적분법 전체 문제

단위원의 넓이를 $A$라 해요. 원을 중심각 $\frac{2\pi}{n}$인 $n$개의 부채꼴로 나누면, 각 부채꼴 안에 들어가는 삼각형(밑변 $1$, 높이 $\sin\frac{2\pi}{n}$)이 있어요. 그 넓이는 $\frac12\sin\frac{2\pi}{n}$이고 $n$개를 모으면 원 안에 들어가므로 $$\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\le A$$

반대로 각 부채꼴을 완전히 덮는 바깥쪽 삼각형의 넓이는 $\frac12BH=\frac12B^2\sin\frac{2\pi}{n}$이에요. $n$개를 모으면 원을 덮으므로 $$A\le\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)B^2$$

왼쪽 값의 극한을 구해요. $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}=\pi\cdot\frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}$이고, $n\to\infty$이면 $\frac{2\pi}{n}\to0$이므로 $\frac{\sin x}{x}\to1$ 덕분에 $\pi$에 가까워져요. 그래서 $\pi\le A$예요.

오른쪽 값의 극한을 구해요. $n\to\infty$이면 $\frac{\pi}{n}\to0$이므로 $B=\cos\frac{\pi}{n}+\sin\frac{\pi}{n}\tan\frac{\pi}{n}\to1+0\cdot0=1$이에요. 따라서 $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}B^2\to\pi\cdot1=\pi$이고 $A\le\pi$예요.

$\pi\le A\le\pi$이므로 조임 정리에 의해 $A=\pi$예요. 즉 단위원의 넓이는 $\pi$예요.

먼저 교점부터 구해요. 적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳에서 정해지기 때문이에요. $x=\sqrt{4-y^2}$ 는 $x^2+y^2=4$ (반지름 2인 원)의 오른쪽 반이에요. 여기서 $x^2=4-y^2$ 를 $y^2=1+x^2$ 에 대입하면 $$y^2=1+(4-y^2)\;\Rightarrow\;2y^2=5\;\Rightarrow\;y^2=\tfrac52,\quad x^2=\tfrac32$$ 교점은 $\left(\sqrt{\tfrac32},\,\pm\sqrt{\tfrac52}\right)\approx(1.225,\ \pm1.581)$ 이에요.

영역의 모양을 생각해요. $y^2=1+x^2$ 은 위쪽 가지 $y=\sqrt{1+x^2}$ 와 아래쪽 가지 $y=-\sqrt{1+x^2}$ 로 이루어져요. $x=0$ 에서 위쪽 가지는 $y=1$, 원은 $y=2$ 이므로 $0\le x\le\sqrt{3/2}$ 에서 원이 위, 쌍곡선이 아래예요. 원과 쌍곡선이 모두 $x$축에 대칭이라서 위쪽 조각과 아래쪽 조각의 넓이가 같아요.

적분식을 세워요. 위쪽 조각의 넓이는 (위 − 아래)의 정적분이고, 아래쪽 조각도 같으니 2배 해요. $$A=2\int_0^{\sqrt{3/2}}\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1+x^2}\right)dx$$

원시함수로 계산해요. 다음 공식을 써요(계산기나 적분표를 써도 돼요). $$\int\sqrt{4-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\sin^{-1}\frac{x}{2},\qquad \int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$$ $x=\sqrt{3/2}$ 를 넣으면 앞의 항 $\frac{x}{2}\sqrt{\cdot}$ 는 둘 다 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ 로 같아서 서로 지워지고, 위쪽 조각은 약 $0.802$ 가 나와요. 2배 하면 $A\approx1.605$ 예요.