정적분의 뜻과 성질 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번우리말 풀이

$f$ 와 $g$ 가 연속함수이고, $[a,b]$ 의 모든 부분 구간 $[c,d]$ 에 대해 $\int_{c}^{d}f(t)dt\le\int_{c}^{d}g(t)dt$ 가 성립한다고 해요. 이때 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose f and g are continuous functions such that ${\int }_{c}^{d}f(t)dt\le {\int }_{c}^{d}g(t)dt$ for every subinterval $[c,d]$ of $[a,b].$ Explain why $f(x)\le g(x)$ for all values of x.

풀이 보기

어떤 점에서 $f>g$ 라고 가정하면, 연속이므로 그 근처 구간 전체에서 $f>g$ 이고 적분도 $f$ 쪽이 커져서 가정과 모순이에요.

1
귀류법을 써요. 어떤 $t_0\in[a,b]$ 에서 $f(t_0)>g(t_0)$ 라고 가정해요.
2
$h=f-g$ 라 하면 $h$ 는 연속이고 $h(t_0)>0$ 이에요. 연속함수는 한 점에서 양수이면 그 점 가까이에서도 양수이므로, $t_0$ 를 포함하는 구간 $[c,d]$ ( $c<d$ )가 있어서 그 위에서 $h(t)>\frac{h(t_0)}{2}>0$ 이에요.
3
그러면 $\int_c^d\big(f(t)-g(t)\big)dt\ge\frac{h(t_0)}{2}(d-c)>0$ 이에요. 즉 $\int_c^df(t)dt>\int_c^dg(t)dt$ 예요.
4
이는 조건 $\int_c^df\le\int_c^dg$ 와 모순이에요. 그러므로 가정이 틀렸고, 모든 $x$ 에서 $f(x)\le g(x)$ 예요.

답

모든 $x\in[a,b]$ 에서 $f(x)\le g(x)$ (귀류법으로 증명)

자주 하는 실수

한 점에서만 $f>g$ 이면 적분에는 영향이 없다고 생각해요. 연속이면 그 점 주변 구간까지 $f>g$ 가 되어 적분이 달라져요.

원본 교재 풀이(영어)

If $f({t}_{0})>g({t}_{0})$ for some ${t}_{0}\in [a,b],$ then since $f-g$ is continuous, there is an interval containing t₀ such that $f(t)>g(t)$ over the interval $[c,d],$ and then ${\int }_{d}^{d}f(t)dt>{\int }_{c}^{d}g(t)dt$ over this interval.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술도전

2.OpenStax 1권 · 5.2절 · 45번우리말 번역

다음 연습문제에서 비교 정리를 이용하세요.

${\int }_{0}^{3}({x}^{2}-6x+9)dx\ge 0$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the comparison theorem.

Show that ${\int }_{0}^{3}({x}^{2}-6x+9)dx\ge 0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 8번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

3.OpenStax 1권 · 5.2절 · 46번우리말 번역

다음 연습문제에서 비교 정리를 이용하세요.

${\int }_{-2}^{3}(x-3)(x+2)dx\le 0$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the comparison theorem.

Show that ${\int }_{-2}^{3}(x-3)(x+2)dx\le 0.$

정답·풀이 보기

피적분함수는 $[-2,3]$ 에서 음수이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is negative over $[-2,3].$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 54번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

4.OpenStax 1권 · 5.2절 · 47번우리말 번역

다음 연습문제에서 비교 정리를 이용하세요.

${\int }_{0}^{1}\sqrt{1+{x}^{3}}dx\le {\int }_{0}^{1}\sqrt{1+{x}^{2}}dx$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the comparison theorem.

Show that ${\int }_{0}^{1}\sqrt{1+{x}^{3}}dx\le {\int }_{0}^{1}\sqrt{1+{x}^{2}}dx.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 50번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

5.OpenStax 1권 · 5.2절 · 48번우리말 번역

다음 연습문제에서 비교 정리를 이용하세요.

${\int }_{1}^{2}\sqrt{1+x}dx\le {\int }_{1}^{2}\sqrt{1+{x}^{2}}dx$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the comparison theorem.

Show that ${\int }_{1}^{2}\sqrt{1+x}dx\le {\int }_{1}^{2}\sqrt{1+{x}^{2}}dx.$

정답·풀이 보기

구간 $[1,2]$ 에서 $x\le {x}^{2}$ 이므로 구간 $[1,2]$ 에서 $\sqrt{1+x}\le \sqrt{1+{x}^{2}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x\le {x}^{2}$ over $[1,2],$ so $\sqrt{1+x}\le \sqrt{1+{x}^{2}}$ over $[1,2].$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 52번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

6.OpenStax 1권 · 5.2절 · 49번우리말 번역

다음 연습문제에서 비교 정리를 이용하세요.

${\int }_{0}^{\pi /2}\sin tdt\ge \frac{\pi }{4}$ . 임을 보이세요. $(Hint:\,\sin t\ge \frac{2t}{\pi }$ 구간 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right])$ 에서 성립

영어 원문 보기

In the following exercises, use the comparison theorem.

Show that ${\int }_{0}^{\pi /2}\sin tdt\ge \frac{\pi }{4}.$ $(Hint:\,\sin t\ge \frac{2t}{\pi }$ over $\left[0,\frac{\pi }{2}\right])$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 27번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

7.OpenStax 1권 · 5.2절 · 50번우리말 번역

다음 연습문제에서 비교 정리를 이용하세요.

${\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}\cos tdt\ge \pi \sqrt{2}/4$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the comparison theorem.

Show that ${\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}\cos tdt\ge \pi \sqrt{2}/4.$

정답·풀이 보기

$\cos (t)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ . 구간의 길이를 곱하면 부등식을 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

$\cos (t)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Multiply by the length of the interval to get the inequality.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 48번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

8.OpenStax 1권 · 5.2절 · 65번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

$A={\int }_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}tdt$ 이고 $B={\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt$ 라고 하자. $A+B=2\pi$ 이고 $A=B$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

Suppose that $A={\int }_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}tdt$ and $B={\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt.$ Show that $A+B=2\pi$ and $A=B.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

9.OpenStax 1권 · 5.2절 · 66번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

$A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\sec }^{2}tdt=\pi$ 이고 $B={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\tan }^{2}tdt$ 라고 하자. $A-B=\frac{\pi }{2}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

Suppose that $A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\sec }^{2}tdt=\pi$ and $B={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\tan }^{2}tdt.$ Show that $A-B=\frac{\pi }{2}.$

정답·풀이 보기

${\tan }^{2}\theta +1={\sec }^{2}\theta$ 를 이용한다. 그러면 $B-A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}1dx=\frac{\pi }{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Use ${\tan }^{2}\theta +1={\sec }^{2}\theta .$ Then, $B-A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}1dx=\frac{\pi }{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 19번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

10.OpenStax 1권 · 5.2절 · 67번우리말 번역

${\sin }^{2}t$ 의 $[0,2\pi ]$ 에서의 평균값이 1/2 임을 보이세요. 추가 계산 없이, ${\sin }^{2}t$ 의 $[0,\pi ]$ 에서의 평균값도 1/2 인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of ${\sin }^{2}t$ over $[0,2\pi ]$ is equal to 1/2 Without further calculation, determine whether the average value of ${\sin }^{2}t$ over $[0,\pi ]$ is also equal to 1/2.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 16번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

11.OpenStax 1권 · 5.2절 · 68번우리말 번역

${\cos }^{2}t$ 의 $[0,2\pi ]$ 에서의 평균값이 $1/2$ . 임을 보이세요. 추가 계산 없이, ${\cos }^{2}(t)$ 의 $[0,\pi ]$ 에서의 평균값도 $1/2$ . 인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of ${\cos }^{2}t$ over $[0,2\pi ]$ is equal to $1/2.$ Without further calculation, determine whether the average value of ${\cos }^{2}(t)$ over $[0,\pi ]$ is also equal to $1/2.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$ 이므로 구간의 길이 2π 로 나눈다. ${\cos }^{2}t$ 의 주기는 π 이므로 예, 참이다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi ,$ so divide by the length 2π of the interval. ${\cos }^{2}t$ has period π, so yes, it is true.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 10번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

12.OpenStax 1권 · 5.2절 · 73번우리말 번역

$[a,b]$ 에서 f 의 평균값이 1이고 $[b,c]$ 에서 f 의 평균값이 1이며 $a<c<b$ 라고 하자. $[a,c]$ 에서 f 의 평균값도 1임을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose the average value of f over $[a,b]$ is 1 and the average value of f over $[b,c]$ is 1 where $a<c<b.$ Show that the average value of f over $[a,c]$ is also 1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 34번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

13.OpenStax 1권 · 5.2절 · 75번우리말 번역

$1\le i\le N$ 인 각 i 에 대해 ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=i$ 라고 하자. ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)}{2}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that for each i such that $1\le i\le N$ one has ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=i.$ Show that ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)}{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 32번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류

14.OpenStax 1권 · 5.2절 · 76번우리말 번역

$1\le i\le N$ 인 각 i 에 대해 ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt={i}^{2}$ 라고 하자. ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that for each i such that $1\le i\le N$ one has ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt={i}^{2}.$ Show that ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{i}^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{i}^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 84번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술자동 분류