온도 $T(t)$ 에 대한 미분방정식을 구하세요. (b) 차의 온도가 $20^\circ$ 에 도달하는 때를 구하세요.

영어 원문 보기

The temperature of a glass of iced tea is initially $5^\circ$ . After 5 minutes, the tea has heated to $10^\circ$ in a room where the air temperature is $30^\circ$ .

(a) Use Newton's law of cooling to obtain a differential equation for the temperature $T(t)$ at time $t$ . (b) Determine when the tea will reach a temperature of $20^\circ$ .

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 냉각 법칙에 의해 온도의 변화율은 $T(t)$ 와 주변 온도의 차에 비례하며, 이 문제에서 주변 온도는 $30^\circ$ 이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=k[T(t)-30]$ 이다. 여기서 $k$ 는 비례상수이다. (a)를 풀려면 $k$ 만 구하면 된다.

뉴턴의 냉각 법칙에 따르면 시각 $t$ 에서의 온도는 다음과 같다.

$\begin{aligned} T(t)&=[T(0)-A]e^{kt}+A\\ &=[5-30]e^{kt}+30\\ &=-25e^{kt}+30 \\ \text{$T(5)=10$이 주어져 있다:} \\ 10&=-25e^{5k}+30\\ 25e^{5k}&=20\\ e^{5k}&=\frac{4}{5}\\ 5k&=\log(4/5)\\ k&=\tfrac{1}{5}\log(4/5) \\ \text{따라서 미분방정식은 다음과 같다} \\ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}(t)&=\frac{1}{5}\log(4/5)[T(t)-30] \end{aligned}$ (b) $T(t)=30-25e^{kt}$ 이므로 차의 온도가 $20^\circ$ 가 되는 때는 다음과 같다.

$\begin{aligned} 30-25 e^{kt}&=20\\ e^{kt}&=\frac{10}{25}\\ kt&=\log\left(\frac{10}{25}\right)\\ t&=\frac{1}{k}\log\frac{2}{5}\\ &=\frac{5\log(2/5)}{\log(4/5)}\\ &\approx{20.53 ~\mathrm{ min}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) By Newton's law of cooling, the rate of change of temperature is proportional to the difference between $T(t)$ and the ambient temperature, which in this case is $30^\circ$ . Thus $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=k[T(t)-30]$ for some constant of proportionality $k$ . To answer part (a), all we have to do is find $k$ .

Under Newton's Law of Cooling, the temperature at time $t$ will be given by

$\begin{aligned} T(t)&=[T(0)-A]e^{kt}+A\\ &=[5-30]e^{kt}+30\\ &=-25e^{kt}+30 \\ \text{We are told $T(5)=10$:} \\ 10&=-25e^{5k}+30\\ 25e^{5k}&=20\\ e^{5k}&=\frac{4}{5}\\ 5k&=\log(4/5)\\ k&=\tfrac{1}{5}\log(4/5) \\ \text{So, the differential equation is} \\ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}(t)&=\frac{1}{5}\log(4/5)[T(t)-30] \end{aligned}$ (b) Since $T(t)=30-25e^{kt}$ , the temperature of the tea is $20^\circ$ when

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 4번

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