문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

관련 변화율

서로 연결된 양들의 시간에 대한 변화율을 미분으로 구한다(풍선·사다리 문제 등)

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번우리말 풀이

버스 정류장이 있는 직각 모퉁이로 걸어가고 있어요. 당신은 초속 2 m 로 북쪽으로 움직이고 있고, 교차로에서 남쪽으로 20 m 떨어져 있어요. 버스는 교차로에서 멀어지며 초속 10 m 로 서쪽으로 가요. 버스를 놓쳤어요! 당신이 교차로에서 남쪽으로 20 m 에 있고 버스가 교차로에서 서쪽으로 10 m 에 있을 때, 당신과 버스 사이의 각이 변하는 비율은 얼마인가요?

영어 원문 보기

You are walking to a bus stop at a right-angle corner. You move north at a rate of 2 m/sec and are 20 m south of the intersection. The bus travels west at a rate of 10 m/sec away from the intersection – you have missed the bus! What is the rate at which the angle between you and the bus is changing when you are 20 m south of the intersection and the bus is 10 m west of the intersection?

풀이 보기

교차로·나·버스로 직각삼각형을 만들고, $\tan\theta=\frac{x}{y}$ 를 시간으로 미분해요.

1
왜 이렇게 할까요? 거리가 시간에 따라 변하니 각도 변해요. 상황을 직각삼각형으로 그리면 각과 길이의 관계식을 세울 수 있어요. 교차로에서 버스까지의 거리를 $x$ , 교차로에서 나까지의 거리를 $y$ 라 하고, 내 위치에서 교차로 쪽 방향과 버스 쪽 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 해요.
2
변하는 비율을 정리해요. 버스는 멀어지므로 $\frac{dx}{dt}=10$ , 나는 교차로에 다가가므로 $y$ 가 줄어서 $\frac{dy}{dt}=-2$ 예요.
3
관계식을 세워요. 직각삼각형에서 $\tan\theta=\frac{x}{y}$
4
양변을 $t$ 로 미분해요. 몫의 미분법을 쓰면 $\sec^2\theta\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{x'y-xy'}{y^2}$ 이에요. $x=10,\ y=20,\ x'=10,\ y'=-2$ 를 넣으면 우변은 $\frac{10\cdot20-10\cdot(-2)}{400}=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}$ 이에요.
5
$\sec^2\theta$ 의 값을 구해요. $\tan\theta=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ 이므로 $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=1+\frac14=\frac54$
6
$\frac{d\theta}{dt}$ 를 구해요. $\frac{5}{4}\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\;\Longrightarrow\;\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\cdot\frac45=\frac{11}{25}$ 각은 초당 $\frac{11}{25}$ 라디안의 비율로 커져요.

답

$\dfrac{11}{25}$ rad/초

자주 하는 실수

$y$ 는 줄어드는 양인데 $\frac{dy}{dt}$ 의 부호를 $+2$ 로 써서 계산이 틀어져요.

원본 교재 풀이(영어)

The angle is changing at a rate of $\frac{11}{25}\,\text{rad/sec}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 17번

# 관련 변화율활용도전

2.CLP-1 · 3.2절 · 24번우리말 번역

양 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 는 모두 시간에 따라 변하며, 다음 식으로 서로 관련되어 있습니다. $AB=\log\left(C^2+D^2+1\right).$ 시각 $t=10$ 일 때, 다음 값이 알려져 있습니다.

$A=0$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=2$ (단위/초)

$t=10$ 일 때 $B$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The quantities $A$ , $B$ , $C$ , and $D$ all depend on time, and are related by the formula $AB=\log\left(C^2+D^2+1\right).$ At time $t=10$ , the following values are known:

$A=0$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=2$ units per second

What is $B$ when $t=10$ ?

정답·풀이 보기

$A=0$ 이므로, 변수들을 관련짓는 등식에서 다음을 알 수 있다:

$\begin{aligned} 0&=\log\left(C^2+D^2+1\right)\\ 1&=C^2+D^2+1\\ 0&=C^2+D^2\\ 0&=C=D \\ \text{이 정보는 아마 유용할 것이다. 도함수의 값도 주어졌으므로, 변수들을 관련짓는 등식을 $t$ 에 대해 음함수 미분하자. 표기를 간단히 하기 위해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=A'$ 등으로 쓰겠다.} \\ A'B+AB'&=\frac{2CC'+2DD'}{C^2+D^2+1} \\ \text{$t=10$ 일 때 $A=C=D=0$ 이므로:} \\ A'B+0&=\frac{0+0}{0+0+1}\\ A'B&=0 \\ \text{$t=10$ 일 때 $A'=2$ (단위/초)이므로:} \\ 2B&=0\\ B&=0. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since $A=0$ , the equation relating the variables tells us:

$\begin{aligned} 0&=\log\left(C^2+D^2+1\right)\\ 1&=C^2+D^2+1\\ 0&=C^2+D^2\\ 0&=C=D \\ \text{This will probably be useful information. Since we're also given the value of a derivative, let's differentiate the equation relating the variables implicitly with respect to $t$. For ease of notation, we will write $\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=A'$, etc.} \\ A'B+AB'&=\frac{2CC'+2DD'}{C^2+D^2+1} \\ \text{At $t=10$, $A=C=D=0$:} \\ A'B+0&=\frac{0+0}{0+0+1}\\ A'B&=0 \\ \text{at $t=10$, $A'=2$ units per second:} \\ 2B&=0\\ B&=0. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 2번

# 관련 변화율활용도전자동 분류