빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

여러 가지 함수의 적분

지수·로그·삼각함수, 1/x 꼴의 부정적분과 정적분을 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.10절 · 27번우리말 풀이

다음 문제에서 적분을 구하세요.

∫sin⁡x dx\int \sin x\,dx

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the integral.

∫sin⁡xdx\int \sin xdx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

미분하면 sin⁡x\sin x가 되는 함수를 떠올려요. cos⁡x\cos x를 미분하면 −sin⁡x-\sin x예요.

  1. 1

    부정적분은 미분하면 sin⁡x\sin x가 되는 함수예요. (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x이므로 부호가 반대인 −cos⁡x-\cos x를 생각해요.

  2. 2

    확인해 봐요. (−cos⁡x)′=−(−sin⁡x)=sin⁡x(-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x로 맞아요. 상수는 미분하면 00이므로 적분상수 CC를 붙여요. ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int\sin x\,dx=-\cos x+C

답

−cos⁡x+C-\cos x+C

자주 하는 실수

sin⁡x\sin x의 부정적분을 cos⁡x\cos x로 쓰는 부호 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

−cos⁡x+C-\cos x+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 24번
# 여러 가지 함수의 적분계산기본
2.OpenStax 1권 · 5.3절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 미적분의 기본정리 2부를 이용하여 각 정적분의 값을 구하세요.

∫0π/2sin⁡θ dθ\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each definite integral using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.

∫0π/2sin⁡θdθ{\int }_{0}^{\pi /2}\sin \theta d\theta

풀이 보기

부정적분 FF를 찾아 F(위끝)−F(아래끝)F(\text{위끝})-F(\text{아래끝})을 계산해요.

  1. 1

    sin⁡θ\sin\theta의 부정적분 하나는 F(θ)=−cos⁡θF(\theta)=-\cos\theta예요. 미분하면 sin⁡θ\sin\theta가 되는 것을 확인할 수 있어요.

  2. 2

    기본정리 2부에 의해 ∫0π/2sin⁡θ dθ=F(π2)−F(0)\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=F\left(\frac\pi2\right)-F(0)예요.

  3. 3

    F(π2)=−cos⁡π2=0F\left(\frac\pi2\right)=-\cos\frac\pi2=0, F(0)=−cos⁡0=−1F(0)=-\cos0=-1이므로 0−(−1)=10-(-1)=1이에요.

답

11

자주 하는 실수

F(0)=−1F(0)=-1을 빼는 부호를 놓쳐 −1-1이라고 답해요.

원본 교재 풀이(영어)

F(x)=−cos⁡x,F(π2)−F(0)=1F(x)=-\cos x,F\left(\frac{\pi }{2}\right)-F(0)=1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 41번
# 여러 가지 함수의 적분계산기본
3.OpenStax 1권 · 5.4절 · 3번우리말 풀이

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

∫dx2x\int\frac{dx}{2x}

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

∫dx2x\int \frac{dx}{2x}

풀이 보기

상수 12\frac12을 적분 밖으로 꺼내면 ∫1xdx=ln⁡∣x∣\int\frac1x dx=\ln|x|를 쓸 수 있어요.

  1. 1

    12x=12⋅1x\frac{1}{2x}=\frac12\cdot\frac1x이므로 상수배를 앞으로 꺼내요. ∫dx2x=12∫1x dx\int\frac{dx}{2x}=\frac12\int\frac1x\,dx예요.

  2. 2

    ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C이므로 12ln⁡∣x∣+C\frac12\ln|x|+C예요. xx가 음수일 수도 있으므로 절댓값을 붙여요.

답

12ln⁡∣x∣+C\frac12\ln|x|+C

자주 하는 실수

2x2x를 한 덩어리로 보고 ln⁡∣2x∣\ln|2x|로 쓴 뒤 22를 곱하지 않는 등 계수를 틀려요. (상수는 CC에 흡수되지만 앞의 12\frac12은 남아요.)

원본 교재 풀이(영어)

∫dx2x=12ln⁡∣x∣+C\int \frac{dx}{2x}=\frac{1}{2}\ln |x|+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 60번
# 여러 가지 함수의 적분계산기본