부분적분법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

부분적분법을 쓸 때는 어느 식을 $u$ 로 놓을지 신중히 골라야 해요. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 써서 $u$ 를 고르세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$u$ 는 미분했을 때 간단해지거나 같은 꼴로 돌아오는 쪽으로 고르고, 보통 삼각함수를 지수함수보다 먼저(=u 로) 놓아요.

1
왜 이렇게 할까요? 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 에서 $u$ 를 고르는 기준이 필요해요. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서(앞쪽일수록 $u$ 로 놓음)로 고르는 지침을 써요.
2
이 문제에 적용해요. 곱해진 두 함수는 $e^{3x}$ (지수함수)와 $\sin(2x)$ (삼각함수)예요. 지침에서 삼각함수가 지수함수보다 앞이므로 $u=\sin(2x)$ , $dv=e^{3x}dx$ 로 놓아요.
3
참고. 이 적분은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나는 꼴이라, 어느 쪽을 $u$ 로 잡아도 두 번 모두 같은 방식으로 잡기만 하면 풀려요.

답

$u=\sin(2x)$ (그러면 $dv=e^{3x}dx$ )

자주 하는 실수

두 번째 부분적분에서 $u$ 와 $dv$ 의 역할을 바꿔서 처음 식으로 되돌아가 버려요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\sin (2x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 41번

# 부분적분법개념 확인기본

2.CLP-2 · 1.7절 · 2번우리말 번역

부분적분을 이용하여 적분의 값을 구하려고 한다고 합시다. 피적분함수의 일부를 $u$ 로, 나머지 일부를 $\mathrm{d}v$ 로 택합니다. $u$ 로 택한 부분은 (미분된다, 부정적분된다). $\mathrm{d}v$ 로 택한 부분은 (미분된다, 부정적분된다).

영어 원문 보기

Suppose you want to evaluate an integral using integration by parts. You choose part of your integrand to be $u$ , and part to be $\mathrm{d}v$ . The part chosen as $u$ will be: (differentiated, antidifferentiated). The part chosen as $\mathrm{d}v$ will be: (differentiated, antidifferentiated).

정답·풀이 보기

공식 $\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$ 를 기억하자. $u$ 를 이용하여 $\mathrm{d}u$ 를 만드므로, 즉 $u$ 를 미분한다. $\mathrm{d}v$ 를 이용하여 $v$ 를 만드므로, 즉 $\mathrm{d}v$ 를 부정적분한다.

원본 교재 풀이(영어)

Remember our rule: $\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$ . So, we take $u$ and use it to make $\mathrm{d}u$ –that is, we differentiate it. We take $\mathrm{d}v$ and use it to make $v$ –that is, we antidifferentiate it.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 4번

# 부분적분법계산기본자동 분류

3.CLP-2 · 1.7절 · 4번우리말 번역

어떤 미분가능한 함수 $u$ 와 $v$ 에 대해 부분적분을 이용하여 $\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x) \mathrm{d}x$ 의 값을 구하려고 한다고 하자. $v'(x)$ 의 부정적분을 구해야 하는데, 택할 수 있는 것이 무수히 많다. $v'(x)$ 의 모든 부정적분이 서로 같은 최종 결과를 준다는 것을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose we want to use integration by parts to evaluate $\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x) \mathrm{d}x$ for some differentiable functions $u$ and $v$ . We need to find an antiderivative of $v'(x)$ , but there are infinitely many choices. Show that every antiderivative of $v'(x)$ gives an equivalent final answer.

정답·풀이 보기

모든 부정적분은 상수만큼만 차이가 나므로, 어떤 $C$ 에 대해 모두 $v(x)+C$ 로 쓸 수 있다. 그러면 부분적분 공식에 의해

$\begin{aligned} \int u(x)\cdot v'(x) \mathrm{d}x&=\underbrace{u(x)}_u\underbrace{\big[ v(x)+C\big]}_v - \int \underbrace{\big[ v(x)+C\big]}_v \underbrace{u'(x)\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=u(x)v(x)+Cu(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x - \int Cu'(x)\mathrm{d}x \\&=u(x)v(x)+Cu(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x - Cu(x)+D \\&=u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x +D \end{aligned}$

이다. 여기서 $D$ 는 임의의 상수이다.

$C$ 가 포함된 항이 서로 상쇄되므로 $C$ 를 무엇으로 택하든 상관없다. 어떻게 택해도 결과는 같다.

원본 교재 풀이(영어)

All the antiderivatives differ only by a constant, so we can write them all as $v(x)+C$ for some $C$ . Then, using the formula for integration by parts,

$\begin{aligned} \int u(x)\cdot v'(x) \mathrm{d}x&=\underbrace{u(x)}_u\underbrace{\big[ v(x)+C\big]}_v - \int \underbrace{\big[ v(x)+C\big]}_v \underbrace{u'(x)\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=u(x)v(x)+Cu(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x - \int Cu'(x)\mathrm{d}x \\&=u(x)v(x)+Cu(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x - Cu(x)+D \\&=u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x +D \end{aligned}$

where $D$ is any constant.

Since the terms with $C$ cancel out, it didn't matter what we chose for $C$ –all choices end up the same.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 7번

# 부분적분법증명·논술기본자동 분류