빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

지수함수와 로그함수의 미분

eˣ, aˣ, ln x, logₐx의 도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.9절 · 1번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 f′(x)f'(x) 를 구하세요.

f(x)=x2exf(x)=x^{2}e^{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x2exf(x)={x}^{2}{e}^{x}

답 쓰고 채점
풀이 보기

두 함수의 곱은 곱의 미분법 (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' 로 미분하고, exe^x 는 미분해도 exe^x 예요.

  1. 1

    x2x^2 과 exe^x 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. u=x2, v=exu=x^2,\ v=e^x 로 놓으면 u′=2x, v′=exu'=2x,\ v'=e^x 예요.

  2. 2

    공식에 넣어요.

    f′(x)=u′v+uv′=2x ex+x2exf'(x)=u'v+uv'=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}

  3. 3

    원하면 exe^x 로 묶어 f′(x)=ex(x2+2x)f'(x)=e^{x}(x^{2}+2x) 로 써도 같은 식이에요.

답

f′(x)=2xex+x2exf'(x)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}

자주 하는 실수

곱의 미분을 (uv)′=u′v′(uv)'=u'v' 처럼 각각 따로 미분해서 곱해 버려요.

원본 교재 풀이(영어)

2xex+x2ex2x{e}^{x}+{x}^{2}{e}^{x}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 14번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산기본
2.CLP-1 · 2.10절 · 1번우리말 번역

소리의 음량(데시벨, dB)은 다음 공식으로 주어진다. V(P)=10log⁡10(PS)V(P)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right) 여기서 PP 는 소리의 세기이고 SS 는 기준이 되는 표준 소리의 세기이다. (즉, SS 는 어떤 상수이다.)

각 스피커가 3dB의 소음을 낸다면, 스피커 열 개는 얼마만큼의 소음을 내는지 구하세요. 스피커 백 개라면 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

The volume in decibels (dB) of a sound is given by the formula: V(P)=10log⁡10(PS)V(P)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right) where PP is the intensity of the sound and SS is the intensity of a standard baseline sound. (That is: SS is some constant.)

How much noise will ten speakers make, if each speaker produces 3dB of noise? What about one hundred speakers?

정답·풀이 보기

스피커 한 개가 3dB를 낸다고 주어져 있다. 따라서 PP 를 스피커 한 개의 출력이라 하면,

3=V(P)=10log⁡10(PS).따라서 스피커 열 개일 때:V(10P)=10log⁡10(10PS)=10log⁡10(PS)+10log⁡10(10)=3+10(1)=13dB그리고 스피커 백 개일 때:V(100P)=10log⁡10(100PS)=10log⁡10(PS)+10log⁡10(100)=3+10(2)=23dB\begin{aligned}3=V(P)&=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right). \\ \text{따라서 스피커 열 개일 때:} \\ V(10P)&=10\log_{10}\left(\frac{10P}{S}\right)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)+10\log_{10}\left(10\right)\\ &=3+10(1)=13 \mathrm{dB} \\ \text{그리고 스피커 백 개일 때:} \\ V(100P)&=10\log_{10}\left(\frac{100P}{S}\right)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)+10\log_{10}\left(100\right)\\ &=3+10(2)=23 \mathrm{dB} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We are given that one speaker produces 3dB. So if PP is the power of one speaker,

3=V(P)=10log⁡10(PS).So, for ten speakers:V(10P)=10log⁡10(10PS)=10log⁡10(PS)+10log⁡10(10)=3+10(1)=13dBand for one hundred speakers:V(100P)=10log⁡10(100PS)=10log⁡10(PS)+10log⁡10(100)=3+10(2)=23dB\begin{aligned}3=V(P)&=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right). \\ \text{So, for ten speakers:} \\ V(10P)&=10\log_{10}\left(\frac{10P}{S}\right)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)+10\log_{10}\left(10\right)\\ &=3+10(1)=13 \mathrm{dB} \\ \text{and for one hundred speakers:} \\ V(100P)&=10\log_{10}\left(\frac{100P}{S}\right)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)+10\log_{10}\left(100\right)\\ &=3+10(2)=23 \mathrm{dB} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 3번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산기본자동 분류
3.CLP-1 · 2.10절 · 2번우리말 번역

연이율 5%로 $1000를 투자하면 tt 년 후

A(t)=1000et/20A(t)=1000e^{t/20}

달러로 늘어난다. 투자금이 두 배가 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

An investment of $1000 with an interest rate of 5% per year grows to A(t)=1000et/20A(t)=1000e^{t/20} dollars after tt years. When will the investment double?

답 쓰고 채점
년
정답·풀이 보기

투자금은 $2000가 될 때 두 배가 된다. 따라서 A(t)=2000A(t)=2000 이 되는 tt 의 값을 구한다.

2000=A(t)2000=1000et/202=et/20log⁡2=t2020log⁡2=t\begin{aligned} 2000&=A(t)\\ 2000&=1000e^{t/20}\\ 2&=e^{t/20}\\ \log 2 &=\frac{t}{20}\\ 20\log2&=t \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The investment doubles when it hits $2000. So, we find the value of tt that gives A(t)=2000A(t)=2000:

2000=A(t)2000=1000et/202=et/20log⁡2=t2020log⁡2=t\begin{aligned} 2000&=A(t)\\ 2000&=1000e^{t/20}\\ 2&=e^{t/20}\\ \log 2 &=\frac{t}{20}\\ 20\log2&=t \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 3번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산기본자동 분류
4.CLP-1 · 2.10절 · 3번우리말 번역

다음 식 중 log⁡(cos⁡2x)\log\left(\cos^2 x\right) 와 같은 것이 있다면 모두 고르세요. (a) 2log⁡(cos⁡x)(b) 2log⁡∣cos⁡x∣(c) log⁡2(cos⁡x)(d) log⁡(cos⁡x2))(\text{a})~ 2\log(\cos x) \qquad (\text{b})~ 2\log|\cos x | \qquad (\text{c})~ \log^2(\cos x) \qquad (\text{d})~\log(\cos x^2))

영어 원문 보기

Which of the following expressions, if any, is equivalent to log⁡(cos⁡2x)\log\left(\cos^2 x\right)? (a) 2log⁡(cos⁡x)(b) 2log⁡∣cos⁡x∣(c) log⁡2(cos⁡x)(d) log⁡(cos⁡x2))(\text{a})~ 2\log(\cos x) \qquad (\text{b})~ 2\log|\cos x | \qquad (\text{c})~ \log^2(\cos x) \qquad (\text{d})~\log(\cos x^2))

정답·풀이 보기

로그의 성질에 따르면 yy 가 양수일 때 log⁡(y2)=2log⁡y\log (y^2)=2\log y 이다. 그러나 cos⁡x\cos x 는 항상 양의 값을 갖는 것은 아니므로 (a)는 옳지 않다. (예를 들어 x=πx=\pi 일 때, log⁡(cos⁡2x)=log⁡(cos⁡2π)=log⁡((−1)2)=log⁡(1)=0\log(\cos^2 x)=\log(\cos^2\pi)=\log\left((-1)^2\right) = \log(1)=0 이지만, 2log⁡(cos⁡π)=2log⁡(−1)2\log (\cos \pi)=2\log(-1) 은 존재하지 않는다.)

cos⁡2x\cos^2 x 는 음수가 되지 않으므로 cos⁡2x=∣cos⁡x∣2\cos^2 x = |\cos x|^2 임을 알 수 있다. cos⁡x\cos x 가 0이 아닐 때 ∣cos⁡x∣|\cos x| 는 양수이므로, 로그의 성질에 의해 log⁡(∣cos⁡x∣2)=2log⁡∣cos⁡x∣\log\left(|\cos x|^2\right) =2\log|\cos x | 이다. cos⁡x\cos x 가 정확히 0일 때에는 log⁡(cos⁡2x)\log(\cos^2x) 와 2log⁡∣cos⁡x∣2\log|\cos x| 모두 존재하지 않는다. 따라서 log⁡(cos⁡2x)=2log⁡∣cos⁡x∣\log(\cos^2x) = 2\log|\cos x| 이다.

원본 교재 풀이(영어)

From our logarithm rules, we know that when yy is positive, log⁡(y2)=2log⁡y\log (y^2)=2\log y. However, the expression cos⁡x\cos x does not always take on positive values, so (a) is not correct. (For instance, when x=πx=\pi, log⁡(cos⁡2x)=log⁡(cos⁡2π)=log⁡((−1)2)=log⁡(1)=0\log(\cos^2 x)=\log(\cos^2\pi)=\log\left((-1)^2\right) = \log(1)=0, while 2log⁡(cos⁡π)=2log⁡(−1)2\log (\cos \pi)=2\log(-1), which does not exist.)

Because cos⁡2x\cos^2 x is never negative, we notice that cos⁡2x=∣cos⁡x∣2\cos^2 x = |\cos x|^2. When cos⁡x\cos x is nonzero, ∣cos⁡x∣|\cos x| is positive, so our logarithm rules tell us log⁡(∣cos⁡x∣2)=2log⁡∣cos⁡x∣\log\left(|\cos x|^2\right) =2\log|\cos x |. When cos⁡x\cos x is exactly zero, then both log⁡(cos⁡2x)\log(\cos^2x) and 2log⁡∣cos⁡x∣2\log|\cos x| do not exist. So, log⁡(cos⁡2x)=2log⁡∣cos⁡x∣\log(\cos^2x) = 2\log|\cos x|.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 2번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산기본자동 분류