적분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 5.1절 · 59번우리말 풀이

단위원이 그림의 안쪽 부채꼴과 같은 꼴 $n$ 개로 이루어져 있어요. 안쪽 삼각형의 밑변은 $1$ 이고 높이는 $\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 바깥쪽 삼각형의 밑변은 $B=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$ 이고 높이는 $H=B\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 이 정보를 이용해 단위원의 넓이가 $\pi$ 임을 논증하세요.

$중심각 \theta=\frac{2\pi}{n}인 부채꼴. 두 반지름의 끝을 잇는 선, 원에 접하는 평행선, 바깥쪽 삼각형 등이 그려져 있다.$

영어 원문 보기

A unit circle is made up of n wedges equivalent to the inner wedge in the figure. The base of the inner triangle is 1 unit and its height is $\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ The base of the outer triangle is $B=\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$ and the height is $H=B\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ Use this information to argue that the area of a unit circle is equal to π.

풀이 보기

원 안쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이와 바깥쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이로 원의 넓이를 위아래에서 끼우고, $n\to\infty$ 로 보내요.

1
단위원의 넓이를 $A$ 라 해요. 원을 중심각 $\frac{2\pi}{n}$ 인 $n$ 개의 부채꼴로 나누면, 각 부채꼴 안에 들어가는 삼각형(밑변 $1$ , 높이 $\sin\frac{2\pi}{n}$ )이 있어요. 그 넓이는 $\frac12\sin\frac{2\pi}{n}$ 이고 $n$ 개를 모으면 원 안에 들어가므로 $\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\le A$
2
반대로 각 부채꼴을 완전히 덮는 바깥쪽 삼각형의 넓이는 $\frac12BH=\frac12B^2\sin\frac{2\pi}{n}$ 이에요. $n$ 개를 모으면 원을 덮으므로 $A\le\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)B^2$
3
왼쪽 값의 극한을 구해요. $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}=\pi\cdot\frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}$ 이고, $n\to\infty$ 이면 $\frac{2\pi}{n}\to0$ 이므로 $\frac{\sin x}{x}\to1$ 덕분에 $\pi$ 에 가까워져요. 그래서 $\pi\le A$ 예요.
4
오른쪽 값의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 이면 $\frac{\pi}{n}\to0$ 이므로 $B=\cos\frac{\pi}{n}+\sin\frac{\pi}{n}\tan\frac{\pi}{n}\to1+0\cdot0=1$ 이에요. 따라서 $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}B^2\to\pi\cdot1=\pi$ 이고 $A\le\pi$ 예요.
5
$\pi\le A\le\pi$ 이므로 조임 정리에 의해 $A=\pi$ 예요. 즉 단위원의 넓이는 $\pi$ 예요.

답

단위원의 넓이 $A$ 에 대해 $\pi\le A\le\pi$ 이므로 $A=\pi$

자주 하는 실수

안쪽 삼각형만 쓰고 바깥쪽을 빼먹으면 $A\ge\pi$ 만 나와요. 위아래 두 부등식이 모두 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

Let A be the area of the unit circle. The circle encloses n congruent triangles each of area $\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{2},$ so $\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)\le A.$ Similarly, the circle is contained inside n congruent triangles each of area $\frac{BH}{2}=\frac{1}{2}{\left( \cos \left( \frac{\pi }{n} \right)+\sin \left( \frac{\pi }{n} \right)\tan \left( \frac{\pi }{n} \right) \right)}^{2}\sin \left( \frac{2\pi }{n} \right),$ so $A\le \frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)(\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan {\left(\frac{\pi }{n}\right))}^{2}.$ As $n\to \infty ,\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)=\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{\left(\frac{2}{n}\right)}A\to \pi ,$ so we conclude $\pi \le A.$ Also, as $n\to \infty ,\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)\to 1,$ so we also have $A\le \pi .$ By the squeeze theorem for limits, we conclude that $A=\pi .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 41번

# 정적분과 급수(구분구적법)증명·논술도전

2.OpenStax 1권 · 6.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 식으로 둘러싸인 영역의 넓이를 정확히 구하세요. 교점을 직접 구할 수 없으면 계산기로 교점을 소수 셋째 자리까지 어림하여 근사한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $x=\sqrt{4-y^{2}}$ 그리고 $y^{2}=1+x^{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the exact area of the region bounded by the given equations if possible. If you are unable to determine the intersection points analytically, use a calculator to approximate the intersection points with three decimal places and determine the approximate area of the region.

[T] $x=\sqrt{4-{y}^{2}}\,\text{and}\,{y}^{2}=1+{x}^{2}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 곡선의 교점으로 적분 구간을 정하고, 구간마다 (위쪽 곡선 − 아래쪽 곡선)을 적분해요.

1
먼저 교점부터 구해요. 적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳에서 정해지기 때문이에요. $x=\sqrt{4-y^2}$ 는 $x^2+y^2=4$ (반지름 2인 원)의 오른쪽 반이에요. 여기서 $x^2=4-y^2$ 를 $y^2=1+x^2$ 에 대입하면 $y^2=1+(4-y^2)\;\Rightarrow\;2y^2=5\;\Rightarrow\;y^2=\tfrac52,\quad x^2=\tfrac32$ 교점은 $\left(\sqrt{\tfrac32},\,\pm\sqrt{\tfrac52}\right)\approx(1.225,\ \pm1.581)$ 이에요.
2
영역의 모양을 생각해요. $y^2=1+x^2$ 은 위쪽 가지 $y=\sqrt{1+x^2}$ 와 아래쪽 가지 $y=-\sqrt{1+x^2}$ 로 이루어져요. $x=0$ 에서 위쪽 가지는 $y=1$ , 원은 $y=2$ 이므로 $0\le x\le\sqrt{3/2}$ 에서 원이 위, 쌍곡선이 아래예요. 원과 쌍곡선이 모두 $x$ 축에 대칭이라서 위쪽 조각과 아래쪽 조각의 넓이가 같아요.
3
적분식을 세워요. 위쪽 조각의 넓이는 (위 − 아래)의 정적분이고, 아래쪽 조각도 같으니 2배 해요. $A=2\int_0^{\sqrt{3/2}}\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1+x^2}\right)dx$
4
원시함수로 계산해요. 다음 공식을 써요(계산기나 적분표를 써도 돼요). $\int\sqrt{4-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\sin^{-1}\frac{x}{2},\qquad \int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ $x=\sqrt{3/2}$ 를 넣으면 앞의 항 $\frac{x}{2}\sqrt{\cdot}$ 는 둘 다 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ 로 같아서 서로 지워지고, 위쪽 조각은 약 $0.802$ 가 나와요. 2배 하면 $A\approx1.605$ 예요.

답

$A\approx 1.605$

자주 하는 실수

위쪽 조각만 구하고 대칭인 아래쪽 조각을 빠뜨려 절반만 답하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$1.605$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 21번

# 넓이(여러 가지 함수)계산도전

3.CLP-2 · 1.1절 · 37번우리말 번역

(a) $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

을 정적분으로 나타내세요.

(b) (a)의 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Express

$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

as a definite integal.

(b) Evaluate the integral of part (a).

정답·풀이 보기

풀이 1: $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=-2$ , $b=x_n=0$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-x^2}$ 은 $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $x^2+y^2=4$ (반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $-2\le x\le 0$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

풀이 2: $x_i^*=\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=0$ , $b=x_n=2$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ 은 $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $(x-2)^2+y^2=4$ (중심이 $(2,0)$ 이고 반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $0\le x\le 2$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution #1: Set $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=-2$ and $b=x_n=0$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-x^2}$ is equivalent to $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $x^2+y^2=4$ (which has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $-2\le x\le 0$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

Solution #2: Set $x_i^*=\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=0$ and $b=x_n=2$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ is equivalent to $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $(x-2)^2+y^2=4$ (which is centered at $(2,0)$ and has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $0\le x\le 2$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 3번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

4.CLP-2 · 1.1절 · 38번우리말 번역

다음 적분을 생각하세요.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) 구간의 수를 $n=3$ 으로 하여 왼쪽 리만 합으로 이 적분의 근삿값을 구하세요. (b) 구간의 수가 $n$ 일 때 오른쪽 리만 합을 식으로 나타내고, 그 합을 계산하세요. 이제 리만 합의 식에서 극한 $n \to \infty$ 를 취하여 적분 ( $*$ ) 의 값을 정확하게 구하세요.

다음 항등식을 이용해도 됩니다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Consider the integral:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) Approximate this integral using the left Riemann sum with $n=3$ intervals. (b) Write down the expression for the right Riemann sum with $n$ intervals and calculate the sum. Now take the limit $n \to \infty$ in your expression for the Riemann sum, to evaluate the integral ( $*$ ) exactly.

You may use the identity

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 왼쪽 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{여기서 }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

$n=3$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ 이고, $x_0=0$ , $x_1=1$ , $x_2=2$ 이다. 함수 $f(x) = 7 + x^3$ 의 값은 $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , $f(x_2) = 7+2^3=15$ 이므로 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) $n$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ 이다. 따라서 오른쪽 리만 합은 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

합을 계산하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

극한값을 정확하게 구하기 위해 $n \to \infty$ 를 취한다. $1/n$ 을 포함한 항은 0 으로 사라지므로 다음이 남는다.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The left Riemann sum is defined as

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{with }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

We subdivide into $n=3$ intervals, so that $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ , $x_0=0$ , $x_1=1$ and $x_2=2$ . The function $f(x) = 7 + x^3$ has the values $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , and $f(x_2) = 7+2^3=15$ , from which we evaluate

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) We divide into $n$ intervals so that $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ . The right Riemann sum is therefore:

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

To calculate the sum:

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

To evaluate the limit exactly, we take $n \to \infty$ . The expressions involving $1/n$ vanish leaving:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 39번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

5.CLP-2 · 1.1절 · 39번우리말 번역

오른쪽 끝점 리만 합의 극한을 이용하여 $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

공식 $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ 과 $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ 을 사용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Using a limit of right–endpoint Riemann sums, evaluate $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ .

You may use the formulas $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ and $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

일반적으로 $n$ 개의 직사각형을 사용하여 적분 $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 오른쪽 끝점 리만 합으로 근사한 값은

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

이다. 여기서 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이다. 이 문제에서 $a=2$ , $b=4$ , $f(x)=x^2$ 이므로 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이고, 오른쪽 끝점 리만 합 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, the right–endpoint Riemann sum approximation to the integral $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ using $n$ rectangles is

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

where $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . In this problem, $a=2$ , $b=4$ , and $f(x)=x^2$ , so that $\Delta x=\frac{2}{n}$ and the right–endpoint Riemann sum approximation becomes

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

So

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.2절 · 10번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

6.CLP-2 · 1.1절 · 40번우리말 번역

정적분의 정의를 이용하여 $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. 합의 공식 $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ 과 $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ 을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Find $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ using the definition of the definite integral. You may use the summation formulas $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ and $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$a=0$ , $b=2$ 인 오른쪽 리만 합을 이용한다. 직사각형이 $n$ 개일 때 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ 이다. 따라서 다음의 값을 구해야 한다.

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We'll use right Riemann sums with $a=0$ and $b=2$ . When there are $n$ rectangles, $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ . So we need to evaluate

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 4번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

7.CLP-2 · 1.1절 · 42번우리말 번역

$n=10$ , $\Delta(x)=10$ , $a=-5$ 일 때 다음 식이 오른쪽 리만 합이 되도록 하는 함수 $f(x)$ 를 하나 구하세요: $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

영어 원문 보기

Give a function $f(x)$ that has the following expression as a right Riemann sum when $n=10$ , $\Delta(x)=10$ and $a=-5$ : $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

오른쪽 리만 합의 정의에 의해

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{$\Delta x = 10$ 이고 $a=-5$ 이므로,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{두 식을 모두 10으로 나누면,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{따라서 $f(-5+10i)$ 에 대한 식을 얻는다:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{$f(x)$ 를 구하기 위해 $x=-5+10i$ 로 놓으면 $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$ 이다.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using the definition of a right Riemann sum,

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{Since $\Delta x = 10$ and $a=-5$,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{Dividing both expressions by 10,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{So, we have an expression for $f(-5+10i)$:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{In order to find $f(x)$, let $x=-5+10i$. Then $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 40번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

8.CLP-2 · 1.1절 · 45번우리말 번역

$0 \leq a \leq 1$ 일 때, 기하를 이용하여 $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x$ using geometry, if $0 \leq a \leq 1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 $y=\sqrt{1-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원임에 주목한다. 0에서 $a$ 까지 곡선 아래의 넓이를 구하므로, 구하려는 영역은 아래 그림과 같다.

기하를 이용하여 이 넓이를 구하기 위해, 아래와 같이 원의 부채꼴과 삼각형, 두 부분으로 나눈다.

부채꼴의 넓이: 부채꼴은 반지름이 1인 원의 일부이고 중심각은 $\theta$ 이다. 따라서 그 넓이는 $\frac{\theta}{2\pi}\left(\text{원의 넓이}\right) = \frac{\theta}{2\pi}\left(\pi\right) = \frac{\theta}{2}$ 이다.

이제 $\theta$ 를 $a$ 에 대해 나타내야 한다. $\frac{\pi}{2}-\theta$ 는 단위원 안에 있는 빨간 삼각형의 한 내각임에 주목한다. 따라서 $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a$ 이다. 그러면 $\frac{\pi}{2}-\theta= \arccos(a)$ 이므로 $\theta = \frac{\pi}{2} - \arccos(a)$ 이다.

그러므로 부채꼴의 넓이는 $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)$ 제곱단위이다.

삼각형의 넓이: 삼각형의 밑변은 $a$ 이다. 높이는 $x=a$ 일 때 함수의 $y$ 값이므로 $\sqrt{1-a^2}$ 이다. 그러면 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ 이다.

따라서 $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2} \arccos(a) + \frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we note $y=\sqrt{1-x^2}$ is the upper half of a circle of radius 1, centred at the origin. We're taking the area under the curve from 0 to $a$ , so the area in question is as shown in the picture below.

In order to use geometry to find this area, we break it up into two pieces: a sector of a circle, and a triangle, shown below.

Area of sector: The sector is a portion of a circle with radius 1, with inner angle $\theta$ . So, its area is $\frac{\theta}{2\pi}\left(\text{area of circle}\right) = \frac{\theta}{2\pi}\left(\pi\right) = \frac{\theta}{2}$ .

Our job now is to find $\theta$ in terms of $a$ . Note $\frac{\pi}{2}-\theta$ is the inner angle of the red triangle, which lies in the unit circle. So, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a$ . Then $\frac{\pi}{2}-\theta= \arccos(a)$ , and so $\theta = \frac{\pi}{2} - \arccos(a)$ .

Then the area of the sector is $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)$ square units.

Area of triangle: The triangle has base $a$ . Its height is the $y$ -value of the function when $x=a$ , so its height is $\sqrt{1-a^2}$ . Then the area of the triangle is $\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ .

We conclude $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2} \arccos(a) + \frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 42번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

9.CLP-2 · 1.1절 · 47번우리말 번역

$f(x)$ 를 일차함수, $a<b$ 를 정수, $n$ 을 0 이상의 정수라고 하자. 참 또는 거짓: $\displaystyle\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ 에 대해 직사각형 $n$ 개를 사용한 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 구하면, 직사각형 $n$ 개를 사용한 중점 리만 합과 같은 값이 된다.

영어 원문 보기

Let $f(x)$ be a linear function, let $a<b$ be integers, and let $n$ be a whole number. True or false: if we average the left and right Riemann sums for $\displaystyle\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ using $n$ rectangles, we get the same value as the midpoint Riemann sum using $n$ rectangles.

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 일차함수이므로 $f(x)=mx+c$ 를 만족시키는 실수 $m$ , $c$ 가 존재한다. 이제 계산해 보자. 리만 합의 직사각형 하나가 구간 $[x,x+w]$ 를 차지한다고 하자.

왼쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x)=mx+c$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c)$ 이다.
오른쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+w)=m(x+w)+c=mx+c+mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c+mw)$ 이다.
중점 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+\frac{1}{2}w)=m(x+\frac{1}{2}w)+c=mx+c+\frac{1}{2}mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w\left(mx+c+\frac{1}{2}w\right)$ 이다.

그러므로 각 직사각형마다 중점 직사각형의 넓이는 왼쪽 직사각형과 오른쪽 직사각형 넓이의 평균과 같다. $w\left(mx+c+\frac{1}{2}mw\right) = \dfrac{ w(mx+c)+ w(mx+c+mw)}{2}$ 따라서 중점 리만 합의 값은 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 값의 평균과 같다. 이를 확인하기 위해, 중점 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $M_1,M_2,\ldots,M_n$ 이라 하고, 왼쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $L_1,L_2,\ldots,L_n$ 이라 하며, 오른쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $R_1,R_2,\ldots,R_n$ 이라 하자. 그러면 중점 리만 합의 값은 $M_1+M_2+\cdots+M_n$ 이고,

$\begin{aligned}\dfrac{ [L_1+L_2+\ldots+L_n]+ [R_1+R_2+\ldots+R_n] }{2} &= \dfrac{ L_1+ R_1 }{2}+ \dfrac{ L_2+ R_2 }{2}+ \cdots + \dfrac{ L_n+ R_n }{2} \\ &=M_1+M_2+\cdots+M_n\end{aligned}$

이다. 따라서 주어진 명제는 참이다.

(그러나 일차함수가 아닌 많은 함수 $f(x)$ 에 대해서는 거짓이다.)

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is linear, there exist real numbers $m$ and $c$ such that $f(x)=mx+c$ . Now we can do some calculations. Suppose we have a rectangle in our Riemann sum that takes up the interval $[x,x+w]$ .

If we are using a left Riemann sum, our rectangle has height $f(x)=mx+c$ . Then it has area $w(mx+c)$ .
If we are using a right Riemann sum, our rectangle has height $f(x+w)=m(x+w)+c=mx+c+mw$ . Then it has area $w(mx+c+mw)$ .
If we are using a midpoint Riemann sum, our rectangle has height $f(x+\frac{1}{2}w)=m(x+\frac{1}{2}w)+c=mx+c+\frac{1}{2}mw$ . Then it has area $w\left(mx+c+\frac{1}{2}w\right)$ .

So, for each rectangle in our sums, the midpoint rectangle has the same area as the average of the left and right rectangles: $w\left(mx+c+\frac{1}{2}mw\right) = \dfrac{ w(mx+c)+ w(mx+c+mw)}{2}$ It follows that the midpoint Riemann sum has a value equal to the average of the values of the left and right Riemann sums. To see this, let the rectangles in the midpoint Riemann sum have areas $M_1,M_2,\ldots,M_n$ , let the rectangles in the left Riemann sum have areas $L_1,L_2,\ldots,L_n$ , and let the rectangles in the right Riemann sum have areas $R_1,R_2,\ldots,R_n$ . Then the midpoint Riemann sum evaluates to $M_1+M_2+\cdots+M_n$ , and:

$\begin{aligned}\dfrac{ [L_1+L_2+\ldots+L_n]+ [R_1+R_2+\ldots+R_n] }{2} &= \dfrac{ L_1+ R_1 }{2}+ \dfrac{ L_2+ R_2 }{2}+ \cdots + \dfrac{ L_n+ R_n }{2} \\ &=M_1+M_2+\cdots+M_n\end{aligned}$

So, the statement is true.

(Note, however, it is false for many non-linear functions $f(x)$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 45번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인도전자동 분류

10.CLP-2 · 1.5절 · 14번우리말 번역

아래 그래프는 $y = 4 + \pi \sin x$ 와 $y = 4 + 2\pi - 2x$ 로 둘러싸인 유한한 영역을 나타낸다.

이 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

The graph below shows the finite region between $y = 4 + \pi \sin x$ and $y = 4 + 2\pi - 2x$ .

Find the area of this region.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

아래 그림과 같이 가늘고 긴 세로 띠를 이용하여 넓이를 계산한다.

위 그림을 보면 직선 $y = 4 + 2\pi - 2x$ 가 곡선 $y = 4 + \pi \sin x$ 와 $x=\frac{\pi}{2},$ $x=\pi$ , $x=\frac{3\pi}{2}$ 에서 만난다고 짐작할 수 있다. 이것이 맞는지 두 식에 각각 대입하여 $y$ 값이 일치하는지 확인하자.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & 4+2\pi-2x & 4+\pi\sin(x) & \text{일치?} \\ \hline \frac{\pi}{2} & 4+\pi & 4+\pi & \text{\checkmark} \\ \hline \pi & 4 & 4 & \text{\checkmark} \\ \hline \frac{3\pi}{2} & 4-\pi & 4-\pi & \text{\checkmark} \\ \hline \end{array}$

또 그림에서 다음을 알 수 있다.

$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ 일 때, 띠의 위쪽 끝은 $y = 4 + \pi \sin x$ 에 있고 아래쪽 끝은 $y = 4 + 2\pi - 2x$ 에 있다. 따라서 띠의 높이는 $\big[(4 + \pi \sin x)-(4 + 2\pi - 2x)\big]$ 이고 너비는 $\mathrm{d}x$ 이므로 넓이는 $\big[(4 + \pi \sin x)-(4 + 2\pi - 2x)\big]\mathrm{d}x$ 이다.
$\pi \le x \le \frac{3\pi}{2}$ 일 때, 띠의 위쪽 끝은 $y = 4 + 2\pi - 2x$ 에 있고 아래쪽 끝은 $y = 4 + \pi \sin x$ 에 있다. 따라서 띠의 높이는 $\big[(4 + 2\pi - 2x)-(4 + \pi \sin x)\big]$ 이고 너비는 $\mathrm{d}x$ 이므로 넓이는 $\big[(4 + 2\pi - 2x)-(4 + \pi \sin x)\big]\mathrm{d}x$ 이다.

이제 계산하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \text{넓이} &= \int_{\pi/2}^\pi \big[(4 + \pi \sin x)-(4 + 2\pi - 2x)\big]\ \mathrm{d}x +\int^{3\pi/2}_\pi \big[(4 + 2\pi - 2x)-(4 + \pi \sin x)\big]\ \mathrm{d}x\\ &= \int_{\pi/2}^\pi \big[\pi \sin x- 2\pi + 2x\big]\ \mathrm{d}x +\int^{3\pi/2}_\pi \big[2\pi - 2x- \pi \sin x\big]\ \mathrm{d}x\\ &=\Big[-\pi \cos x- 2\pi x + x^2\Big]_{\pi/2}^\pi +\Big[2\pi x - x^2+ \pi \cos x\Big]^{3\pi/2}_\pi\\ &=\left[\pi-\pi^2+\frac{3}{4}\pi^2\right] +\left[\pi^2-\frac{5}{4}\pi^2+\pi\right]\\ &=2\Big[\pi-\frac{1}{4}\pi^2\Big] \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We will compute the area by using thin vertical strips, as in the sketch below:

By looking at the sketch above, we guess the line $y = 4 + 2\pi - 2x$ intersects the curve $y = 4 + \pi \sin x$ when $x=\frac{\pi}{2},$ $x=\pi$ , and $x=\frac{3\pi}{2}$ . Let's make sure these are correct by plugging them into the two equations, and making sure the $y$ -values match:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & 4+2\pi-2x & 4+\pi\sin(x) & \text{match?} \\ \hline \frac{\pi}{2} & 4+\pi & 4+\pi & \text{\checkmark} \\ \hline \pi & 4 & 4 & \text{\checkmark} \\ \hline \frac{3\pi}{2} & 4-\pi & 4-\pi & \text{\checkmark} \\ \hline \end{array}$

Also from the sketch, we see that:

When $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ , the top of the strip is at $y = 4 + \pi \sin x$ and the bottom of the strip is at $y = 4 + 2\pi - 2x$ . So the strip has height $\big[(4 + \pi \sin x)-(4 + 2\pi - 2x)\big]$ and width $\mathrm{d}x$ , and hence area $\big[(4 + \pi \sin x)-(4 + 2\pi - 2x)\big]\mathrm{d}x$ .
When $\pi \le x \le \frac{3\pi}{2}$ , the top of the strip is at $y = 4 + 2\pi - 2x$ and the bottom of the strip is at $y = 4 + \pi \sin x$ . So the strip has height $\big[(4 + 2\pi - 2x)-(4 + \pi \sin x)\big]$ and width $\mathrm{d}x$ , and hence area $\big[(4 + 2\pi - 2x)-(4 + \pi \sin x)\big]\mathrm{d}x$ .

Now we can calculate:

$\begin{aligned} \text{Area} &= \int_{\pi/2}^\pi \big[(4 + \pi \sin x)-(4 + 2\pi - 2x)\big]\ \mathrm{d}x +\int^{3\pi/2}_\pi \big[(4 + 2\pi - 2x)-(4 + \pi \sin x)\big]\ \mathrm{d}x\\ &= \int_{\pi/2}^\pi \big[\pi \sin x- 2\pi + 2x\big]\ \mathrm{d}x +\int^{3\pi/2}_\pi \big[2\pi - 2x- \pi \sin x\big]\ \mathrm{d}x\\ &=\Big[-\pi \cos x- 2\pi x + x^2\Big]_{\pi/2}^\pi +\Big[2\pi x - x^2+ \pi \cos x\Big]^{3\pi/2}_\pi\\ &=\left[\pi-\pi^2+\frac{3}{4}\pi^2\right] +\left[\pi^2-\frac{5}{4}\pi^2+\pi\right]\\ &=2\Big[\pi-\frac{1}{4}\pi^2\Big] \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 15번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석도전자동 분류

11.CLP-2 · 1.5절 · 15번우리말 번역

곡선 $x=0$ , $x=3$ , $y=x+2$ , $y=x^2$ 으로 유계인 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the area of the finite region bounded by the curves $x=0$ , $x=3$ , $y=x+2$ and $y=x^2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 영역의 개형은 다음과 같다. 개형을 그리라는 요구는 없었지만, 문제를 이해하는 데 매우 중요하다.

두 곡선 $y=x+2$ 와 $y=x^2$ 은 $(2,4)$ 에서 만난다. $0\le x\le 2$ 에서 두 곡선 사이 부분의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_0^2 \big[x+2-x^2\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{2} x^2+2x-\frac{1}{3}x^3\Big]_0^2 =2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3} \end{aligned}$

$2\le x\le 3$ 에서 두 곡선 사이 부분의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_2^3 \big[x^2-(x+2)\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2} x^2-2x\Big]_2^3 =9-\frac{9}{2}-6-\frac{8}{3}+2+4=\frac{11}{6} \end{aligned}$

전체 넓이는 $\dfrac{10}{3}+\dfrac{11}{6}=\dfrac{31}{6}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, here is a sketch of the region. We are not asked for it, but it is crucial for understanding the question.

The two curves $y=x+2$ and $y=x^2$ cross at $(2,4)$ . The area of the part between them with $0\le x\le 2$ is:

$\begin{aligned} \int_0^2 \big[x+2-x^2\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{2} x^2+2x-\frac{1}{3}x^3\Big]_0^2 =2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3} \end{aligned}$

The area of the part between the two curves with $2\le x\le 3$ is:

$\begin{aligned} \int_2^3 \big[x^2-(x+2)\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2} x^2-2x\Big]_2^3 =9-\frac{9}{2}-6-\frac{8}{3}+2+4=\frac{11}{6} \end{aligned}$

The total area is $\dfrac{10}{3}+\dfrac{11}{6}=\dfrac{31}{6}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 9번

# 넓이(여러 가지 함수)활용도전자동 분류

12.CLP-2 · 1.5절 · 16번우리말 번역

구간 $0\le x\le 4$ 에서 곡선 $y = x \sqrt{25-x^2}$ 과 $y=3x$ 사이의 전체 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the total area between the curves $y = x \sqrt{25-x^2}$ and $y=3x$ , on the interval $0\le x\le 4$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

어느 구간에서 어느 곡선이 위쪽에 있는지 알아내야 한다. 이를 위해 $h(x) = 3x - x\sqrt{25-x^2}$ 로 놓는다. $h(x) > 0$ 이면 $y=3x$ 가 위쪽 곡선이고, $h(x)<0$ 이면 $y=x\sqrt{25-x^2}$ 이 위쪽 곡선이다.

$\begin{aligned} h(x) &= 3x - x\sqrt{25-x^2} = x\left[3-\sqrt{25-x^2}\right] \\ \text{우리는 $[0,4]$ 에 속하는 $x$ 의 값만 다루므로 $x$ 는 음이 아니다. 그러면 $h(x)$ 가 양수가 되는 경우는:} \\ 3&> \sqrt{25-x^2}\\ 9&> 25-x^2\\ x^2 & > 16\\ x&> 4 \end{aligned}$

즉, 구간 $[0,4]$ 에서 $h(x)$ 는 양수가 되는 일이 없다. 따라서 $0\le x\le 4$ 인 모든 $x$ 에 대해 $y = x \sqrt{25-x^2}$ 이 $y=3x$ 보다 위에 있다.

그러므로 구하는 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} A &= \int_0^4 \left[x \sqrt{25-x^2} - 3x\right]\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^4 x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x - \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x \\&= A_1 - A_2. \end{aligned}$

$A_1$ 을 계산하기 위해 치환 $u(x) = 25-x^2$ 을 사용한다. 이때 $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x= -2x\,\mathrm{d}x$ 이고, $x=4$ 일 때 $u(4)=25-4^2=9$ , $x=0$ 일 때 $u(0)=25-0^2=25$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} A_1 &= \int_{x=0}^{x=4} x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int_{u=25}^{u=9} \sqrt{u}\,\mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{3} u^{3/2} \right]_{25}^{9} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3} \end{aligned}$

$A_2$ 는 부정적분을 직접 이용한다.

$A_2 = \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x =\left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^4 = 24$

따라서 전체 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} A = \frac{98}{3} - 24 = \frac{26}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We need to figure out which curve is on top, when. To do this, set $h(x) = 3x - x\sqrt{25-x^2}$ . If $h(x) > 0$ , then $y=3x$ is the top curve; if $h(x)<0$ , then $y=x\sqrt{25-x^2}$ is the top curve.

$\begin{aligned} h(x) &= 3x - x\sqrt{25-x^2} = x\left[3-\sqrt{25-x^2}\right] \\ \text{We only care about values of $x$ in $[0,4]$, so $x$ is nonnegative. Then $h(x)$ is positive when:} \\ 3&> \sqrt{25-x^2}\\ 9&> 25-x^2\\ x^2 & > 16\\ x&> 4 \end{aligned}$

That is, $h(x)$ is never positive over the interval $[0,4]$ . So, $y = x \sqrt{25-x^2}$ lies above $y=3x$ for all $0\le x\le 4$ .

The area we need to calculate is therefore:

$\begin{aligned} A &= \int_0^4 \left[x \sqrt{25-x^2} - 3x\right]\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^4 x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x - \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x \\&= A_1 - A_2. \end{aligned}$

To evaluate $A_1$ , we use the substitution $u(x) = 25-x^2$ , for which $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x= -2x\,\mathrm{d}x$ ; and $u(4)=25-4^2=9$ when $x=4$ , while $u(0)=25-0^2=25$ when $x=0$ . Therefore

$\begin{aligned} A_1 &= \int_{x=0}^{x=4} x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int_{u=25}^{u=9} \sqrt{u}\,\mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{3} u^{3/2} \right]_{25}^{9} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3} \end{aligned}$

For $A_2$ we use the antiderivative directly:

$A_2 = \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x =\left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^4 = 24$

Therefore the total area is:

$\begin{aligned} A = \frac{98}{3} - 24 = \frac{26}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 8번

# 넓이(여러 가지 함수)계산도전자동 분류

13.CLP-2 · 1.5절 · 17번우리말 번역

$y=\sqrt{9-x^2}$ 의 아래쪽, $y=x$ 의 아래쪽, 그리고 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 의 위쪽에 있는 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the finite region below $y=\sqrt{9-x^2}$ and $y=x$ , and above $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 영역을 그려 보자. $y=\sqrt{9-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원의 위쪽 반원이고, $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 은 $(1,0)$ 을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원이다.

$y=x$ 는 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 과 $(1,1)$ 에서 만나며, 이 점은 작은 반원의 가장 높은 점이다.

삼각형과 원의 부채꼴의 넓이는 쉽게 구할 수 있다. 이를 염두에 두고 영역을 다음과 같이 나눈다.

구하는 넓이는 $A_3-(A_1+A_2)$ 이다.
$A_1$ 은 밑변의 길이가 1이고 높이가 1인 직각삼각형의 넓이이므로 $A_1 = \frac{1}{2}$ 이다.
$A_2$ 는 반지름이 1인 원의 사분원의 넓이이므로 $A_2=\frac{\pi}{4}$ 이다.
$A_3$ 은 반지름이 3인 원의 8분의 1의 넓이이므로 $A_3 = \frac{9\pi}{8}$ 이다.

따라서 이 영역의 넓이는 $\dfrac{9\pi}{8} - \dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{8}-\dfrac{1}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's begin by sketching our region. Note that $y=\sqrt{9-x^2}$ is the top half of a circle centred at the origin with radius 3, while $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ is the top half of a circle of radius 1 centred at $(1,0)$ .

Note $y=x$ intersects $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ at $(1,1)$ , the highest part of the smaller half-circle.

We can easily take the area of triangles and sectors of circles. With that in mind, we cut up our region the following way:

The desired area is $A_3-(A_1+A_2)$ .
$A_1$ is the area of right a triangle with base 1 and height 1, so $A_1 = \frac{1}{2}$ .
$A_2$ is the area of a quarter circle of radius 1, so $A_2=\frac{\pi}{4}$ .
$A_3$ is the area of an eighth of a circle of radius 3, so $A_3 = \frac{9\pi}{8}$

So, the area of our region is $\dfrac{9\pi}{8} - \dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{8}-\dfrac{1}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 7번

# 넓이(여러 가지 함수)활용도전자동 분류

14.CLP-2 · 1.5절 · 18번우리말 번역

곡선 $y=x(x^2-4)$ 와 직선 $y=x-2$ 에 의해 유계가 되는 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the finite region bounded by the curve $y=x(x^2-4)$ and the line $y=x-2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

첫 번째 함수는 삼차함수이며, $x=0,\pm2$ 에서 축과 만난다. 두 번째 함수는 기울기가 양수인 직선이다.

이 함수들이 서로 어떤 위치 관계에 있는지 알아야 하므로, 교점을 구한다.

$\begin{aligned} x(x^2-4)&=x-2\\ x(x+2)(x-2)&=x-2\\ \boxed{x-2=0} \quad\text{또는}\quad x(x+2)&=1\\ x^2+2x-1&=0\\ x &= \dfrac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-1)}}{2}\\ x&=\boxed{-1\pm \sqrt{2}} \end{aligned}$

따라서 세 교점은 $x=2$ 일 때와 ${x=-1\pm\sqrt{2}}$ 일 때이다. 다음이 성립한다. $-1-\sqrt{2} < -1+\sqrt{2} < -1+\sqrt{4}< 2\ .$ 그러므로 두 구간 $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ 와 $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ 에서 각각 어느 함수가 위에 있는지 알아보아야 한다. 각 구간의 한 점에서 확인하면 충분하다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & x(x^2-4) & x-2 & \text{위쪽 함수:} \\ \hline \text{0} & \text{0} & -2 & x(x^2-4) \\ \hline \text{1} & \text{-3} & -1 & x-2 \\ \hline \end{array}$

0 은 구간 $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ 에 속하므로, 이 구간에서는 $x(x^2-4)$ 가 위쪽 함수이다. 1 은 구간 $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ 에 속하므로, 이 구간에서는 $x-2$ 가 위쪽 함수이다. 이제 넓이를 구하는 적분을 세울 수 있다.

$\begin{aligned} \text{넓이}&=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x(x^2-4) - (x-2)\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[(x-2)-x(x^2-4)\right]\ \mathrm{d}x\\ &=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x^3-5x+2\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[-x^3+5x-2\right]\ \mathrm{d}x \\&=\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2+2x\right]_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}} \quad&&+ \quad &&\left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{2}x^2-2x\right]_{-1+\sqrt{2}}^{2} \\ \text{번거롭지만 기초적인 대수 계산을 하면:} \\ &=\left(8\sqrt{2}\right)+\left(4\sqrt{2}-\frac{13}{4}\right)=12\sqrt{2}-\frac{13}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The first function is a cubic, with intercepts at $x=0,\pm2$ . The second is a straight line with a positive slope.

We need to figure out what these functions look like in relation to one another, so let's find their points of intersection.

$\begin{aligned} x(x^2-4)&=x-2\\ x(x+2)(x-2)&=x-2\\ \boxed{x-2=0} \quad\text{or}\quad x(x+2)&=1\\ x^2+2x-1&=0\\ x &= \dfrac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-1)}}{2}\\ x&=\boxed{-1\pm \sqrt{2}} \end{aligned}$

So, our three points of intersection are when $x=2$ and when ${x=-1\pm\sqrt{2}}$ . We note $-1-\sqrt{2} < -1+\sqrt{2} < -1+\sqrt{4}< 2\ .$ So, we need to see which function is on top over the two intervals $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ and $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ . It suffices to check points in these intervals.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & x(x^2-4) & x-2 & \text{top function:} \\ \hline \text{0} & \text{0} & -2 & x(x^2-4) \\ \hline \text{1} & \text{-3} & -1 & x-2 \\ \hline \end{array}$

Since 0 is in the interval $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ , $x(x^2-4)$ is the top function in that interval. Since 1 is in the interval $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ , $x-2$ is the top function in that interval. Now we can set up the integral to evaluate the area:

$\begin{aligned} \text{Area}&=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x(x^2-4) - (x-2)\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[(x-2)-x(x^2-4)\right]\ \mathrm{d}x\\ &=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x^3-5x+2\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[-x^3+5x-2\right]\ \mathrm{d}x \\&=\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2+2x\right]_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}} \quad&&+ \quad &&\left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{2}x^2-2x\right]_{-1+\sqrt{2}}^{2} \\ \text{After some taxing but rudimentary algebra:} \\ &=\left(8\sqrt{2}\right)+\left(4\sqrt{2}-\frac{13}{4}\right)=12\sqrt{2}-\frac{13}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.1절 · 12번

# 넓이(여러 가지 함수)활용도전자동 분류

15.CLP-2 · 1.6절 · 17번우리말 번역

지구의 모양은 구가 아니라 납작한 회전타원체로 어림되는 경우가 많습니다. 납작한 회전타원체는 타원을 단축(가장 짧은 지름)을 축으로 회전시켜 만든 도형입니다.

(a) 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 위쪽(양의) 절반을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 얻은 납작한 회전타원체의 부피를 구하세요. 단, $a$ 와 $b$ 는 $a \geq b$ 인 양의 상수입니다. (b) (지구 개요 자료, NASA, https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html, 2017년 7월 2일 접속) 지구의 적도 반지름이 6378.137 km 이고 극 반지름이 6356.752 km 라고 합시다. 지구를 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 위쪽 절반을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 얻은 납작한 회전타원체로 모형화하면, $a$ 와 $b$ 는 각각 얼마인지 구하세요. (c) 이 지구 모형의 부피를 구하세요. (계산기를 사용하세요.) (d) 지구를 반지름이 $6378.137$ km 인 구로 모형화하여 부피를 계산했다고 합시다. 납작한 회전타원체로 계산한 값과 비교할 때 절대오차와 상대오차는 각각 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

The shape of the earth is often approximated by an oblate spheroid, rather than a sphere. An oblate spheroid is formed by rotating an ellipse about its minor axis (its shortest diameter).

(a) Find the volume of the oblate spheroid obtained by rotating the upper (positive) half of the ellipse $(ax)^2+(by)^2=1$ about the $x$ -axis, where $a$ and $b$ are positive constants with $a \geq b$ . (b) Suppose (Earth Fact Sheet, NASA, https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html, accessed 2 July 2017) the earth has radius at the equator of 6378.137 km, and radius at the poles of 6356.752 km. If we model the earth as an oblate spheroid formed by rotating the upper half of the ellipse $(ax)^2+(by)^2=1$ about the $x$ -axis, what are $a$ and $b$ ? (c) What is the volume of this model of the earth? (Use a calculator.) (d) Suppose we had calculated the volume of the earth by modelling it as a sphere with radius $6378.137$ km. What would our absolute and relative errors be, compared to our oblate spheroid calculation?

정답·풀이 보기

(a)

먼저 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 위쪽 절반의 그래프를 그린다. 절편만 알아도 대략적인 모양을 알 수 있다: $(0,\frac{1}{b})$ 와 $(\pm\frac{1}{a},0)$ :

처음에 몇 가지를 짚어 두자. 첫째, $a \geq b$ 이므로 $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ 이고, 따라서 $x$ 축이 단축이다. 즉, 납작한 회전타원체를 만들기 위해 알맞은 축을 중심으로 회전시키고 있다.

둘째, 방정식을 $y$ 에 대해 풀면 $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ 이다. (타원의 위쪽 절반만 필요하므로 양의 제곱근만 생각하면 된다.)

이제 표준적인 회전체의 부피 문제이다. 너비가 $\mathrm{d}x$ 이고 높이가 $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ 인 세로 조각으로 나눈다. 이 조각들을 $x$ 축을 중심으로 회전시키면 부피가 $\pi\left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x$ 인 얇은 원판이 된다. $x$ 는 $-\frac{1}{a}$ 에서 $\frac{1}{a}$ 까지 변하므로, 납작한 회전타원체의 부피는 다음과 같다:

$\begin{aligned} \text{부피}&=\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} \pi \left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi}{b^2}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\int_{0}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x&\text{(우함수)}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[x - \frac{a^2x^3}{3}\right]_{0}^{\frac{1}{a}}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[\frac{1}{a} - \frac{1}{3a} \right] = \frac{4\pi}{3b^2a} \end{aligned}$

(b) (a)의 그래프에서 보았듯이 타원의 가장 짧은 반지름은 $\frac{1}{a}$ 이고 가장 긴 반지름은 $\frac{1}{b}$ 이다. 따라서 $\frac{1}{a} = 6356.752$ 이고 $\frac{1}{b} = 6378.137$ 이다. 즉, $a = \dfrac{1}{6356.752}$ 이고 $b=\dfrac{1}{6378.137}$ 이다.

(a)에서 주어진 대로 $a \geq b$ 임에 유의한다.

(c) (a)와 (b)의 답을 결합하면, 지구와 거의 같은 크기의 납작한 회전타원체의 부피는 다음과 같다:

$\begin{aligned} \frac{4\pi}{3b^2a} &= \frac{4\pi}{3}\left(\frac{1}{b}\right)^2\left(\frac{1}{a}\right)\\ &=\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right)\\ &\approx 1.08321\times 10^{12} \quad\mathrm{km}^3\\ &\approx 1.08321\times 10^{21} \quad\mathrm{m}^3 \end{aligned}$

(d) 반지름이 6378.137 인 구의 부피는

$\begin{aligned} &\dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \\ \text{따라서 절대오차는 다음과 같다:} \\ &\left|\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right) - \dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \right|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2(21.385)\\ \approx&~3.64 \times 10^{9}~\mathrm{km}^3 \\ \text{그리고 상대오차는 다음과 같다:} \\ \frac{\text{절대오차}}{\text{참값}}&=\frac{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|}{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right)}\\ &=\frac{\big|6356.752 - 6378.137\big|}{6356.752}\\ &=\frac{6378.137}{6356.752}-1\\ &\approx ~0.00336 \end{aligned}$

즉, 약 $0.336\%$ 로, 1퍼센트의 약 3분의 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a)

We'll want to start by graphing the upper half of the ellipse $(ax)^2+(by)^2=1$ . Its intercepts will be enough to get us an idea: $(0,\frac{1}{b})$ and $(\pm\frac{1}{a},0)$ :

We note a few things at the outset: first, since $a \geq b$ , then $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ , so indeed the $x$ -axis is the minor axis. That is, we're rotating about the proper axis to create an oblate spheroid.

Second, if we solve our equation for $y$ , we get $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ . (Since we only want the upper half of the ellipse, we only need to consider the positive square root.)

Now, we have a standard volume-of-revolution problem. We make vertical slices, of width $\mathrm{d}x$ and height $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ . When we rotate these slices about the $x$ -axis, they form thin disks of volume $\pi\left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x$ . Since $x$ runs from $-\frac{1}{a}$ to $\frac{1}{a}$ , the volume of our oblate spheroid is:

$\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} \pi \left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi}{b^2}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\int_{0}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x&\text{(even function)}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[x - \frac{a^2x^3}{3}\right]_{0}^{\frac{1}{a}}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[\frac{1}{a} - \frac{1}{3a} \right] = \frac{4\pi}{3b^2a} \end{aligned}$

(b) As we saw in the sketch from part (a), the shortest radius of the ellipse is $\frac{1}{a}$ , while the largest is $\frac{1}{b}$ . So, $\frac{1}{a} = 6356.752$ , and $\frac{1}{b} = 6378.137$ . That is, $a = \dfrac{1}{6356.752}$ and $b=\dfrac{1}{6378.137}$ .

Note $a \geq b$ , as specified in part (a).

(c) Combining our answers from (a) and (b), the volume of an oblate spheroid with approximately the same dimensions as the earth is:

$\begin{aligned} \frac{4\pi}{3b^2a} &= \frac{4\pi}{3}\left(\frac{1}{b}\right)^2\left(\frac{1}{a}\right)\\ &=\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right)\\ &\approx 1.08321\times 10^{12} \quad\mathrm{km}^3\\ &\approx 1.08321\times 10^{21} \quad\mathrm{m}^3 \end{aligned}$

(d) A sphere of radius 6378.137 has volume

$\begin{aligned} &\dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \\ \text{So, our absolute error is:} \\ &\left|\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right) - \dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \right|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2(21.385)\\ \approx&~3.64 \times 10^{9}~\mathrm{km}^3 \\ \text{And our relative error is:} \\ \frac{\text{abs error}}{\text{actual value}}&=\frac{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|}{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right)}\\ &=\frac{\big|6356.752 - 6378.137\big|}{6356.752}\\ &=\frac{6378.137}{6356.752}-1\\ &\approx ~0.00336 \end{aligned}$

That is, about $0.336\%$ , or about one-third of one percent.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 2번

# 입체도형의 부피활용도전자동 분류

16.CLP-2 · 1.7절 · 18번우리말 번역

$\displaystyle\int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$u = \arctan(2y)$ , $\mathrm{d}v = 4y \,\mathrm{d}y$ 로 놓고 부분적분을 한다. 그러면 $v=2y^2$ 이고 $\mathrm{d}u= \frac{2\, \mathrm{d}y}{1+(2y)^2}$ 이다:

$\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = \underbrace{2y^2\arctan(2y)}_{uv} - \int\underbrace{ \frac{4y^2}{(2y)^2+1} \,\mathrm{d}y}_{v\mathrm{d}u} \end{aligned}$

피적분함수 $\frac{4y^2}{(2y)^2+1}$ 는 유리함수이다. 따라서 남은 적분은 먼저 나눗셈을 한 다음 부분분수 방법으로 계산할 수 있다. 그러나 $\frac{4y^2}{4y^2+1} = \frac{4y^2+1}{4y^2+1} - \frac{1}{4y^2+1}$ 임을 알아차리는 것이 더 쉽다. 그러므로 다음을 얻는다:

$\begin{aligned} \int \frac{4y^2}{4y^2+1} \,\mathrm{d}y = \int \left(1 - \frac{1}{4y^2+1}\right)\,\mathrm{d}y = y - \frac12\arctan(2y) + C \end{aligned}$

따라서 최종 답은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = 2y^2\arctan(2y) - y + \frac{1}{2}\arctan(2y) + C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We integrate by parts, using $u = \arctan(2y)$ , $\mathrm{d}v = 4y \,\mathrm{d}y$ , so that $v=2y^2$ and $\mathrm{d}u= \frac{2\, \mathrm{d}y}{1+(2y)^2}$ :

$\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = \underbrace{2y^2\arctan(2y)}_{uv} - \int\underbrace{ \frac{4y^2}{(2y)^2+1} \,\mathrm{d}y}_{v\mathrm{d}u} \end{aligned}$

The integrand $\frac{4y^2}{(2y)^2+1}$ is a rational function. So the remaining integral can be evaluated using the method of partial fractions, starting with long division. But it is easier to just notice that $\frac{4y^2}{4y^2+1} = \frac{4y^2+1}{4y^2+1} - \frac{1}{4y^2+1}$ . We therefore have:

$\begin{aligned} \int \frac{4y^2}{4y^2+1} \,\mathrm{d}y = \int \left(1 - \frac{1}{4y^2+1}\right)\,\mathrm{d}y = y - \frac12\arctan(2y) + C \end{aligned}$

The final answer is then

$\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = 2y^2\arctan(2y) - y + \frac{1}{2}\arctan(2y) + C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 16번

# 부분적분법계산도전자동 분류

17.CLP-2 · 1.7절 · 23번우리말 번역

$\displaystyle\int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

어디서부터 시작해야 할지 분명하지 않지만, 일반적으로 삼각함수의 인수가 같으면 편리하다. 그래서 항등식 $\sin(2x)=2\sin x \cos x$ 를 이용한다.

$\begin{aligned} \int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x&=2\int e^{\cos x}\cos x \sin x\,\mathrm{d}x \\ \text{이제 $w=\cos x$, $\mathrm{d}w=-\sin x \mathrm{d}x$ 로 치환할 수 있다.} \\ &=-2\int we^w\mathrm{d}w \\ \text{여기서부터 적분이 더 익숙해 보일 것이다. $u=w$, $\mathrm{d}v = e^w\mathrm{d}w$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}w$, $v=e^w$ 로 놓고 부분적분을 할 수 있다.} \\ &=-2\left[\underbrace{we^w}_{uv} - \int \underbrace{e^w\mathrm{d}w}_{v\mathrm{d}u}\right]\\ &=2e^w\left[1-w\right]+C\\ &=2e^{\cos x}[1-\cos x]+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

It's not obvious where to start, but in general it's nice to have the arguments of our trig functions the same. So, we use the identity $\sin(2x)=2\sin x \cos x$ .

$\begin{aligned} \int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x&=2\int e^{\cos x}\cos x \sin x\,\mathrm{d}x \\ \text{Now we can use the substitution $w=\cos x$, $\mathrm{d}w=-\sin x \mathrm{d}x$.} \\ &=-2\int we^w\mathrm{d}w \\ \text{From here the integral should look more familiar. We can use integration by parts with $u=w$, $\mathrm{d}v = e^w\mathrm{d}w$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}w$, and $v=e^w$.} \\ &=-2\left[\underbrace{we^w}_{uv} - \int \underbrace{e^w\mathrm{d}w}_{v\mathrm{d}u}\right]\\ &=2e^w\left[1-w\right]+C\\ &=2e^{\cos x}[1-\cos x]+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 18번

# 부분적분법계산도전자동 분류

18.CLP-2 · 1.7절 · 24번우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{x e^{-x}}{(1-x)^2}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{x e^{-x}}{(1-x)^2}\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

피적분함수가 여러 함수의 곱으로 이루어져 있고, 뚜렷한 치환도 보이지 않는다. 그래서 부분적분을 생각한다. $\frac{1}{(1-x)^2}$ 의 부정적분은 알고 있는데, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}$ 임을 알고 있기 때문이다. 그러므로 $\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}$ 과 $u=xe^{-x}$ 로 놓아 보자. 그러면 $v=\frac{1}{1-x}$ 이고 $\mathrm{d}u = (1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x$ 이다. 따라서 부분적분에 의해

$\begin{aligned} \int\underbrace{xe^{-x}}_{u}\underbrace{ \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}}_{\mathrm{d}v} &= \underbrace{\frac{xe^{-x}}{1-x}}_{uv} -\int\underbrace{\frac{1}{1-x}}_{v}\underbrace{(1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u} \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} -\int e^{-x}\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} + e^{-x} + C =\frac{e^{-x}}{1-x} + C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We've got an integrand that consists of several functions multiplied together, and no obvious substitution. So, we think about integration by parts. We know an antiderivative for $\frac{1}{(1-x)^2}$ , because we know $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}$ . So let's try $\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}$ and $u=xe^{-x}$ . Then $v=\frac{1}{1-x}$ and $\mathrm{d}u = (1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x$ . So, by integration by parts,

$\begin{aligned} \int\underbrace{xe^{-x}}_{u}\underbrace{ \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}}_{\mathrm{d}v} &= \underbrace{\frac{xe^{-x}}{1-x}}_{uv} -\int\underbrace{\frac{1}{1-x}}_{v}\underbrace{(1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u} \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} -\int e^{-x}\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} + e^{-x} + C =\frac{e^{-x}}{1-x} + C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 12번

# 부분적분법계산도전자동 분류

19.CLP-2 · 1.7절 · 25번우리말 번역

점화식.

(a) 다음 점화식을 유도하세요. $\int\sin^n(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{\sin^{n-1}(x)\cos(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A reduction formula.

(a) Derive the reduction formula $\int\sin^n(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{\sin^{n-1}(x)\cos(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) Calculate $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) 피적분함수의 "부분"은 사인의 거듭제곱이다. 점화식의 우변을 보면, 정확히 같지는 않지만 $\sin^{n-1}x$ 의 도함수와 조금 비슷해 보인다. 그래서 $u=\sin^{n-1}x$ , $\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분하면 $\mathrm{d}u=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x$ 이고 $v=-\cos x$ 이다.

$\begin{aligned} \int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=\underbrace{-\sin^{n-1}x\ \cos x}_{uv}+\underbrace{(n-1)\int \cos^2x\ \sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x}_{-\int v\mathrm{d}u} \\ \text{항등식 $\sin^2 x + \cos^2 x =1 $ 을 이용하면,} \\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int (1-\sin^2 x)\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x -(n-1)\int\sin^{n}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

우변의 마지막 항을 좌변으로 옮기면

$\begin{aligned} n\int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

양변을 $n$ 으로 나누면 구하려던 점화식이 얻어진다.

(b) (a)의 점화식에 의해 $n \ge 2$ 이면

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,\mathrm{d}x= \frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

이다. 이는 $\sin 0=\cos\frac{\pi}{2}=0$ 이기 때문이다. $n=8,6,4,2$ 에 대해 이 점화식을 적용하면:

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x &=\frac{7}{8}\int_0^{\pi/2}\sin^6(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\int_0^{\pi/2}\sin^4(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{35}{256}\pi \end{aligned}$

계산기를 사용하면 이 값은 약 $0.4295$ 임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The “parts" in the integrand are powers of sine. Looking at the right hand side of the reduction formula, we see that it looks a little like the derivative of $\sin^{n-1}x$ , although not exactly. So, let's integrate by parts with $u=\sin^{n-1}x$ and $\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$ , so that $\mathrm{d}u=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x$ and $v=-\cos x$ .

$\begin{aligned} \int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=\underbrace{-\sin^{n-1}x\ \cos x}_{uv}+\underbrace{(n-1)\int \cos^2x\ \sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x}_{-\int v\mathrm{d}u} \\ \text{Using the identity $\sin^2 x + \cos^2 x =1 $,} \\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int (1-\sin^2 x)\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x -(n-1)\int\sin^{n}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

Moving the last term on the right hand side to the left hand side gives

$\begin{aligned} n\int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

Dividing across by $n$ gives the desired reduction formula.

(b) By the reduction formula of part (a), if $n \ge 2$ ,

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,\mathrm{d}x= \frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

since $\sin 0=\cos\frac{\pi}{2}=0$ . Applying this reduction formula, with $n=8,6,4,2$ :

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x &=\frac{7}{8}\int_0^{\pi/2}\sin^6(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\int_0^{\pi/2}\sin^4(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{35}{256}\pi \end{aligned}$

Using a calculator, we see this is approximately $0.4295$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 24번

# 부분적분법계산도전자동 분류

20.CLP-2 · 1.7절 · 27번우리말 번역

$R$ 을 구간 $0 \le x \le 3$ 에서 곡선 $T(x) = \sqrt{x}e^{3x}$ 과 $B(x) = \sqrt{x}(1+2x)$ 사이의 영역이라 하자. (모든 $0\le x\le 3$ 에 대해 $T(x)\ge B(x)$ 임이 알려져 있다.) $R$ 을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $R$ be the region between the curves $T(x) = \sqrt{x}e^{3x}$ and $B(x) = \sqrt{x}(1+2x)$ on the interval $0 \le x \le 3$ . (It is true that $T(x)\ge B(x)$ for all $0\le x\le 3$ .) Compute the volume of the solid formed by rotating $R$ about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$x$ 의 값을 고정하고 $x$ 축을 중심으로 회전시키면, 안쪽 반지름이 $B(x)$ 이고 바깥쪽 반지름이 $T(x)$ 인 워셔(속이 빈 원판)가 만들어지므로 그 넓이는 $\pi [T(x)^2 - B(x)^2]$ 이다. 이 함수를 $x=0$ 에서 $x=3$ 까지 적분하여 전체 부피 $V$ 를 구한다:

$\begin{aligned} V &= \int_0^3 \pi [T(x)^2 - B(x)^2]\,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 (\sqrt{x}e^{3x})^2 - (\sqrt{x}(1+2x))^2 \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 \big( xe^{6x} - (x+4x^2+4x^3) \big) \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[ \frac{x^2}{2} + \frac{4x^3}{3} + x^4\Big]_{0}^3 \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4\Big] \end{aligned}$

첫 번째 적분에는 $u(x) = x$ , $\mathrm{d}v = e^{6x}\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분을 사용한다. 그러면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이고 $v(x)=\frac16e^{6x}$ 이다:

$\begin{aligned} \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x &=\underbrace{ \frac{xe^{6x}}{6}}_{uv}\bigg|_{0}^3 - \int_0^3 \underbrace{\frac{1}{6}e^{6x} \,\mathrm{d}x }_{v\mathrm{d}u}\\ &= \frac{3e^{18}}{6} - 0 - \frac{1}{36} e^{6x} \bigg|_{0}^3 = \frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg). \end{aligned}$

따라서 전체 부피는

$\begin{aligned} V = \pi \bigg[\frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg) \bigg] - \pi \bigg[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4 \bigg] = \pi \bigg( \frac{17 e^{18}-4373}{36} \bigg). \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

For a fixed value of $x$ , if we rotate about the $x$ -axis, we form a washer of inner radius $B(x)$ and outer radius $T(x)$ and hence of area $\pi [T(x)^2 - B(x)^2]$ . We integrate this function from $x=0$ to $x=3$ to find the total volume $V$ :

$\begin{aligned} V &= \int_0^3 \pi [T(x)^2 - B(x)^2]\,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 (\sqrt{x}e^{3x})^2 - (\sqrt{x}(1+2x))^2 \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 \big( xe^{6x} - (x+4x^2+4x^3) \big) \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[ \frac{x^2}{2} + \frac{4x^3}{3} + x^4\Big]_{0}^3 \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4\Big] \end{aligned}$

For the first integral, we use integration by parts with $u(x) = x$ , $\mathrm{d}v = e^{6x}\mathrm{d}x$ , so that $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ and $v(x)=\frac16e^{6x}$ :

$\begin{aligned} \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x &=\underbrace{ \frac{xe^{6x}}{6}}_{uv}\bigg|_{0}^3 - \int_0^3 \underbrace{\frac{1}{6}e^{6x} \,\mathrm{d}x }_{v\mathrm{d}u}\\ &= \frac{3e^{18}}{6} - 0 - \frac{1}{36} e^{6x} \bigg|_{0}^3 = \frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg). \end{aligned}$

Therefore, the total volume is

$\begin{aligned} V = \pi \bigg[\frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg) \bigg] - \pi \bigg[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4 \bigg] = \pi \bigg( \frac{17 e^{18}-4373}{36} \bigg). \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 25번

# 부분적분법활용도전자동 분류

적분법 전체 문제