미분법 전체 문제

먼저 $\theta=\pi$ 를 그대로 넣어 봐요.

$$\frac{\sin\pi}{\tan\pi}=\frac{0}{0}$$

$0/0$ 꼴이라 값을 바로 알 수 없으니 식을 바꿔야 해요.

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 를 써서 분모를 바꿔요.

$$\frac{\sin\theta}{\tan\theta}=\frac{\sin\theta}{\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}}=\sin\theta\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

$\theta\neq\pi$ 인 동안 $\sin\theta\neq0$ 이므로 약분할 수 있어요. 식이 $\cos\theta$ 가 돼요.

$$\lim_{\theta\to\pi}\cos\theta=\cos\pi=-1$$

(a) $a=0.5$, $n=5$이면 $f(x)=\frac{0.5x^2}{25+x^2}$이에요. 원점에서 출발해 처음에는 천천히 오르다가 점점 빨라지고, 그 뒤 다시 완만해지며 $x=10$에서 $f(10)=\frac{50}{125}=0.4$ 근처에 이르는 S자 모양이에요. 그림도 같아요. 홀링 2형 식은 문제에 주어지지 않았지만, 보통 처음부터 가파르게 오르다 완만해지는 모양이라서 3형은 초반에 평평하게 시작한다는 점이 달라요.

(b) 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$을 써요. $u=ax^2$, $v=n^2+x^2$이면 $$f'(x)=\frac{2ax(n^2+x^2)-ax^2\cdot2x}{(n^2+x^2)^2}=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$$ $x>0$에서 $f'(x)>0$이므로 먹이가 늘면 포식자의 섭취(성장)가 늘어난다는 뜻이에요.

(c) $f'(x)=2an^2\,x(n^2+x^2)^{-2}$를 한 번 더 미분해요. $$f''(x)=2an^2\left[(n^2+x^2)^{-2}-4x^2(n^2+x^2)^{-3}\right]=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$$

$f''(x)$의 부호는 $n^2-3x^2$가 정해요. $0<x<\frac{n}{\sqrt3}$이면 양수여서 증가 속도가 점점 빨라지고, $x>\frac{n}{\sqrt3}$이면 음수여서 증가 속도가 느려져요. $n=5$이면 그 경계는 $x=\frac{5}{\sqrt3}\approx2.9$ 근처의 변곡점이에요.

(d) 먹이가 아주 적을 때 먹이가 포식자에게 잘 발견되지 않아 적게 잡아먹혀요. 그래서 포식자의 성장이 처음에 작아요. 3형 함수는 이런 초반의 낮은 섭취를 설명해요.

합·차로 이어진 식은 항마다 따로 미분해도 돼요.

$(x^2)'=2x$, $(\sec x)'=\sec x\tan x$, 상수 $1$ 의 미분은 $0$ 이에요.

$$\frac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x+0=2x-\sec x\tan x$$

분자 $u=1-\cot x$, 분모 $v=1+\cot x$ 로 놓아요. $(\cot x)'=-\csc^2x$ 이므로

$$u'=\csc^2x,\qquad v'=-\csc^2x$$

몫의 미분법에 넣어요.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\csc^2x(1+\cot x)-(1-\cot x)(-\csc^2x)}{(1+\cot x)^2}$$

분자에서 $\csc^2x$ 로 묶고 정리해요.

$$\csc^2x\big[(1+\cot x)+(1-\cot x)\big]=2\csc^2x$$

따라서

$$\frac{dy}{dx}=\frac{2\csc^2x}{(1+\cot x)^2}$$

먼저 한 번 미분해요. $x\sin x$ 는 곱의 미분법, $(-\cos x)'=\sin x$ 예요.

$$\frac{dy}{dx}=\sin x+x\cos x+\sin x=2\sin x+x\cos x$$

한 번 더 미분해요. $(2\sin x)'=2\cos x$ 이고 $x\cos x$ 는 곱의 미분법으로 $\cos x-x\sin x$ 예요.

$$\frac{d^2y}{dx^2}=2\cos x+\cos x-x\sin x=3\cos x-x\sin x$$

직선 $y=-2x$ 의 기울기는 $-2$ 예요. 평행한 접선도 기울기가 $-2$ 이므로 $f'(x)=-2$ 인 $x$ 를 구하면 돼요.

$f'(x)=-\csc^2x$ 이므로

$$-\csc^2x=-2\ \Longrightarrow\ \csc^2x=2\ \Longrightarrow\ \sin^2x=\frac12$$

$\sin x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고 $0<x<2\pi$ 이므로 $x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}$ 네 개예요.

각 $x$ 에 대한 $f(x)=\cot x$ 의 값을 구해 점을 완성해요.

$\cot\frac{\pi}{4}=1,\ \cot\frac{3\pi}{4}=-1,\ \cot\frac{5\pi}{4}=1,\ \cot\frac{7\pi}{4}=-1$

$u=5-2x$ 로 놓으면 $y=u^{-2}$ 이에요. 합성함수의 미분법은 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ 예요.

$\dfrac{dy}{du}=-2u^{-3}$, $\dfrac{du}{dx}=-2$ 이므로

$$\frac{dy}{dx}=-2(5-2x)^{-3}\cdot(-2)=4(5-2x)^{-3}$$

음의 지수를 분수로 바꾸면 $\dfrac{4}{(5-2x)^3}$ 이에요.

$h$ 는 세 겹 합성함수예요. 바깥부터 한 겹씩 미분해서 곱해요.

$$h'(x)=g'\big(2+f(x^2)\big)\cdot f'(x^2)\cdot 2x$$

$x=1$ 을 넣어요. 안쪽부터 값을 구하면 $x^2=1$, $f(1)=1$ (표), 그래서 $2+f(1)=3$ 이에요.

$$h'(1)=g'(3)\cdot f'(1)\cdot 2$$

표에서 $g'(3)=3$, $f'(1)=-2$ 를 읽어요.

$$h'(1)=3\cdot(-2)\cdot2=-12$$

점 $P(-8,2)$ 는 역함수 $f^{-1}$ 의 그래프 위의 점이에요. 즉 $f^{-1}(-8)=2$ 이고, 원래 함수에서는 $f(2)=-8$ 이에요. 직접 확인하면 $f(2)=-8-2+2=-8$ 로 맞아요.

원래 함수의 도함수는 $f'(x)=-3x^2-1$ 이에요. $x=2$ 에서

$$f'(2)=-12-1=-13$$

(a) 역함수의 미분법에 의해

$$(f^{-1})'(-8)=\frac{1}{f'(2)}=-\frac{1}{13}$$

(b) 점 $(-8,2)$ 를 지나고 기울기가 $-\frac{1}{13}$ 인 직선이에요.

$$y-2=-\frac{1}{13}(x+8)$$

$$y=-\frac{1}{13}x-\frac{8}{13}+2=-\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}$$

왜 이렇게 할까요? 식이 $y=\cdots$ 꼴이 아니어서 바로 미분할 수 없어요. 그래서 $y$ 를 $x$ 의 함수로 생각하고 양변을 $x$ 에 대해 미분해요. $y$ 가 들어간 항은 연쇄법칙 때문에 $\frac{dy}{dx}$ 가 하나씩 붙어요.

각 항을 곱의 미분법으로 미분해요. $x^3y$ 는 $x^3$ 과 $y$ 의 곱이므로 $$\frac{d}{dx}(x^3y)=3x^2y+x^3\frac{dy}{dx}$$ 이고, $xy^3$ 은 $$\frac{d}{dx}(xy^3)=y^3+x\cdot 3y^2\frac{dy}{dx}$$ 예요. 우변 $-8$ 은 상수이므로 미분하면 $0$ 이에요.

미분한 식을 합쳐요. $$3x^2y+x^3\frac{dy}{dx}+y^3+3xy^2\frac{dy}{dx}=0$$

$\frac{dy}{dx}$ 가 있는 항끼리 모아요. 없는 항은 우변으로 넘겨요. $$(x^3+3xy^2)\frac{dy}{dx}=-3x^2y-y^3$$

양변을 $x^3+3xy^2$ 으로 나눠요. $$\frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}$$

$x^2$ 과 $e^x$ 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. $u=x^2,\ v=e^x$ 로 놓으면 $u'=2x,\ v'=e^x$ 예요.

공식에 넣어요.

$$f'(x)=u'v+uv'=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}$$

원하면 $e^x$ 로 묶어 $f'(x)=e^{x}(x^{2}+2x)$ 로 써도 같은 식이에요.

두 함수의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. $u=x^{\pi}$, $v=\pi^{x}$ 로 놓아요.

$u=x^{\pi}$ 는 $x$ 의 거듭제곱이에요. $\pi$ 는 그냥 상수이므로 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 을 그대로 써요.

$$u'=\pi x^{\pi-1}$$

$v=\pi^{x}$ 는 지수에 $x$ 가 있는 지수함수예요. $(a^x)'=a^x\ln a$ 이므로

$$v'=\pi^{x}\ln\pi$$

곱의 미분법 $u'v+uv'$ 에 넣어요.

$$f'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi$$

밑과 지수에 모두 $x$ 가 있어서 바로 미분 공식을 쓸 수 없어요. 양변에 자연로그를 취하면 지수가 앞으로 내려와요.

$$\ln y=4x\ln(\sin 2x)$$

양변을 $x$ 에 대해 미분해요. 왼쪽은 합성함수 미분으로 $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ 가 돼요. 오른쪽은 $4x$ 와 $\ln(\sin 2x)$ 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요.

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+4x\cdot\frac{(\sin 2x)'}{\sin 2x}$$

$(\sin 2x)'=2\cos 2x$ 이므로 $\dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}=2\cot 2x$ 예요. 따라서

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x$$

양변에 $y$ 를 곱하고 $y$ 를 원래 식으로 되돌려요.

$$\frac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\Big[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\Big]$$

법선을 구하려면 먼저 그 점의 좌표와 접선의 기울기가 필요해요. $x=1$ 일 때 $f(1)=1\cdot5^1=5$ 이므로 점은 $(1,5)$ 예요.

접선의 기울기는 미분계수 $f'(1)$ 이에요. $x$ 와 $5^x$ 의 곱이므로 곱의 미분법과 $(5^x)'=5^x\ln5$ 를 써요.

$$f'(x)=5^{x}+x\cdot5^{x}\ln5$$

$$f'(1)=5+5\ln5$$

법선은 접선에 수직이므로 기울기의 곱이 $-1$ 이에요. 법선의 기울기는

$$m=-\frac{1}{5+5\ln5}$$

점 $(1,5)$ 를 지나고 기울기가 $m$ 인 직선이므로

$$y-5=-\frac{1}{5+5\ln5}(x-1)$$

$$y=-\frac{1}{5+5\ln5}x+\left(5+\frac{1}{5+5\ln5}\right)$$

그래프로 확인하면 $f(x)=x5^x$ 는 $x$ 가 음수일 때 $0$ 에 가깝고 $x>0$ 에서 빠르게 증가해요. 기울기가 $-\frac{1}{5+5\ln5}\approx-0.077$ 로 매우 작아서 법선은 $y=5$ 근처에서 거의 수평으로 보이고, $(1,5)$ 에서 곡선과 만나요.

왜 이렇게 할까요? 반지름이 변하면 부피도 따라 변해요. 둘을 이어 주는 식은 구의 부피 공식이에요. $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

양변을 시간 $t$ 로 미분해요. $r$ 은 $t$ 의 함수이므로 연쇄법칙을 써요. $$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$$

주어진 값을 넣어요. $\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot 9=36\pi r^2$$

두 변화율의 수치가 같다는 조건을 써요. $\frac{dV}{dt}=\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $$36\pi r^2=9 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{1}{4\pi}$$

반지름은 양수이므로 $$r=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\ \text{cm}$$

왜 이렇게 할까요? 거리가 시간에 따라 변하니 각도 변해요. 상황을 직각삼각형으로 그리면 각과 길이의 관계식을 세울 수 있어요. 교차로에서 버스까지의 거리를 $x$, 교차로에서 나까지의 거리를 $y$ 라 하고, 내 위치에서 교차로 쪽 방향과 버스 쪽 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 해요.

변하는 비율을 정리해요. 버스는 멀어지므로 $\frac{dx}{dt}=10$, 나는 교차로에 다가가므로 $y$ 가 줄어서 $\frac{dy}{dt}=-2$ 예요.

관계식을 세워요. 직각삼각형에서 $$\tan\theta=\frac{x}{y}$$

양변을 $t$ 로 미분해요. 몫의 미분법을 쓰면 $$\sec^2\theta\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{x'y-xy'}{y^2}$$ 이에요. $x=10,\ y=20,\ x'=10,\ y'=-2$ 를 넣으면 우변은 $\frac{10\cdot20-10\cdot(-2)}{400}=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}$ 이에요.

$\sec^2\theta$ 의 값을 구해요. $\tan\theta=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ 이므로 $$\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=1+\frac14=\frac54$$