빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

치환적분법

속함수를 t로 바꾸어 적분하고, 정적분에서는 적분 구간도 함께 바꾼다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번우리말 풀이

다음 문제에서 알맞게 변수를 바꾸어 부정적분을 구하세요.

∫x2(x3−3)2dx\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx

영어 원문 보기

In the following exercises, use a suitable change of variables to determine the indefinite integral.

∫x2(x3−3)2dx\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

분모 속 x3−3x^3-3 을 uu 로 놓으면 du=3x2dxdu=3x^2dx 이고, 분자의 x2dxx^2dx 가 13du\frac13du 가 돼요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? 분모 괄호 안의 식 x3−3x^3-3 의 도함수 3x23x^2 이 분자의 x2x^2 과 상수배 차이만 있어서, 치환하면 깔끔해져요.

  2. 2

    치환해요. u=x3−3u=x^3-3 으로 놓으면 du=3x2dxdu=3x^2dx, 즉 x2dx=13dux^2dx=\frac13du 예요.

  3. 3

    적분해요. ∫x2dx(x3−3)2=13∫u−2du=13⋅(−1u)+C=−13u+C\int\frac{x^2dx}{(x^3-3)^2}=\frac13\int u^{-2}du=\frac13\cdot\left(-\frac1u\right)+C=-\frac{1}{3u}+C

  4. 4

    xx 로 되돌려요. −13(x3−3)+C-\frac{1}{3(x^3-3)}+C

답

−13(x3−3)+C-\dfrac{1}{3(x^3-3)}+C

자주 하는 실수

∫u−2du\int u^{-2}du 를 u−1−1\frac{u^{-1}}{-1} 로 계산할 때 음수 부호를 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

−13(x3−3)+C-\frac{1}{3({x}^{3}-3)}+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번
# 치환적분법계산보통
2.OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번우리말 풀이

다음 문제에서 변수를 바꾸어 정적분의 값을 구하세요.

∫0π/4sin⁡θcos⁡4θdθ{\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

∫0π/4sin⁡θcos⁡4θdθ{\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta

풀이 보기

u=cos⁡θu=\cos\theta 로 놓으면 du=−sin⁡θ dθdu=-\sin\theta\,d\theta 이고, 정적분에서는 적분 구간도 uu 값으로 바꿔요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? 분모 cos⁡4θ\cos^4\theta 의 속함수 cos⁡θ\cos\theta 의 도함수가 −sin⁡θ-\sin\theta 로 분자에 있어요. 그래서 u=cos⁡θu=\cos\theta 가 알맞아요.

  2. 2

    치환식과 구간을 바꿔요. du=−sin⁡θ dθdu=-\sin\theta\,d\theta 이고, θ=0\theta=0 이면 u=1u=1, θ=π4\theta=\frac\pi4 이면 u=12u=\frac{1}{\sqrt2} 예요.

  3. 3

    식을 바꿔 적분해요. ∫0π/4sin⁡θcos⁡4θdθ=∫11/2−u−4du=∫1/21u−4du\int_0^{\pi/4}\frac{\sin\theta}{\cos^4\theta}d\theta=\int_1^{1/\sqrt2}-u^{-4}du=\int_{1/\sqrt2}^{1}u^{-4}du 위끝과 아래끝을 바꾸면서 음수 부호가 사라졌어요.

  4. 4

    값을 구해요. [−13u3]1/21=−13+(2)33=22−13\left[-\frac{1}{3u^3}\right]_{1/\sqrt2}^{1}=-\frac13+\frac{(\sqrt2)^3}{3}=\frac{2\sqrt2-1}{3}

답

22−13\dfrac{2\sqrt{2}-1}{3}

자주 하는 실수

정적분에서 구간을 uu 로 바꾸지 않고 θ\theta 의 구간을 그대로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

u=cos⁡θ,du=−sin⁡θdθ,∫1/21u−4du=13(22−1)u=\cos \theta ,du=-\sin \theta d\theta ,{\int }_{1/\sqrt{2}}^{1}{u}^{-4}du=\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번
# 치환적분법계산보통