문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

이계도함수와 오목·볼록

이계도함수의 부호로 곡선의 오목·볼록과 변곡점을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.4절 · 24번우리말 풀이

[계산기 사용] 홀링 3형 식은 $f(x)=\frac{ax^2}{n^2+x^2}$ 로 나타내요. 여기서 $x$ 는 먹이의 양이고, $a>0$ 는 포식자의 최대 섭취율이에요.

a. $a=0.5$ , $n=5$ 일 때 홀링 3형 식의 그래프를 그리세요. 홀링 2형 식과 3형 식은 어떤 점이 다른가? b. 홀링 3형 식을 미분하고, 도함수의 물리적 의미를 해석하세요. c. 이계도함수를 구하고 그 의미를 해석하시오(이계도함수의 그래프를 그려 보면 도움이 돼요). d. 홀링 2형 함수와 비교할 때, 홀링 3형 함수는 어떤 생태 현상을 더 설명하는가?

영어 원문 보기

[T] The Holling type III equation is described by $f(x)=\frac{a{x}^{2}}{{n}^{2}+{x}^{2}},$ where $x$ is the amount of prey available and $a>0$ is the maximum consumption rate of the predator.

a. Graph the Holling type III equation given $a=0.5$ and $n=5.$ What are the differences between the Holling type II and III equations? b. Take the first derivative of the Holling type III equation and interpret the physical meaning of the derivative. c. Find and interpret the meaning of the second derivative (it may help to graph the second derivative). d. What additional ecological phenomena does the Holling type III function describe compared with the Holling type II function?

풀이 보기

분수 꼴은 몫의 미분법으로 미분하고, 이계도함수의 부호가 바뀌는 곳이 증가 속도가 바뀌는 지점이에요.

1
(a) $a=0.5$ , $n=5$ 이면 $f(x)=\frac{0.5x^2}{25+x^2}$ 이에요. 원점에서 출발해 처음에는 천천히 오르다가 점점 빨라지고, 그 뒤 다시 완만해지며 $x=10$ 에서 $f(10)=\frac{50}{125}=0.4$ 근처에 이르는 S자 모양이에요. 그림도 같아요. 홀링 2형 식은 문제에 주어지지 않았지만, 보통 처음부터 가파르게 오르다 완만해지는 모양이라서 3형은 초반에 평평하게 시작한다는 점이 달라요.
2
(b) 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 을 써요. $u=ax^2$ , $v=n^2+x^2$ 이면 $f'(x)=\frac{2ax(n^2+x^2)-ax^2\cdot2x}{(n^2+x^2)^2}=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$ $x>0$ 에서 $f'(x)>0$ 이므로 먹이가 늘면 포식자의 섭취(성장)가 늘어난다는 뜻이에요.
3
(c) $f'(x)=2an^2\,x(n^2+x^2)^{-2}$ 를 한 번 더 미분해요. $f''(x)=2an^2\left[(n^2+x^2)^{-2}-4x^2(n^2+x^2)^{-3}\right]=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$
4
$f''(x)$ 의 부호는 $n^2-3x^2$ 가 정해요. $0<x<\frac{n}{\sqrt3}$ 이면 양수여서 증가 속도가 점점 빨라지고, $x>\frac{n}{\sqrt3}$ 이면 음수여서 증가 속도가 느려져요. $n=5$ 이면 그 경계는 $x=\frac{5}{\sqrt3}\approx2.9$ 근처의 변곡점이에요.
5
(d) 먹이가 아주 적을 때 먹이가 포식자에게 잘 발견되지 않아 적게 잡아먹혀요. 그래서 포식자의 성장이 처음에 작아요. 3형 함수는 이런 초반의 낮은 섭취를 설명해요.

답

(a) 원점에서 시작하는 S자 모양 (b) $f'(x)=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$ , 먹이가 늘면 섭취 증가 (c) $f''(x)=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$ , $x=\frac{n}{\sqrt3}$ 에서 증가 속도의 변화 방향이 바뀜 (d) 먹이가 적을 때 발견되기 어려워 섭취가 적은 현상

자주 하는 실수

몫의 미분법에서 분자를 $u'v+uv'$ 로 더해 버리는 실수가 많아요. 몫의 미분은 빼요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph increases from the origin quickly at first and then slowly to (10, 0.4).

b. ${f}^{'}(x)=\frac{2ax{n}^{2}}{{({n}^{2}+{x}^{2})}^{2}}.$ When the amount of prey increases, the predator growth increases. c. ${f}^{''}(x)=\frac{2a{n}^{2}({n}^{2}-3{x}^{2})}{{({n}^{2}+{x}^{2})}^{3}}.$ When the amount of prey is extremely small, the rate at which predator growth is increasing is increasing, but when the amount of prey reaches above a certain threshold, the rate at which predator growth is increasing begins to decrease. d. At lower levels of prey, the prey is more easily able to avoid detection by the predator, so fewer prey individuals are consumed, resulting in less predator growth.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 42번

# 이계도함수와 오목·볼록활용도전

2.OpenStax 1권 · 4.5절 · 18번우리말 풀이

다음 문제에서 $f'$ 의 그래프를 분석하여, 변곡점을 모두 쓰고 $f$ 가 아래로 볼록한 구간과 위로 볼록한 구간을 구하세요.

함수 f'(x) 의 그래프. 함수는 직선이며 음수에서 시작해 원점에서 x축과 만난다.

영어 원문 보기

For the following exercises, analyze the graphs of ${f}^{'},$ then list all inflection points and intervals where $f$ is concave up and concave down.

The function f’(x) is graphed. The function is linear and starts negative. It crosses the x axis at the origin.

풀이 보기

$f$ 의 오목·볼록은 $f''$ 의 부호로 정해지고, $f''$ 은 $f'$ 그래프의 기울기예요.

1
왜 이렇게 할까요? 그래프가 $f$ 가 아니라 $f'$ 예요. $f''$ 은 $f'$ 를 미분한 것이니, $f'$ 그래프가 오르는지 내리는지(기울기의 부호)만 보면 돼요.
2
그래프를 읽어요. $f'(x)$ 는 원점을 지나는 직선이고 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가요. 즉 기울기가 양수인 일차함수 모양이에요.
3
$f''$ 의 부호를 알아내요. 직선의 기울기는 어디서나 같고 양수이므로 모든 $x$ 에서 $f''(x)>0$ 이에요.
4
결론을 내려요. $f''>0$ 이면 $f$ 는 아래로 볼록해요. 모든 $x$ 에서 부호가 같으므로 $f''$ 의 부호가 바뀌는 곳이 없고, 변곡점도 없어요. (참고로 $f'$ 가 $x=0$ 에서 0 이므로 $x=0$ 은 $f$ 의 극소점이지만, 변곡점은 아니에요.)

답

모든 $x$ 에서 아래로 볼록, 변곡점 없음

자주 하는 실수

$f'$ 가 0 이 되는 점 $x=0$ 을 변곡점으로 착각해요. 변곡점은 $f''$ 의 부호가 바뀌는 점이에요.

원본 교재 풀이(영어)

Concave up on all $x,$ no inflection points

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 24번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석보통

3.OpenStax 1권 · 4.5절 · 42번우리말 풀이

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록한 구간과 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선을 그린 다음 계산기로 답을 비교해 보세요. 정확한 답을 식으로 구할 수 없으면 계산기를 쓰세요.

[계산기 사용] $f(x)=\frac{1}{1-x},x\ne 1$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

[T] $f(x)=\frac{1}{1-x},x\ne 1$

풀이 보기

$f'$ 의 부호로 증가·감소를, $f''$ 의 부호로 오목·볼록을 보되, $x=1$ 은 정의역에 없다는 점을 꼭 챙겨요.

1
왜 이렇게 할까요? 증가·감소는 $f'$ 의 부호, 오목·볼록은 $f''$ 의 부호로 알 수 있어요. 먼저 두 도함수를 구해요.
2
일계도함수. $f(x)=(1-x)^{-1}$ 이므로 $f'(x)=(1-x)^{-2}=\frac{1}{(1-x)^2}$ 분모가 제곱이라 $x\ne1$ 인 모든 $x$ 에서 $f'(x)>0$ 이에요. 따라서 $f$ 는 정의된 모든 곳에서 증가하고, $f'=0$ 이 되는 점이 없으니 극값도 없어요.
3
이계도함수. $f''(x)=\frac{2}{(1-x)^3}$ 분자는 양수이므로 부호는 $(1-x)^3$ 이 정해요. $x<1$ 이면 $1-x>0$ 이라 $f''>0$ (아래로 볼록), $x>1$ 이면 $1-x<0$ 이라 $f''<0$ (위로 볼록) 이에요.
4
변곡점을 따져요. $f''$ 의 부호가 $x=1$ 에서 바뀌지만, $x=1$ 은 정의역에 없어서 곡선 위의 점이 아니에요(수직 점근선). 그래서 변곡점은 없어요.
5
그래프 모양. $x=1$ 이 수직 점근선이고 $y=0$ 이 수평 점근선이에요. 왼쪽 가지는 위로 올라가다 아래로 볼록하고, 오른쪽 가지는 음수 쪽에서 올라가며 위로 볼록해요.

답

(a) 정의된 모든 $x$ 에서 증가 (b) 극값 없음 (c) $x<1$ 에서 아래로 볼록, $x>1$ 에서 위로 볼록 (d) 정의역 안에 변곡점 없음

자주 하는 실수

$f''$ 의 부호가 바뀌는 $x=1$ 을 변곡점이라고 답해요. 정의역에 없는 점은 변곡점이 될 수 없어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. Increasing for all $x$ where defined b. No local minima or maxima c. Concave up for $x<1;$ concave down for $x>1$ d. No inflection points in domain

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 20번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석보통