문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

치환적분법

속함수를 t로 바꾸어 적분하고, 정적분에서는 적분 구간도 함께 바꾼다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 치환을 써서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$u=x^2+1$ 이면 $du=2x\,dx$ 이므로 분자의 $x\,dx$ 가 $\frac12du$ 로 바뀌어요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 안의 식 $x^2+1$ 을 $u$ 로 놓으면 그 도함수 $2x$ 가 분자에 (상수배로) 들어 있어서 식이 간단해져요.
2
$du$ 를 구해요. $u=x^2+1$ 의 양변을 미분하면 $du=2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=\frac12du$ 예요.
3
치환해서 적분해요. $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac12\int u^{-1/2}du=\frac12\cdot 2u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $u=x^2+1$ 을 다시 넣으면 $\sqrt{x^2+1}+C$ 예요.

답

$\sqrt{x^2+1}+C$

자주 하는 실수

$du=2x\,dx$ 에서 $\frac12$ 을 빼먹거나, 마지막에 $u$ 를 $x$ 로 되돌리지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{{x}^{2}+1}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번

# 치환적분법계산기본

2.OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번우리말 풀이

다음 문제에서 알맞게 변수를 바꾸어 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a suitable change of variables to determine the indefinite integral.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

분모 속 $x^3-3$ 을 $u$ 로 놓으면 $du=3x^2dx$ 이고, 분자의 $x^2dx$ 가 $\frac13du$ 가 돼요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 괄호 안의 식 $x^3-3$ 의 도함수 $3x^2$ 이 분자의 $x^2$ 과 상수배 차이만 있어서, 치환하면 깔끔해져요.
2
치환해요. $u=x^3-3$ 으로 놓으면 $du=3x^2dx$ , 즉 $x^2dx=\frac13du$ 예요.
3
적분해요. $\int\frac{x^2dx}{(x^3-3)^2}=\frac13\int u^{-2}du=\frac13\cdot\left(-\frac1u\right)+C=-\frac{1}{3u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $-\frac{1}{3(x^3-3)}+C$

답

$-\dfrac{1}{3(x^3-3)}+C$

자주 하는 실수

$\int u^{-2}du$ 를 $\frac{u^{-1}}{-1}$ 로 계산할 때 음수 부호를 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{3({x}^{3}-3)}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번

# 치환적분법계산보통

3.OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번우리말 풀이

다음 문제에서 변수를 바꾸어 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta$

풀이 보기

$u=\cos\theta$ 로 놓으면 $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, 정적분에서는 적분 구간도 $u$ 값으로 바꿔요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 $\cos^4\theta$ 의 속함수 $\cos\theta$ 의 도함수가 $-\sin\theta$ 로 분자에 있어요. 그래서 $u=\cos\theta$ 가 알맞아요.
2
치환식과 구간을 바꿔요. $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, $\theta=0$ 이면 $u=1$ , $\theta=\frac\pi4$ 이면 $u=\frac{1}{\sqrt2}$ 예요.
3
식을 바꿔 적분해요. $\int_0^{\pi/4}\frac{\sin\theta}{\cos^4\theta}d\theta=\int_1^{1/\sqrt2}-u^{-4}du=\int_{1/\sqrt2}^{1}u^{-4}du$ 위끝과 아래끝을 바꾸면서 음수 부호가 사라졌어요.
4
값을 구해요. $\left[-\frac{1}{3u^3}\right]_{1/\sqrt2}^{1}=-\frac13+\frac{(\sqrt2)^3}{3}=\frac{2\sqrt2-1}{3}$

답

$\dfrac{2\sqrt{2}-1}{3}$

자주 하는 실수

정적분에서 구간을 $u$ 로 바꾸지 않고 $\theta$ 의 구간을 그대로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\cos \theta ,du=-\sin \theta d\theta ,{\int }_{1/\sqrt{2}}^{1}{u}^{-4}du=\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번

# 치환적분법계산보통

4.OpenStax 2권 · 3.1절 · 21번우리말 풀이

가장 간단한 방법으로 적분하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아니에요.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

지수 $-x^2$ 의 도함수 $-2x$ 가 앞의 $x$ 와 상수배 차이이므로, 부분적분 말고 치환적분이 더 간단해요.

1
왜 이렇게 할까요? $x$ 와 $e^{-x^2}$ 의 곱이라 부분적분이 떠오르지만, $e^{-x^2}$ 의 속함수 $-x^2$ 를 미분하면 $-2x$ 로 $x$ 와 닮았어요. 이럴 땐 치환적분이 훨씬 간단해요.
2
치환해요. $u=-x^2$ 으로 놓으면 $du=-2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=-\frac12du$ 예요.
3
적분해요. $\int xe^{-x^2}dx=-\frac12\int e^u\,du=-\frac12e^u+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $-\frac{e^{-x^2}}{2}+C$ 미분하면 $-\frac12e^{-x^2}\cdot(-2x)=xe^{-x^2}$ 으로 확인돼요.

답

$-\dfrac{e^{-x^2}}{2}+C$

자주 하는 실수

모든 곱의 꼴에 부분적분을 쓰려다 계산이 더 복잡해져요. 속함수의 도함수가 보이면 치환을 먼저 생각해요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{{e}^{-{x}^{2}}}{2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번

# 치환적분법계산기본