빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한의 뜻

x가 a에 가까워질 때 f(x)가 다가가는 값을 그래프·표로 짐작한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 1.2절 · 7번우리말 번역

시각 tt (단위: 초)에서 물체의 위치가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. s(t)=3t2+5s(t)=3t^2+5.

(a) 3초부터 5초까지 물체의 평균 속도를 구하세요. (b) 시각 t=1t=1 에서 물체의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time tt (measured in seconds) is given by s(t)=3t2+5s(t)=3t^2+5.

(a) What is the average velocity of the object from 3 seconds to 5 seconds? (b) What is the velocity of the object at time t=1t=1?

답 쓰고 채점
(a)
단위/초
(b)
단위/초
정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: change in positionchange in time=s(5)−s(3)5−3=(3⋅52+5)−(3⋅32+5)5−3=24\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24 이므로 초당 24 단위이다. (b) 강의 노트에서 시각 aa 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} 따라서 이 문제에서는 다음과 같다. v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→0[3(1+h)2+5]−[3(1)2+5]h=lim⁡h→06h+3h2h=lim⁡h→06+3h=6v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6 따라서 t=1t=1 일 때의 속도는 초당 6 단위이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: change in positionchange in time=s(5)−s(3)5−3=(3⋅52+5)−(3⋅32+5)5−3=24\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24 units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time aa is v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} So, in our case: v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→0[3(1+h)2+5]−[3(1)2+5]h=lim⁡h→06h+3h2h=lim⁡h→06+3h=6v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6 So the velocity when t=1t=1 is 6 units per second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 6번
# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류
2.CLP-1 · 1.2절 · 8번우리말 번역

어떤 물체의 시각 tt (단위: 초)에서의 위치가 s(t)=ts(t)=\sqrt{t} 로 주어진다고 하자.

(a) t=1t=1초부터 t=9t=9초까지 물체의 평균 속도는 얼마인가? (b) 시각 t=1t=1에서 물체의 속도는 얼마인가? (c) 시각 t=9t=9에서 물체의 속도는 얼마인가?

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time tt (measured in seconds) is given by s(t)=ts(t)=\sqrt{t}.

(a) What is the average velocity of the object from t=1t=1 second to t=9t=9 seconds? (b) What is the velocity of the object at time t=1t=1? (c) What is the velocity of the object at time t=9t=9?

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: 위치의 변화량시간의 변화량=s(9)−s(1)9−1=3−19−1=14\dfrac{\text{위치의 변화량}}{\text{시간의 변화량}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4} 단위/초이다. (b) 강의 노트에서, 시각 aa 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} 따라서 이 경우에는 다음과 같다.

v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→01+h−1h=lim⁡h→01+h−1h⋅(1+h+11+h+1)=lim⁡h→0(1+h)−1h(1+h+1)=lim⁡h→011+h+1=12 단위/초\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ 단위/초} \end{aligned} (c) v(9)=lim⁡h→0s(9+h)−s(9)h=lim⁡h→09+h−3h=lim⁡h→09+h−3h⋅(9+h+39+h+3)=lim⁡h→0(9+h)−9h(9+h+3)=lim⁡h→019+h+3=16 단위/초\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ 단위/초} \end{aligned}

참고: 평균 속도는 두 순간 속도의 평균이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: change in positionchange in time=s(9)−s(1)9−1=3−19−1=14\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4} units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time aa is v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} So, in our case:

v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→01+h−1h=lim⁡h→01+h−1h⋅(1+h+11+h+1)=lim⁡h→0(1+h)−1h(1+h+1)=lim⁡h→011+h+1=12 units per second\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ units per second} \end{aligned} (c) v(9)=lim⁡h→0s(9+h)−s(9)h=lim⁡h→09+h−3h=lim⁡h→09+h−3h⋅(9+h+39+h+3)=lim⁡h→0(9+h)−9h(9+h+3)=lim⁡h→019+h+3=16 units per second\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ units per second} \end{aligned}

Remark: the average velocity is not the average of the two instantaneous velocities.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 7번
# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류