미적분의 기본정리 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.3절 · 17번우리말 번역

여기에 $y={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 그래프가 나와 있습니다. 단, f 는 구간별 상수함수입니다.

점 (0, 0), (1, 3), (2, 2), (3, 0), (4, 3), (5, 3), (6, 2)를 지나는 선분들로 이루어진 함수의 그래프이다. 함수의 그래프 아래쪽과 x축 위쪽 사이의 영역에 색이 칠해져 있다.

a. f 가 양수인 구간은 어디입니까? 음수인 구간은 어디입니까? 0과 같은 구간이 있다면 어디입니까? b. f 의 최댓값과 최솟값은 각각 얼마입니까? c. f 의 평균값은 얼마입니까?

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}f(t)dt,$ where f is a piecewise constant function, is shown here.

A function with linear segments which goes through the points (0, 0), (1, 3), (2, 2), (3, 0), (4, 3), (5, 3), and (6, 2). The area under the function and above the x axis is shaded.

a. Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero? b. What are the maximum and minimum values of f? c. What is the average value of f?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 49번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 1권 · 5.3절 · 18번우리말 번역

$y={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 f 는 구간별 상수 함수이다.

선분으로 이루어진 함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2), (6, 0)을 지난다. 구간 (0, 1.5)와 (3.25, 6)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있다. 구간 (1.5, 3.25)에서 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에 색이 칠해져 있다.

a. f 가 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. f 의 최댓값과 최솟값을 구하세요. c. f 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}f(t)dt,$ where f is a piecewise constant function, is shown here.

A graph of a function with linear segments that goes through the points (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2), and (6, 0). The area over the function but under the x axis over the interval (0, 1.5) and (3.25, 6) is shaded. The area under the function but over the x axis over the interval (1.5, 3.25) is shaded.

a. Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero? b. What are the maximum and minimum values of f? c. What is the average value of f?

정답·풀이 보기

a. f 는 $(1,2)$ 와 $(5,6)$ 에서 양수이고, $(0,1)$ 과 $(3,4)$ 에서 음수이며, $(2,3)$ 과 $(4,5)$ 에서 0이다. b. 최댓값은 2이고 최솟값은 −3이다. c. 평균값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. f is positive over $(1,2)$ and $(5,6),$ negative over $(0,1)$ and $(3,4),$ and zero over $(2,3)$ and $(4,5).$ b. The maximum value is 2 and the minimum is −3. c. The average value is 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 58번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 5.3절 · 19번우리말 번역

$y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt$ 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 ℓ 은 구간별로 정의된 일차함수이다.

함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 3), (4, 3.5), (5, 4), (6, 2)를 지난다. 구간 (0, 1.8)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있고, 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에도 색이 칠해져 있다.

a. ℓ 이 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. ℓ 이 증가하는 구간을 구하세요. 감소하는 구간을 구하세요. 상수인 구간이 있다면 구하세요. c. ℓ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt,$ where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.

A graph of a function which goes through the points (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 3), (4, 3.5), (5, 4), and (6, 2). The area over the function and under the x axis over (0, 1.8) is shaded, and the area under the function and over the x axis is shaded.

a. Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero? b. Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which, if any, is it constant? c. What is the average value of ℓ?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 50번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 5.3절 · 20번우리말 번역

$y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt$ 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 ℓ 은 구간별로 정의된 일차함수이다.

함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1), (6, 2)를 지난다. 구간 (0, 2)와 (4.5, 6)에서 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에 색이 칠해져 있다. 구간 (2, 2.5)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있다.

a. ℓ 이 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. ℓ 이 증가하는 구간을 구하세요. 감소하는 구간을 구하세요. 상수인 구간이 있다면 구하세요. c. ℓ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt,$ where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.

A graph of a function that goes through the points (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1), and (6, 2). The area under the function and over the x axis over the intervals (0, 2) and (4.5, 6) is shaded. The area over the function and under the x axis over the interval (2, 2.5) is shaded.

a. Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero? b. Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which intervals, if any, is it constant? c. What is the average value of ℓ?

정답·풀이 보기

a. ℓ 은 $(0,1)$ 과 $(3,6)$ 에서 양수이고, $(1,3)$ 에서 음수이다. b. $(0,1)$ 과 $(3,5)$ 에서 증가하고, $(1,3)$ 과 $(5,6)$ 에서 상수이다. c. 평균값은 $\frac{1}{3}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. ℓ is positive over $(0,1)$ and $(3,6),$ and negative over $(1,3).$ b. It is increasing over $(0,1)$ and $(3,5),$ and it is constant over $(1,3)$ and $(5,6).$ c. Its average value is $\frac{1}{3}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 10번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 5.3절 · 59번우리말 번역

케플러의 제1법칙에 따르면 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 움직인다. 행성 궤도에서 태양에 가장 가까운 점을 근일점(지구의 경우 현재 1월 3일경에 지난다)이라 하고, 가장 먼 점을 원일점(지구의 경우 현재 7월 4일경에 지난다)이라 한다. 케플러의 제2법칙에 따르면 행성은 같은 시간 동안 타원 궤도에서 같은 넓이를 쓸고 지나간다. 따라서 다음 그림에 표시된 두 호는 같은 시간 동안 쓸고 지나간 것이다. 지구는 일 년 중 언제 궤도에서 가장 빠르게 움직이나요? 언제 가장 느리게 움직이나요?

초점 하나가 표시된 가로로 놓인 타원이다. 초점의 바로 왼쪽과 타원의 반대쪽에 길이가 같은 두 호가 표시되어 있다. 초점과 두 호의 양 끝점으로 이루어진 부채꼴 모양의 부분은 각각 파란색으로 칠해져 있다.

영어 원문 보기

Kepler’s first law states that the planets move in elliptical orbits with the Sun at one focus. The closest point of a planetary orbit to the Sun is called the perihelion (for Earth, it currently occurs around January 3) and the farthest point is called the aphelion (for Earth, it currently occurs around July 4). Kepler’s second law states that planets sweep out equal areas of their elliptical orbits in equal times. Thus, the two arcs indicated in the following figure are swept out in equal times. At what time of year is Earth moving fastest in its orbit? When is it moving slowest?

A horizontal ellipse with one focus marked. Two equal arcs are marked to the direct left of the focus and on the other side of the ellipse. The wedges formed by the focus and the endpoints of both arcs are shaded in blue.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 9번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

6.APEX · 5.4절 · 51번우리말 번역

51–54번 문제에서 주어진 함수의 그래프를 그리고, 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

$y=2x$ , $y=5x$ , $x= 3$ .

영어 원문 보기

In Exercises 51–54, sketch the given functions and find the area of the enclosed region.

$y=2x$ , $y=5x$ , and $x= 3$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$27/2$

원본 교재 풀이(영어)

$27/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 48번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

7.APEX · 5.4절 · 52번우리말 번역

51–54번 문제에서 주어진 함수의 그래프를 그리고, 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

$y=-x+1$ , $y=3x+6$ , $x=2$ , $x= -1$ .

영어 원문 보기

In Exercises 51–54, sketch the given functions and find the area of the enclosed region.

$y=-x+1$ , $y=3x+6$ , $x=2$ and $x= -1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$21$

원본 교재 풀이(영어)

$21$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 6번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

8.APEX · 5.4절 · 53번우리말 번역

51–54번 문제에서 주어진 함수의 그래프를 그리고, 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

$y=x^2-2x+5$ , $y=5x-5$ .

영어 원문 보기

In Exercises 51–54, sketch the given functions and find the area of the enclosed region.

$y=x^2-2x+5$ , $y=5x-5$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$9/2$

원본 교재 풀이(영어)

$9/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 19번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

9.APEX · 5.4절 · 54번우리말 번역

연습문제 51–54에서 주어진 함수의 그래프를 그리고, 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

$y=2x^2+2x-5$ , $y=x^2+3x+7$ .

영어 원문 보기

In Exercises 51–54, sketch the given functions and find the area of the enclosed region.

$y=2x^2+2x-5$ , $y=x^2+3x+7$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$343/6$

원본 교재 풀이(영어)

$343/6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 29번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

10.CLP-2 · 1.3절 · 49번우리말 번역

$f(x)=x^3\displaystyle\int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t$ 라 하자.

(a) 도함수 $f'(x)$ 의 식을 구하세요. (식에 적분 기호가 포함되어도 됩니다.) (b) $y=f(x)$ 의 그래프 위의 $x=-1$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Define $f(x)=x^3\displaystyle\int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t$ .

(a) Find a formula for the derivative $f'(x)$ . (Your formula may include an integral sign.) (b) Find the equation of the tangent line to the graph of $y=f(x)$ at $x=-1$ .

정답·풀이 보기

(a) 곱의 미분법, 합성함수의 미분법, 미적분학의 기본정리 제1부를 차례로 이용하면,

$\begin{aligned} f'(x) & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\ \big[3x^2\big] \Bigg[\frac{d}{\mathrm{d}y}\int_{0}^{y} e^{t^3} \mathrm{d}t\Bigg]_{y=x^3+1} \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\ \big[3x^2\big] \Big[e^{y^3}\Big]_{y=x^3+1} \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\ \big[3x^2\big] e^{(x^3+1)^3} \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + 3x^5 e^{(x^3+1)^3} \end{aligned}$

(b) 일반적으로 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 $x=a$ 에서의 접선의 방정식은

$y=f(a) + f'(a)\,(x-a)$

이다. 주어진 $f(x)$ 와 $a=-1$ 을 대입하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(a)=f(-1)&=(-1)^3\int_0^0 e^{t^3}\ \mathrm{d}t=0\\ f'(a)=f'(-1)&=3(-1)^2\int_{0}^{0}e^{t^3}\ \mathrm{d}t + 3(-1)^5e^{0}\\ &=0-3=-3\\ (x-a)=x-(-1)&=x+1 \\ \text{따라서 접선의 방정식은} \\ y = -3(x+1)\ . \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Using the product rule, followed by the chain rule, followed by the Fundamental Theorem of Calculus Part 1,

$\begin{aligned} f'(x) & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\ \big[3x^2\big] \Bigg[\frac{d}{\mathrm{d}y}\int_{0}^{y} e^{t^3} \mathrm{d}t\Bigg]_{y=x^3+1} \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\ \big[3x^2\big] \Big[e^{y^3}\Big]_{y=x^3+1} \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\ \big[3x^2\big] e^{(x^3+1)^3} \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + 3x^5 e^{(x^3+1)^3} \end{aligned}$

(b) In general, the equation of the tangent line to the graph of $y=f(x)$ at $x=a$ is

$y=f(a) + f'(a)\,(x-a)$

Substituting in the given $f(x)$ and $a=-1$ :

$\begin{aligned} f(a)=f(-1)&=(-1)^3\int_0^0 e^{t^3}\ \mathrm{d}t=0\\ f'(a)=f'(-1)&=3(-1)^2\int_{0}^{0}e^{t^3}\ \mathrm{d}t + 3(-1)^5e^{0}\\ &=0-3=-3\\ (x-a)=x-(-1)&=x+1 \\ \text{So, the equation of the tangent line is} \\ y = -3(x+1)\ . \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 42번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석도전자동 분류

11.Active Calculus · 4.4절 · 13번우리말 번역

항공기가 가능한 한 빠르게 상승하려고 할 때, 높은 고도일수록 공기가 희박하기 때문에 상승률(단위: 피트/분)은 고도가 높아짐에 따라 감소합니다. 아래는 어떤 단발 엔진 항공기의 성능 자료를 나타낸 표로, 여러 고도에서의 상승률을 보여 줍니다. 여기서 $c(h)$ 는 고도 $h$ 에서의 비행기의 상승률을 나타냅니다.

$h$ (피트)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (피트/분)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$

고도 $h$ 에 있는 비행기가 다음 1피트를 더 상승하는 데 필요한 시간(분)을 나타내는 새로운 함수 $m(h)$ 를 생각하세요.

(a) $m(h)$ 에 대한 비슷한 값의 표를 만들고, 이 표가 위의 표와 어떤 관계가 있는지 설명하세요. 단위도 반드시 설명하세요. (b) 도함수가 $m(h)$ 인 함수를 정확하게 해석하세요. 입력은 무엇이고 출력은 무엇인지 설명하세요. 또한 이 함수가 우리에게 알려 주는 것이 무엇인지 쉬운 말로 설명하세요. (c) 그 값이 비행기가 고도 10,000피트까지 상승하는 데 필요한 시간(분)을 정확히 알려 주는 정적분을 구하세요. 이 정적분의 값이 왜 그러한 의미를 갖는지 분명하게 설명하세요. (d) 리만 합 $M_5$ 를 이용하여 (c)에서 구한 정적분의 값을 어림하세요. 결과에 단위를 포함하세요.

영어 원문 보기

When an aircraft attempts to climb as rapidly as possible, its climb rate (in feet per minute) decreases as altitude increases, because the air is less dense at higher altitudes. Given below is a table showing performance data for a certain single engine aircraft, giving its climb rate at various altitudes, where $c(h)$ denotes the climb rate of the airplane at an altitude $h$ .

$h$ (feet)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (ft/min)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$

Let a new function called $m(h)$ measure the number of minutes required for a plane at altitude $h$ to climb the next foot of altitude.

(a) Determine a similar table of values for $m(h)$ and explain how it is related to the table above. Be sure to explain the units. (b) Give a careful interpretation of a function whose derivative is $m(h)$ . Describe what the input is and what the output is. Also, explain in plain English what the function tells us. (c) Determine a definite integral whose value tells us exactly the number of minutes required for the airplane to ascend to 10,000 feet of altitude. Clearly explain why the value of this integral has the required meaning. (d) Use the Riemann sum $M_5$ to estimate the value of the integral you found in (c). Include units on your result.

정답·풀이 보기

(a) 주어진 상승률 $c(h)$ 의 단위는 피트/분이고, 새 함수 $m(h)$ 의 단위는 분/피트이므로 $m(h)$ 는 $c(h)$ 의 역수이다. 즉 $m(h) = \frac{1}{c(h)}$ 이다. 따라서 다음과 같이 보완된 표를 얻는다.

$h$ (피트)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (피트/분)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$
$m$ (분/피트)	$\frac{1}{925}$	$\frac{1}{875}$	$\frac{1}{830}$	$\frac{1}{780}$	$\frac{1}{730}$	$\frac{1}{685}$	$\frac{1}{635}$	$\frac{1}{585}$	$\frac{1}{535}$	$\frac{1}{490}$	$\frac{1}{440}$
(b) 어떤 함수가 주어졌을 때, 그 도함수의 단위는 “입력 단위당 출력 단위”임을 알고 있다. $m(h)$ 의 단위가 “분/피트”이고 입력 단위가 “피트”이므로, $m(h)$ 의 원시함수의 출력 단위는 “분”이어야 한다. 따라서 이 원시함수는 비행기가 $h$ 피트의 고도까지 상승하는 데 걸리는 총 시간(분)을 알려 준다.
(c) 비행기가 $10{,}000$ 피트의 고도까지 상승하는 데 필요한 시간(분)은 다음 정적분으로 주어진다.
$M = \int_{0}^{10000} m(h) \, dh$
이는 $m(h)$ 의 단위가 “분/피트”이고 대응하는 리만 합에서 $\triangle h$ 의 단위가 “피트”이므로, 이 단위를 가진 양들의 곱은 분 단위로 측정되는 수치가 되기 때문이다.
(d) 리만 합 $M_5$ 에서는 부분구간이 $5$ 개이다. 주어진 자료에서 이는 알려진 자료점을 하나씩 건너뛰며 함수의 값을 구해야 한다는 뜻이다. 구체적으로,
$\begin{aligned}\int_{0}^{10000} m(h) \, dh &\approx M_5 \\ &= m(1000) \cdot 2000 + m(3000) \cdot 2000 + m(5000) \cdot 2000 \\ &+ m(7000) \cdot 2000 + m(9000) \cdot 2000 \\ &= \left( \frac{1}{875} + \frac{1}{780} + \frac{1}{685} + \frac{1}{585} + \frac{1}{490} \right) \cdot 2000 \\ &\approx 0.007634980475 \cdot 2000 \\ &\approx 15.27\end{aligned}\,.$ 따라서 비행기가 10,000피트의 고도까지 상승하는 데 $15$ 분보다 조금 더 걸린다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since the given climb rate, $c(h)$ , is in feet per minute, and the new function, $m(h)$ , is measured in minutes per foot, it follows that $m(h)$ is the reciprocal of $c(h)$ , so $m(h) = \frac{1}{c(h)}$ . Hence we get the following updated table.

$h$ (feet)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (ft/min)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$
$m$ (min/ft)	$\frac{1}{925}$	$\frac{1}{875}$	$\frac{1}{830}$	$\frac{1}{780}$	$\frac{1}{730}$	$\frac{1}{685}$	$\frac{1}{635}$	$\frac{1}{585}$	$\frac{1}{535}$	$\frac{1}{490}$	$\frac{1}{440}$
(b) Given an original function, we know that the units on its derivative are “units of input per unit of output”. Since the units on $m(h)$ are “minutes per foot”, it follows that the antiderivative of $m(h)$ should have output units of “minutes” since its input units are “feet”. The antiderivative function should thus tell us the total number of minutes that it takes for the plane to climb to an altitude of $h$ feet.
(c) The number of minutes required for the airplane to ascend to $10{,}000$ feet of altitude is given by the definite integral
$M = \int_{0}^{10000} m(h) \, dh$
since the units on $m(h)$ are “minutes per foot” and the units on $\triangle h$ in the corresponding Riemann sum are “feet”, so when we take the product of quantities with these units, the resulting numerical quantity is measured in minutes.
(d) For the Riemann sum $M_5$ , we have $5$ subintervals. Given the original data, this means that we need to evaluate the function at every other known data point. In particular,
$\begin{aligned}\int_{0}^{10000} m(h) \, dh &\approx M_5 \\ &= m(1000) \cdot 2000 + m(3000) \cdot 2000 + m(5000) \cdot 2000 \\ &+ m(7000) \cdot 2000 + m(9000) \cdot 2000 \\ &= \left( \frac{1}{875} + \frac{1}{780} + \frac{1}{685} + \frac{1}{585} + \frac{1}{490} \right) \cdot 2000 \\ &\approx 0.007634980475 \cdot 2000 \\ &\approx 15.27\end{aligned}\,.$ Thus, it takes the plane a bit more than $15$ minutes to climb to an altitude of 10,000 feet.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 50번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류