문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

미분법 전체 문제

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

22문제 · 2 / 2쪽

21.OpenStax 2권 · 7.2절 · 4번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수로 나타낸 식은 각각 직선을 나타내요. 매개변수를 없애지 말고 각 직선의 기울기를 구하세요.

$x=-5t+7,\ \ y=3t-1$

영어 원문 보기

For the following exercises, each set of parametric equations represents a line. Without eliminating the parameter, find the slope of each line.

$\begin{array}{cc}x=-5t+7, & y=3t-1\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

기울기 $\frac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ 를 쓰면 매개변수를 없애지 않아도 돼요.

1
매개변수 $t$ 로 나타낸 곡선의 기울기는 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 예요. 분자·분모를 각각 $t$ 로 미분해서 나눠요.
2
$\frac{dx}{dt}=-5$ , $\frac{dy}{dt}=3$ 이에요.
3
$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{-5}=-\frac35$

답

$-\frac35$

자주 하는 실수

분자와 분모를 거꾸로 나누어 $-\frac53$ 이라고 쓰기 쉬워요. $y$ 의 변화량이 분자예요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{-3}{5}$

22.OpenStax 2권 · 7.2절 · 32번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수의 주어진 값에서 $\frac{dy}{dx}$ 의 값을 구하세요.

$x=\cos t,\ \ y=\sin t,\ \ t=\frac{3\pi}{4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $dy/dx$ at the value of the parameter.

$\begin{array}{cc}x=\cos \,t, & y=\sin \,t,\quad t=\frac{3\pi }{4}\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 를 먼저 $t$ 의 식으로 구한 뒤 $t$ 값을 넣어요.

1
매개변수 곡선의 기울기는 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 예요. 먼저 각각 미분해요. $\frac{dx}{dt}=-\sin t$ , $\frac{dy}{dt}=\cos t$ 예요.
2
$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}$
3
$t=\frac{3\pi}{4}$ 에서 $\cos t=-\frac{\sqrt2}{2}$ , $\sin t=\frac{\sqrt2}{2}$ 이므로 $\frac{dy}{dx}=-\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1$
4
검산해요. 이 곡선은 단위원이고, 원 위의 점 $\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$ 에서 반지름의 기울기는 $-1$ 이에요. 접선은 반지름에 수직이므로 기울기는 $1$ 이에요.

답

$1$

자주 하는 실수

$\frac{dx}{dt}=-\sin t$ 의 부호를 빠뜨리면 답이 $-1$ 이 돼요.

원본 교재 풀이(영어)