문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

치환적분법

속함수를 t로 바꾸어 적분하고, 정적분에서는 적분 구간도 함께 바꾼다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 치환을 써서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$u=x^2+1$ 이면 $du=2x\,dx$ 이므로 분자의 $x\,dx$ 가 $\frac12du$ 로 바뀌어요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 안의 식 $x^2+1$ 을 $u$ 로 놓으면 그 도함수 $2x$ 가 분자에 (상수배로) 들어 있어서 식이 간단해져요.
2
$du$ 를 구해요. $u=x^2+1$ 의 양변을 미분하면 $du=2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=\frac12du$ 예요.
3
치환해서 적분해요. $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac12\int u^{-1/2}du=\frac12\cdot 2u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $u=x^2+1$ 을 다시 넣으면 $\sqrt{x^2+1}+C$ 예요.

답

$\sqrt{x^2+1}+C$

자주 하는 실수

$du=2x\,dx$ 에서 $\frac12$ 을 빼먹거나, 마지막에 $u$ 를 $x$ 로 되돌리지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{{x}^{2}+1}+C$

2.OpenStax 2권 · 3.1절 · 21번우리말 풀이

가장 간단한 방법으로 적분하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아니에요.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

지수 $-x^2$ 의 도함수 $-2x$ 가 앞의 $x$ 와 상수배 차이이므로, 부분적분 말고 치환적분이 더 간단해요.

1
왜 이렇게 할까요? $x$ 와 $e^{-x^2}$ 의 곱이라 부분적분이 떠오르지만, $e^{-x^2}$ 의 속함수 $-x^2$ 를 미분하면 $-2x$ 로 $x$ 와 닮았어요. 이럴 땐 치환적분이 훨씬 간단해요.
2
치환해요. $u=-x^2$ 으로 놓으면 $du=-2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=-\frac12du$ 예요.
3
적분해요. $\int xe^{-x^2}dx=-\frac12\int e^u\,du=-\frac12e^u+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $-\frac{e^{-x^2}}{2}+C$ 미분하면 $-\frac12e^{-x^2}\cdot(-2x)=xe^{-x^2}$ 으로 확인돼요.

답

$-\dfrac{e^{-x^2}}{2}+C$

자주 하는 실수

모든 곱의 꼴에 부분적분을 쓰려다 계산이 더 복잡해져요. 속함수의 도함수가 보이면 치환을 먼저 생각해요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{{e}^{-{x}^{2}}}{2}+C$