빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

넓이(여러 가지 함수)

지수·로그·삼각함수 등이 만드는 곡선 사이의 넓이를 구한다

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 6.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 식으로 둘러싸인 영역의 넓이를 정확히 구하세요. 교점을 직접 구할 수 없으면 계산기로 교점을 소수 셋째 자리까지 어림하여 근사한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] x=4−y2x=\sqrt{4-y^{2}} 그리고 y2=1+x2y^{2}=1+x^{2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find the exact area of the region bounded by the given equations if possible. If you are unable to determine the intersection points analytically, use a calculator to approximate the intersection points with three decimal places and determine the approximate area of the region.

[T] x=4−y2 and y2=1+x2x=\sqrt{4-{y}^{2}}\,\text{and}\,{y}^{2}=1+{x}^{2}

답 쓰고 채점
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두 곡선의 교점으로 적분 구간을 정하고, 구간마다 (위쪽 곡선 − 아래쪽 곡선)을 적분해요.

  1. 1

    먼저 교점부터 구해요. 적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳에서 정해지기 때문이에요. x=4−y2x=\sqrt{4-y^2} 는 x2+y2=4x^2+y^2=4 (반지름 2인 원)의 오른쪽 반이에요. 여기서 x2=4−y2x^2=4-y^2 를 y2=1+x2y^2=1+x^2 에 대입하면 y2=1+(4−y2)  ⇒  2y2=5  ⇒  y2=52,x2=32y^2=1+(4-y^2)\;\Rightarrow\;2y^2=5\;\Rightarrow\;y^2=\tfrac52,\quad x^2=\tfrac32 교점은 (32, ±52)≈(1.225, ±1.581)\left(\sqrt{\tfrac32},\,\pm\sqrt{\tfrac52}\right)\approx(1.225,\ \pm1.581) 이에요.

  2. 2

    영역의 모양을 생각해요. y2=1+x2y^2=1+x^2 은 위쪽 가지 y=1+x2y=\sqrt{1+x^2} 와 아래쪽 가지 y=−1+x2y=-\sqrt{1+x^2} 로 이루어져요. x=0x=0 에서 위쪽 가지는 y=1y=1, 원은 y=2y=2 이므로 0≤x≤3/20\le x\le\sqrt{3/2} 에서 원이 위, 쌍곡선이 아래예요. 원과 쌍곡선이 모두 xx축에 대칭이라서 위쪽 조각과 아래쪽 조각의 넓이가 같아요.

  3. 3

    적분식을 세워요. 위쪽 조각의 넓이는 (위 − 아래)의 정적분이고, 아래쪽 조각도 같으니 2배 해요. A=2∫03/2(4−x2−1+x2)dxA=2\int_0^{\sqrt{3/2}}\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1+x^2}\right)dx

  4. 4

    원시함수로 계산해요. 다음 공식을 써요(계산기나 적분표를 써도 돼요). ∫4−x2 dx=x24−x2+2sin⁡−1x2,∫1+x2 dx=x21+x2+12ln⁡(x+1+x2)\int\sqrt{4-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\sin^{-1}\frac{x}{2},\qquad \int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) x=3/2x=\sqrt{3/2} 를 넣으면 앞의 항 x2⋅\frac{x}{2}\sqrt{\cdot} 는 둘 다 154\frac{\sqrt{15}}{4} 로 같아서 서로 지워지고, 위쪽 조각은 약 0.8020.802 가 나와요. 2배 하면 A≈1.605A\approx1.605 예요.

답

A≈1.605A\approx 1.605

자주 하는 실수

위쪽 조각만 구하고 대칭인 아래쪽 조각을 빠뜨려 절반만 답하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

1.6051.605

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 21번
# 넓이(여러 가지 함수)계산도전
2.CLP-2 · 1.5절 · 16번우리말 번역

구간 0≤x≤40\le x\le 4 에서 곡선 y=x25−x2y = x \sqrt{25-x^2} 과 y=3xy=3x 사이의 전체 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the total area between the curves y=x25−x2y = x \sqrt{25-x^2} and y=3xy=3x, on the interval 0≤x≤40\le x\le 4.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

어느 구간에서 어느 곡선이 위쪽에 있는지 알아내야 한다. 이를 위해 h(x)=3x−x25−x2h(x) = 3x - x\sqrt{25-x^2} 로 놓는다. h(x)>0h(x) > 0 이면 y=3xy=3x 가 위쪽 곡선이고, h(x)<0h(x)<0 이면 y=x25−x2y=x\sqrt{25-x^2} 이 위쪽 곡선이다.

h(x)=3x−x25−x2=x[3−25−x2]우리는 [0,4] 에 속하는 x 의 값만 다루므로 x 는 음이 아니다. 그러면 h(x) 가 양수가 되는 경우는:3>25−x29>25−x2x2>16x>4\begin{aligned} h(x) &= 3x - x\sqrt{25-x^2} = x\left[3-\sqrt{25-x^2}\right] \\ \text{우리는 $[0,4]$ 에 속하는 $x$ 의 값만 다루므로 $x$ 는 음이 아니다. 그러면 $h(x)$ 가 양수가 되는 경우는:} \\ 3&> \sqrt{25-x^2}\\ 9&> 25-x^2\\ x^2 & > 16\\ x&> 4 \end{aligned}

즉, 구간 [0,4][0,4] 에서 h(x)h(x) 는 양수가 되는 일이 없다. 따라서 0≤x≤40\le x\le 4 인 모든 xx 에 대해 y=x25−x2y = x \sqrt{25-x^2} 이 y=3xy=3x 보다 위에 있다.

그러므로 구하는 넓이는 다음과 같다.

A=∫04[x25−x2−3x] dx=∫04x25−x2 dx−∫043x dx=A1−A2.\begin{aligned} A &= \int_0^4 \left[x \sqrt{25-x^2} - 3x\right]\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^4 x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x - \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x \\&= A_1 - A_2. \end{aligned}

A1A_1 을 계산하기 위해 치환 u(x)=25−x2u(x) = 25-x^2 을 사용한다. 이때 du=u′(x) dx=−2x dx\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x= -2x\,\mathrm{d}x 이고, x=4x=4 일 때 u(4)=25−42=9u(4)=25-4^2=9, x=0x=0 일 때 u(0)=25−02=25u(0)=25-0^2=25 이다. 따라서

A1=∫x=0x=4x25−x2 dx=−12∫u=25u=9u du=[−13u3/2]259=125−273=983\begin{aligned} A_1 &= \int_{x=0}^{x=4} x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int_{u=25}^{u=9} \sqrt{u}\,\mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{3} u^{3/2} \right]_{25}^{9} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3} \end{aligned}

A2A_2 는 부정적분을 직접 이용한다.

A2=∫043x dx=[3x22]04=24A_2 = \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x =\left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^4 = 24

따라서 전체 넓이는 다음과 같다.

A=983−24=263\begin{aligned} A = \frac{98}{3} - 24 = \frac{26}{3} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We need to figure out which curve is on top, when. To do this, set h(x)=3x−x25−x2h(x) = 3x - x\sqrt{25-x^2}. If h(x)>0h(x) > 0, then y=3xy=3x is the top curve; if h(x)<0h(x)<0, then y=x25−x2y=x\sqrt{25-x^2} is the top curve.

h(x)=3x−x25−x2=x[3−25−x2]We only care about values of x in [0,4], so x is nonnegative. Then h(x) is positive when:3>25−x29>25−x2x2>16x>4\begin{aligned} h(x) &= 3x - x\sqrt{25-x^2} = x\left[3-\sqrt{25-x^2}\right] \\ \text{We only care about values of $x$ in $[0,4]$, so $x$ is nonnegative. Then $h(x)$ is positive when:} \\ 3&> \sqrt{25-x^2}\\ 9&> 25-x^2\\ x^2 & > 16\\ x&> 4 \end{aligned}

That is, h(x)h(x) is never positive over the interval [0,4][0,4]. So, y=x25−x2y = x \sqrt{25-x^2} lies above y=3xy=3x for all 0≤x≤40\le x\le 4.

The area we need to calculate is therefore:

A=∫04[x25−x2−3x] dx=∫04x25−x2 dx−∫043x dx=A1−A2.\begin{aligned} A &= \int_0^4 \left[x \sqrt{25-x^2} - 3x\right]\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^4 x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x - \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x \\&= A_1 - A_2. \end{aligned}

To evaluate A1A_1, we use the substitution u(x)=25−x2u(x) = 25-x^2, for which du=u′(x) dx=−2x dx\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x= -2x\,\mathrm{d}x; and u(4)=25−42=9u(4)=25-4^2=9 when x=4x=4, while u(0)=25−02=25u(0)=25-0^2=25 when x=0x=0. Therefore

A1=∫x=0x=4x25−x2 dx=−12∫u=25u=9u du=[−13u3/2]259=125−273=983\begin{aligned} A_1 &= \int_{x=0}^{x=4} x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int_{u=25}^{u=9} \sqrt{u}\,\mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{3} u^{3/2} \right]_{25}^{9} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3} \end{aligned}

For A2A_2 we use the antiderivative directly:

A2=∫043x dx=[3x22]04=24A_2 = \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x =\left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^4 = 24

Therefore the total area is:

A=983−24=263\begin{aligned} A = \frac{98}{3} - 24 = \frac{26}{3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 8번
# 넓이(여러 가지 함수)계산도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)