밀도·질량과 질량중심 연습문제

1.OpenStax 1권 · 6.6절 · 40번대학 수준우리말 번역

파푸스의 정리를 이용하여 (그림과 같은) 토러스의 부피를 구하세요. 반지름이 $a$ 인 원판의 왼쪽 끝이 $x=b,$ $b>0$ 에 놓이도록 하고, 이 원판을 y축을 중심으로 회전시킨다고 가정하세요.

이 그림은 토러스이다. 안쪽 반지름은 b이다. 토러스의 단면은 원이다. 이 원의 반지름은 a이다.

영어 원문 보기

Use the theorem of Pappus to find the volume of a torus (pictured here). Assume that a disk of radius $a$ is positioned with the left end of the circle at $x=b,$ $b>0,$ and is rotated around the y-axis.

This figure is a torus. It has inner radius of b. Inside of the torus is a cross section that is a circle. The circle has radius a.

정답·풀이 보기

부피: $2{\pi }^{2}{a}^{2}(b+a)$

원본 교재 풀이(영어)

Volume: $2{\pi }^{2}{a}^{2}(b+a)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.3절 · 5번

# 밀도·질량과 질량중심그래프·표 해석자동 분류

2.CLP-2 · 2.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

대칭성을 이용하여 두 곡선 $y=(x-1)^2$ 과 $y=-x^2+2x+1$ 사이에 있는 유한한 영역의 무게중심을 구하세요.

영어 원문 보기

Using symmetry, find the centroid of the finite region between the curves $y=(x-1)^2$ and $y=-x^2+2x+1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-x^2+2x+1 = 2-(x-1)^2$ 임에 주목한다. 따라서 두 포물선은 모두 직선 $x=1$ 에 대해 대칭이므로, 무게중심의 $x$ 좌표는 $x=1$ 이다.

두 포물선은 다음과 같을 때 만난다.

$\begin{aligned} (x-1)^2&=2-(x-1)^2\\ 2(x-1)^2&=2\\ |x-1|&=1\\ x=0,\quad x&=2 \end{aligned}$

이 두 점에서 모두 $y=1$ 이므로 이 도형은 직선 $y=1$ 에 대해 대칭이다. 그러면 무게중심의 $y$ 좌표는 $1$ 이다.

따라서 무게중심은 $(1,1)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Note $-x^2+2x+1 = 2-(x-1)^2$ . So, both parabolas are symmetric about the line $x=1$ , and the $x$ -coordinate of the centroid is $x=1$ .

The parabolas meet when:

$\begin{aligned} (x-1)^2&=2-(x-1)^2\\ 2(x-1)^2&=2\\ |x-1|&=1\\ x=0,\quad x&=2 \end{aligned}$

At both these points, $y=1$ , so we see the figure is symmetric about the line $y=1$ . Then the $y$ -coordinate of the centroid is $1$ .

Therefore, the centroid is at $(1,1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.3절 · 6번

# 밀도·질량과 질량중심그래프·표 해석기본자동 분류

3.CLP-2 · 2.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

대칭성을 이용하여, 원점을 중심으로 하는 단위원의 내부이면서 역시 원점을 중심으로 하는 가로 1, 세로 0.5인 직사각형의 외부에 있는 영역의 무게중심을 구하세요.

영어 원문 보기

Using symmetry, find the centroid of the region inside the unit circle, centred on the origin, and outside a rectangle, also centred on the origin, with width 1 and height 0.5.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원과 잘라 낸 직사각형은 $x$ 축에 대해서도, $y$ 축에 대해서도 대칭이므로 무게중심은 원점이다.

참고: 영역의 무게중심이 반드시 그 영역에 속하는 점일 필요는 없다!

원본 교재 풀이(영어)

The circle and the cut-out rectangle are symmetric about the $x$ -axis, and about the $y$ -axis, so the centroid is the origin.

Remark: the centroid of a region doesn't have to be a point in the region!

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.3절 · 1번

# 밀도·질량과 질량중심그래프·표 해석기본자동 분류

4.CLP-2 · 2.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

아래 각 그림에 대해, 질량중심이 직선 $x=a$ 의 왼쪽에 있는지, 오른쪽에 있는지, 직선 위에 있는지, 아니면 알 수 있는 정보가 충분하지 않은지 판단하세요. 영역의 음영은 밀도를 나타내며, 더 어두운 음영은 더 밀도가 높은 부분에 해당합니다. (d)에서 오른쪽에 있는 $B\times A$ 직사각형의 오른쪽 변은 $x=2a$ 위에 있습니다.

영어 원문 보기

For each picture below, determine whether the centre of mass is to the left of, to the right of, or along the line $x=a$ , or whether there is not enough information to tell. The shading of a region indicates density: darker shading corresponds to a denser area. In part (d), the right hand side of the right hand $B\times A$ rectangle has $x=2a$ .

정답·풀이 보기

(a) 이 도형을 직선 $x=a$ 에 맞춰 세운 연필 위에 올려놓는다면, 도형이 왼쪽으로 쓰러질 것이 분명해 보인다. 따라서 질량중심은 직선 $x=a$ 의 왼쪽에 있다. (b)도 마찬가지이다. 왼쪽의 밀도가 더 높아서 한쪽으로 더 치우쳐 있기 때문이다. 그러나 (c)에서는 오른쪽이 왼쪽보다 밀도가 높아서 왼쪽을 상쇄할 수 있다. 치수와 밀도에 대해 더 많은 정보가 없으면 질량중심이 직선 $x=a$ 에 대해 어디에 있는지 알 수 없다.

(d) 도형 안의 점 $(x,y)$ 중 $b\le x\le c$ 인 모든 점으로 이루어진 도형의 한 부분과, 직선 $x=a$ 의 반대편에 있는 그 “거울상" 부분을 생각하자. 아래 그림에 빨간색으로 그려진 이 두 부분은 넓이가 같고 $x=a$ 로부터의 거리도 같다. 질량중심의 $x$ 좌표만 관심이 있으므로, 두 부분의 $y$ 좌표가 서로 다르다는 것은 문제가 되지 않는다. 질량중심은 직선 $x=a$ 위에 있다.

(e) (d)에서와 같이 직선 $x=a$ 의 왼쪽과 오른쪽의 넓이는 같다. 그러나 오른쪽의 넓이는 더 “늘어져" 있어서 직선 $x=a$ 로부터 더 멀리 떨어진 공간을 차지한다. 따라서 질량중심은 직선 $x=a$ 의 오른쪽에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If we were to set this figure on a pencil lined up along the vertical line $x=a$ , it seems pretty clear that it would fall to the left. So, the centre of mass is to the left of the line $x=a$ . The same is true in (b): the added density on the left makes it only more lopsided. However, in (c), the right side is denser than the left, which could counterbalance the left. Without knowing more about the dimensions and the density, we can't say where the centre of mass is in relation to the line $x=a$ .

(d) Consider a section of the figure, consisting of all points $(x,y)$ in the figure with $b\le x\le c$ , and its “mirror" section on the other side of the line $x=a$ . These two sections, which are drawn in red in the sketches below, will have the same area, at the same distance from $x=a$ . Since we only care about the $x$ -coordinate of the centre of mass, it doesn't matter that the two halves are at different $y$ -coordinates. The centre of mass falls along the line $x=a$ .

(e) There is the same amount of area to the left and right of the line $x=a$ , as in part (d). However, the area to the right is “stretched out" more, so that it occupies space farther away from the line $x=a$ . So, the centre of mass will be to the right of the line $x=a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.6절 · 8번

# 밀도·질량과 질량중심그래프·표 해석기본자동 분류

5.CLP-2 · 2.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

탱크 $A$ 는 반지름이 1미터인 구 모양이고 물이 가득 차 있다. 탱크 $A$ 의 바닥은 지면에서 3미터 위에 있고, 지면에는 탱크 $B$ 가 놓여 있다. 탱크 $B$ 는 밑면의 크기가 2미터 × 1미터인 키가 큰 직육면체 모양이며 비어 있다. 물과 질량이 같은 질점을 $A$ 의 질량 중심 높이에서 물이 $B$ 로 옮겨진 뒤의 물의 질량 중심 높이까지 이동시키는 것으로 상황을 모형화하여, 탱크 $A$ 의 물을 모두 탱크 $B$ 로 빼낼 때 중력이 하는 일을 구하세요.

물의 밀도는 $1000$ kg/m $^3$ , 중력가속도는 $g=9.8$ m/sec $^2$ 을 사용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Tank $A$ is spherical, of radius 1 metre, and filled completely with water. The bottom of tank $A$ is three metres above the ground, where Tank $B$ sits. Tank $B$ is tall and rectangular, with base dimensions 2 metres by 1 metre, and empty. Calculate the work done by gravity to drain all the water from Tank $A$ to Tank $B$ by modelling the situation as a point mass, of the same mass as the water, being moved from the height of the centre of mass of $A$ to the height of the centre of mass of the water after it has been moved to $B$ .

You may use $1000$ kg/m $^3$ for the density of water, and $g=9.8$ m/sec $^2$ for the acceleration due to gravity.

정답·풀이 보기

탱크 A에 든 물의 부피는 $\frac{4}{3}\pi(1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ 세제곱미터이다.
물의 질량은 $\frac{4000}{3}\pi$ kg이다.
대칭성에 의해 탱크 $A$ 를 가득 채운 물의 질량 중심은 구의 중심에 있으며, 지면으로부터의 높이는 $\bar y_1=4$ 미터이다(지면에서 3미터 위에 있는 탱크 $A$ 의 바닥보다 1미터 위).
물이 모두 탱크 $B$ 에 있을 때 물의 높이는 $\frac{2}{3}\pi$ 미터이다. (탱크 $B$ 의 밑면의 넓이는 2 m $^2$ 이고 물의 부피는 $\frac{4}{3}\pi$ m $^3$ 이다.) 대칭성에 의해 질량 중심은 정확히 절반 높이에 있으므로 높이는 $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ 미터이다.
따라서 모형의 질점은 중력에 의해 $\bar y_1=4$ 에서 $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ 까지, 즉 $4-\frac{1}{3}\pi$ 미터만큼 이동한다.
이때의 일은 다음과 같다: $\left(\frac{4000}{3}\pi~\text{kg}\right)\times\left(4-\frac{1}{3}\pi~\text{m}\right)\times\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{39200\pi}{9}(12-\pi)\approx 121,212~\text{J}$

원본 교재 풀이(영어)

The volume of water in Tank A is $\frac{4}{3}\pi(1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ cubic metres.
The mass of water is $\frac{4000}{3}\pi$ kg.
By symmetry, the centre of mass of the water when it fills Tank $A$ is exactly in the centre of the sphere, at height $\bar y_1=4$ metres above the ground (one metre above the bottom of Tank $A$ , which is three metres above the ground).
When the water is entirely in Tank $B$ , its height is $\frac{2}{3}\pi$ metres. (The base of Tank $B$ has area 2 m $^2$ , and the volume of water is $\frac{4}{3}\pi$ m $^3$ .) By symmetry, the centre of mass is exactly halfway up, at height $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ metres.
So, the point mass in our model is moved from $\bar y_1=4$ to $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ , a distance of $4-\frac{1}{3}\pi$ metres, by gravity.
The work involved is: $\left(\frac{4000}{3}\pi~\text{kg}\right)\times\left(4-\frac{1}{3}\pi~\text{m}\right)\times\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{39200\pi}{9}(12-\pi)\approx 121,212~\text{J}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.3절 · 5번

# 밀도·질량과 질량중심그래프·표 해석기본자동 분류