빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

미적분의 기본정리

부정적분 F로 정적분 F(b)−F(a)를 계산하고, 적분과 미분의 관계를 이해한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.3절 · 55번우리말 번역

시애틀의 어느 날의 낮 시간(시간 단위)이 함수 −3.75cos⁡(πt6)+12.25-3.75\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)+12.25 로 모델링된다고 하자. 여기서 t 는 개월 단위이고 t=0t=0 은 동지에 해당한다.

a. 1년 동안의 평균 낮 시간은 몇 시간인지 구하세요. b. 0≤t1<t2<120\le{t}_{1}<{t}_{2}<12 일 때, 낮 시간이 평균과 같아지는 시각 t1 과 t2 는 언제인지 구하세요. c. t1{t}_{1} 과 t2{t}_{2} 사이의 시애틀의 낮 시간 총합을 나타내는 적분을 쓰세요. d. 0≤t1<t2<120\le{t}_{1}<{t}_{2}<12 일 때, t1{t}_{1} 과 t2{t}_{2} 사이, 그리고 t2{t}_{2} 와 t1{t}_{1} 사이의 시애틀의 평균 낮 시간을 각각 계산하고, 두 값의 평균이 하루 평균 낮 길이와 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that the number of hours of daylight on a given day in Seattle is modeled by the function −3.75cos⁡(πt6)+12.25,-3.75\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)+12.25, with t given in months and t=0t=0 corresponding to the winter solstice.

a. What is the average number of daylight hours in a year? b. At which times t1 and t2, where 0≤t1<t2<12,0\le {t}_{1}<{t}_{2}<12, do the number of daylight hours equal the average number? c. Write an integral that expresses the total number of daylight hours in Seattle between t1{t}_{1} and t2.{t}_{2}. d. Compute the mean hours of daylight in Seattle between t1{t}_{1} and t2,{t}_{2}, where 0≤t1<t2<12,0\le {t}_{1}<{t}_{2}<12, and then between t2{t}_{2} and t1,{t}_{1}, and show that the average of the two is equal to the average day length.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 10번
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2.OpenStax 1권 · 5.3절 · 60번우리말 번역

장축의 길이가 2a이고 단축의 길이가 2b인 타원 위의 한 점의 좌표는 (acos⁡θ,bsin⁡θ),0≤θ≤2π(a\cos \theta ,b\sin \theta ),0\le \theta \le 2\pi 이다.

a. c=a2−b2c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}} 일 때, 이 점에서 (−c,0)(-c,0) 에 있는 초점까지의 거리가 d(θ)=a+ccos⁡θd(\theta )=a+c\cos \theta 임을 보이세요. b. 이 좌표를 이용하여, 타원 위의 한 점에서 (−c,0)(-c,0) 에 있는 초점까지의 거리의 각 θ에 대한 평균 d−\overset{-}{d} 가 a임을 보이세요.

영어 원문 보기

A point on an ellipse with major axis length 2a and minor axis length 2b has the coordinates (acos⁡θ,bsin⁡θ),0≤θ≤2π.(a\cos \theta ,b\sin \theta ),0\le \theta \le 2\pi .

a. Show that the distance from this point to the focus at (−c,0)(-c,0) is d(θ)=a+ccos⁡θ,d(\theta )=a+c\cos \theta , where c=a2−b2.c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}. b. Use these coordinates to show that the average distance d−\overset{-}{d} from a point on the ellipse to the focus at (−c,0),(-c,0), with respect to angle θ, is a.

정답·풀이 보기

a. d2θ=(acos⁡θ+c)2+b2sin⁡2θ=a2+c2cos⁡2θ+2accos⁡θ=(a+ccos⁡θ)2;{d}^{2}\theta ={(a\cos \theta +c)}^{2}+{b}^{2}{\sin }^{2}\theta ={a}^{2}+{c}^{2}{\cos }^{2}\theta +2ac\cos \theta ={(a+c\cos \theta )}^{2}; b. d−=12π∫02π(a+ccos⁡θ)dθ=a\overset{-}{d}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }(a+c\cos \theta )d\theta =a

원본 교재 풀이(영어)

a. d2θ=(acos⁡θ+c)2+b2sin⁡2θ=a2+c2cos⁡2θ+2accos⁡θ=(a+ccos⁡θ)2;{d}^{2}\theta ={(a\cos \theta +c)}^{2}+{b}^{2}{\sin }^{2}\theta ={a}^{2}+{c}^{2}{\cos }^{2}\theta +2ac\cos \theta ={(a+c\cos \theta )}^{2}; b. d−=12π∫02π(a+ccos⁡θ)dθ=a\overset{-}{d}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }(a+c\cos \theta )d\theta =a

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 56번
# 미적분의 기본정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 1번우리말 번역

모든 xx 에 대해 f(x)>0,f′(x)>0f(x)>0,{f}^{'}(x)>0 이면, 우측 끝점 법칙은 적분 ∫abf(x){\int }_{a}^{b}f(x) 의 값을 과소평가한다. 그래프를 이용하여 답을 뒷받침하세요.

영어 원문 보기

If f(x)>0,f′(x)>0f(x)>0,{f}^{'}(x)>0 for all x,x, then the right-hand rule underestimates the integral ∫abf(x).{\int }_{a}^{b}f(x). Use a graph to justify your answer.

정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

False

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 7번
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