적분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

21.APEX · 7.4절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 곡선의 길이를 구하는 적분 공식은 먼저 직선 선분으로 호의 길이를 근사하여 얻었다.

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T/F: The integral formula for computing Arc Length was found by first approximating arc length with straight line segments.

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T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.4절 · 2번

# 곡선의 길이개념 확인자동 분류

22.APEX · 7.4절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 곡선의 길이를 구하는 적분 공식에는 제곱근이 들어 있으므로, 그 적분은 아마도 쉬울 것이다.

영어 원문 보기

T/F: The integral formula for computing Arc Length includes a square–root, meaning the integration is probably easy.

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F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 53번

# 곡선의 길이개념 확인자동 분류

23.CLP-2 · 1.1절 · 47번우리말 번역

$f(x)$ 를 일차함수, $a<b$ 를 정수, $n$ 을 0 이상의 정수라고 하자. 참 또는 거짓: $\displaystyle\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ 에 대해 직사각형 $n$ 개를 사용한 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 구하면, 직사각형 $n$ 개를 사용한 중점 리만 합과 같은 값이 된다.

영어 원문 보기

Let $f(x)$ be a linear function, let $a<b$ be integers, and let $n$ be a whole number. True or false: if we average the left and right Riemann sums for $\displaystyle\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ using $n$ rectangles, we get the same value as the midpoint Riemann sum using $n$ rectangles.

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$f(x)$ 가 일차함수이므로 $f(x)=mx+c$ 를 만족시키는 실수 $m$ , $c$ 가 존재한다. 이제 계산해 보자. 리만 합의 직사각형 하나가 구간 $[x,x+w]$ 를 차지한다고 하자.

왼쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x)=mx+c$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c)$ 이다.
오른쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+w)=m(x+w)+c=mx+c+mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c+mw)$ 이다.
중점 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+\frac{1}{2}w)=m(x+\frac{1}{2}w)+c=mx+c+\frac{1}{2}mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w\left(mx+c+\frac{1}{2}w\right)$ 이다.

그러므로 각 직사각형마다 중점 직사각형의 넓이는 왼쪽 직사각형과 오른쪽 직사각형 넓이의 평균과 같다. $w\left(mx+c+\frac{1}{2}mw\right) = \dfrac{ w(mx+c)+ w(mx+c+mw)}{2}$ 따라서 중점 리만 합의 값은 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 값의 평균과 같다. 이를 확인하기 위해, 중점 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $M_1,M_2,\ldots,M_n$ 이라 하고, 왼쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $L_1,L_2,\ldots,L_n$ 이라 하며, 오른쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $R_1,R_2,\ldots,R_n$ 이라 하자. 그러면 중점 리만 합의 값은 $M_1+M_2+\cdots+M_n$ 이고,

$\begin{aligned}\dfrac{ [L_1+L_2+\ldots+L_n]+ [R_1+R_2+\ldots+R_n] }{2} &= \dfrac{ L_1+ R_1 }{2}+ \dfrac{ L_2+ R_2 }{2}+ \cdots + \dfrac{ L_n+ R_n }{2} \\ &=M_1+M_2+\cdots+M_n\end{aligned}$

이다. 따라서 주어진 명제는 참이다.

(그러나 일차함수가 아닌 많은 함수 $f(x)$ 에 대해서는 거짓이다.)

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is linear, there exist real numbers $m$ and $c$ such that $f(x)=mx+c$ . Now we can do some calculations. Suppose we have a rectangle in our Riemann sum that takes up the interval $[x,x+w]$ .

If we are using a left Riemann sum, our rectangle has height $f(x)=mx+c$ . Then it has area $w(mx+c)$ .
If we are using a right Riemann sum, our rectangle has height $f(x+w)=m(x+w)+c=mx+c+mw$ . Then it has area $w(mx+c+mw)$ .
If we are using a midpoint Riemann sum, our rectangle has height $f(x+\frac{1}{2}w)=m(x+\frac{1}{2}w)+c=mx+c+\frac{1}{2}mw$ . Then it has area $w\left(mx+c+\frac{1}{2}w\right)$ .

So, for each rectangle in our sums, the midpoint rectangle has the same area as the average of the left and right rectangles: $w\left(mx+c+\frac{1}{2}mw\right) = \dfrac{ w(mx+c)+ w(mx+c+mw)}{2}$ It follows that the midpoint Riemann sum has a value equal to the average of the values of the left and right Riemann sums. To see this, let the rectangles in the midpoint Riemann sum have areas $M_1,M_2,\ldots,M_n$ , let the rectangles in the left Riemann sum have areas $L_1,L_2,\ldots,L_n$ , and let the rectangles in the right Riemann sum have areas $R_1,R_2,\ldots,R_n$ . Then the midpoint Riemann sum evaluates to $M_1+M_2+\cdots+M_n$ , and:

$\begin{aligned}\dfrac{ [L_1+L_2+\ldots+L_n]+ [R_1+R_2+\ldots+R_n] }{2} &= \dfrac{ L_1+ R_1 }{2}+ \dfrac{ L_2+ R_2 }{2}+ \cdots + \dfrac{ L_n+ R_n }{2} \\ &=M_1+M_2+\cdots+M_n\end{aligned}$

So, the statement is true.

(Note, however, it is false for many non-linear functions $f(x)$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 45번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인도전자동 분류

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