함수의 극한의 뜻 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 표를 알맞은 값으로 채우세요. $y$ 좌표, 점 $Q(x,y)$ , 그리고 두 점 $P$ , $Q$ 를 지나는 할선의 기울기 $m_{\text{sec}}$ 를 구합니다. 답은 유효숫자 8자리로 반올림하세요.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

영어 원문 보기

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point $Q(x,y),$ and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

풀이 보기

점 Q 를 점 P 에 가까이 보낼수록 할선의 기울기가 어떤 값에 다가가는지 표로 살펴보는 문제예요.

1
어떤 함수와 점인지 먼저 확인해요. 이 문제에는 함수와 점 $P$ 가 나와 있지 않지만, 원본 정답의 값( $-0.95238095$ 등)을 보면 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 이고 $P(-1,-1)$ 임을 알 수 있어요. (앞 문제에서 주어진 조건으로 보여요.)
2
$y$ 좌표(a~d)를 구해요. 점 $Q$ 는 곡선 위의 점이니까 $y=\dfrac{1}{x}$ 에 $x$ 값을 넣으면 돼요.
- $x=-1.05$ 일 때 $y=\dfrac{1}{-1.05}\approx -0.95238095$
- $x=-1.01$ 일 때 $y\approx -0.99009901$
- $x=-1.005$ 일 때 $y\approx -0.99502488$
- $x=-1.001$ 일 때 $y\approx -0.99900100$
3
점 $Q(x,y)$ (e~h)를 적어요. 위에서 구한 $x$ 와 $y$ 를 짝지으면 돼요.
- $Q(-1.05,\,-0.95238095)$
- $Q(-1.01,\,-0.99009901)$
- $Q(-1.005,\,-0.99502488)$
- $Q(-1.001,\,-0.99900100)$
4
할선의 기울기(i~l)를 구해요. 두 점 $P(-1,-1)$ , $Q(x,y)$ 를 지나는 직선의 기울기는 $m_{\text{sec}}=\dfrac{y-(-1)}{x-(-1)}=\dfrac{y+1}{x+1}$ 이에요.

$x=-1.05$ 이면 $\dfrac{-0.95238095+1}{-1.05+1}=\dfrac{0.04761905}{-0.05}\approx -0.95238095$ 예요.

사실 $y=\dfrac1x$ 를 넣어 정리하면 $m_{\text{sec}}=\dfrac{\frac1x+1}{x+1}=\dfrac{\frac{1+x}{x}}{x+1}=\dfrac1x$ 라서 기울기는 $y$ 값과 똑같아요.
5
표에서 알 수 있는 것을 정리해요. $x$ 가 $-1$ 에 가까워질수록 $m_{\text{sec}}$ 는 $-1$ 에 가까워져요. 이 값이 점 $P$ 에서의 접선의 기울기를 짐작하게 해 줘요.

답

(a) $-0.95238095$ (b) $-0.99009901$ (c) $-0.99502488$ (d) $-0.99900100$ / (e)~(h) $Q$ 는 각각 $(-1.05,-0.95238095)$ , $(-1.01,-0.99009901)$ , $(-1.005,-0.99502488)$ , $(-1.001,-0.99900100)$ / (i)~(l) 기울기는 (a)~(d) 와 같은 값

자주 하는 실수

할선의 기울기를 구할 때 $x$ 값 대신 $x+1$ 이어야 하는 분모에 $x$ 를 그대로 넣거나, 부호를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

a. −0.95238095; b. −0.99009901; c. −0.99502488; d. −0.99900100; e. (−1;.0500000,−0;.95238095); f. (−1;.0100000,−0;.9909901); g. (−1;.0050000,−0;.99502488); h. (1.0010000,−0;.99900100); i. −0.95238095; j. −0.99009901; k. −0.99502488; l. −0.99900100

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석보통

2.OpenStax 1권 · 2.2절 · 16번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 값의 표를 만들고 유효숫자 8자리로 반올림하세요. 표를 보고 극한값이 얼마일지 짐작해 보세요. 그다음 계산기로 함수의 그래프를 그려 극한을 확인하세요. 짐작이 맞았나요? 맞지 않았다면 표를 이용한 방법은 왜 실패했을까요?

$\lim_{\alpha \to 0^{+}}\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)$

$\alpha$	$\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, set up a table of values and round to eight significant digits. Based on the table of values, make a guess about what the limit is. Then, use a calculator to graph the function and determine the limit. Was the conjecture correct? If not, why does the method of tables fail?

$\lim_{\alpha \to {0}^{+}}\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)$

$\alpha$	$\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

풀이 보기

표에 쓴 몇 개의 값만으로는 극한을 단정할 수 없어요. 그래프나 식 전체의 움직임까지 봐야 해요.

1
표를 채워요. 코사인 안의 값 $\dfrac{\pi}{\alpha}$ 를 먼저 구해요.
- $\alpha=0.1$ 이면 $\dfrac{\pi}{0.1}=10\pi$ 이고 $\cos 10\pi=1$ 이므로 값은 $\dfrac{1}{0.1}\cdot 1=10$
- $\alpha=0.01$ 이면 $\cos 100\pi=1$ 이므로 값은 $100$
- $\alpha=0.001$ 이면 값은 $1000$
- $\alpha=0.0001$ 이면 값은 $10000$
2
표를 보고 짐작해요. 값이 $10,100,1000,10000$ 으로 한없이 커지니까 $\alpha\to0^{+}$ 일 때 극한이 $\infty$ 라고 짐작할 수 있어요.
3
그래프를 확인해요. 그래프를 그려 보면 $0$ 에 가까워질수록 위아래로 아주 빠르게 흔들리면서 흔들림의 폭이 점점 커져요. 코사인 값이 $-1$ 과 $1$ 사이를 계속 오가는데 앞에 곱한 $\dfrac1\alpha$ 가 커지기 때문이에요. 그래서 $\infty$ 로만 가지 않고 $-\infty$ 쪽으로도 가요.
4
정말 극한이 있는지 따져 봐요. 같은 $\alpha\to0^{+}$ 인데 점을 다르게 고르면 결과가 달라져요.
- $\alpha=\dfrac1{2n}$ 이면 $\dfrac{\pi}{\alpha}=2n\pi$ 이므로 값은 $2n\cdot 1=2n\to\infty$
- $\alpha=\dfrac1{2n+1}$ 이면 $\dfrac{\pi}{\alpha}=(2n+1)\pi$ 이므로 값은 $-(2n+1)\to-\infty$
한 값에 다가가지 않으므로 극한은 존재하지 않아요.
5
표가 실패한 이유예요. 표에 고른 $\alpha=0.1,0.01,0.001,0.0001$ 은 모두 $\dfrac{1}{(\text{짝수})}$ 꼴이라 코사인이 항상 $1$ 이 되는 점만 골랐어요. 그래서 진동하는 모습을 보지 못하고 $\infty$ 라고 잘못 짐작한 거예요.

답

(a) $10$ (b) $100$ (c) $1000$ (d) $10000$ . 표로 짐작한 극한은 $\infty$ 이지만 실제로는 극한이 존재하지 않아요.

자주 하는 실수

표의 값이 계속 커진다는 것만 보고 극한이 $\infty$ 라고 확신해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 10.00000; b. 100.00000; c. 1000.0000; d. 10,000.000; Guess: $\lim_{\alpha \to {0}^{+}}\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=\infty ,$ actual: DNE

A graph of the function (1/alpha) * cos (pi / alpha), which oscillates gently until the interval (-.2, .2), where it oscillates rapidly, going to infinity and negative infinity as it approaches the y axis.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석보통

3.CLP-1 · 1.2절 · 7번우리말 번역

시각 $t$ (단위: 초)에서 물체의 위치가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. $s(t)=3t^2+5$ .

(a) 3초부터 5초까지 물체의 평균 속도를 구하세요. (b) 시각 $t=1$ 에서 물체의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time $t$ (measured in seconds) is given by $s(t)=3t^2+5$ .

(a) What is the average velocity of the object from 3 seconds to 5 seconds? (b) What is the velocity of the object at time $t=1$ ?

답 쓰고 채점

(a)

단위/초

(b)

단위/초

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: $\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24$ 이므로 초당 24 단위이다. (b) 강의 노트에서 시각 $a$ 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ 따라서 이 문제에서는 다음과 같다. $v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6$ 따라서 $t=1$ 일 때의 속도는 초당 6 단위이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: $\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24$ units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time $a$ is $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ So, in our case: $v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6$ So the velocity when $t=1$ is 6 units per second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 6번

# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류

4.CLP-1 · 1.2절 · 8번우리말 번역

어떤 물체의 시각 $t$ (단위: 초)에서의 위치가 $s(t)=\sqrt{t}$ 로 주어진다고 하자.

(a) $t=1$ 초부터 $t=9$ 초까지 물체의 평균 속도는 얼마인가? (b) 시각 $t=1$ 에서 물체의 속도는 얼마인가? (c) 시각 $t=9$ 에서 물체의 속도는 얼마인가?

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time $t$ (measured in seconds) is given by $s(t)=\sqrt{t}$ .

(a) What is the average velocity of the object from $t=1$ second to $t=9$ seconds? (b) What is the velocity of the object at time $t=1$ ? (c) What is the velocity of the object at time $t=9$ ?

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: $\dfrac{\text{위치의 변화량}}{\text{시간의 변화량}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4}$ 단위/초이다. (b) 강의 노트에서, 시각 $a$ 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ 따라서 이 경우에는 다음과 같다.

$\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ 단위/초} \end{aligned}$ (c) $\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ 단위/초} \end{aligned}$

참고: 평균 속도는 두 순간 속도의 평균이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: $\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4}$ units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time $a$ is $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ So, in our case:

$\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ units per second} \end{aligned}$ (c) $\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ units per second} \end{aligned}$

Remark: the average velocity is not the average of the two instantaneous velocities.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 7번

# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류

5.CLP-1 · 1.3절 · 10번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t=0$ 이다. $t$ 가 0에 가까워질 때 $\sin t$ 도 0에 가까워지기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t=0$ : as $t$ approaches 0, $\sin t$ approaches 0 as well.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 13번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

6.CLP-1 · 1.3절 · 11번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x = -\infty$ : $x$ 가 오른쪽에서 0에 가까워질 때, $\log x$ 는 음수이고 그 크기가 점점 커지며 한없이 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x = -\infty$ : as $x$ approaches 0 from the right, $\log x$ is negative and increasingly large, growing without bound.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 10번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

7.CLP-1 · 1.3절 · 12번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2=9$ : $y$ 가 3에 점점 더 가까워질 때, $y^2$ 은 $3^2$ 에 점점 더 가까워진다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2=9$ : as $y$ gets closer and closer to 3, $y^2$ gets closer and closer to $3^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 9번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

8.CLP-1 · 1.3절 · 13번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}=-\infty$ : $x$ 가 왼쪽에서 0에 점점 더 가까워질 때, $\dfrac{1}{x}$ 은 절댓값이 점점 더 큰 음수가 된다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}=-\infty$ : as $x$ gets closer and closer to 0 from the left, $\dfrac{1}{x}$ becomes a larger and larger negative number.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 8번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

9.CLP-1 · 1.3절 · 16번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10}$ : $x$ 가 무엇이든 $\dfrac{1}{10}$ 은 언제나 $\dfrac{1}{10}$ 이다. 특히 $x$ 가 3에 가까워질 때에도 $\dfrac{1}{10}$ 은 $\dfrac{1}{10}$ 그대로 변하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10}$ : no matter what $x$ is, $\dfrac{1}{10}$ is always $\dfrac{1}{10}$ . In particular, as $x$ approaches 3, $\dfrac{1}{10}$ stays put at $\dfrac{1}{10}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 5번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

10.CLP-1 · 1.3절 · 17번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)$ 를 구하세요. 여기서 $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin x&x\leq 2.9\\ x^2&x>2.9 \end{array} \right.$ 이다.

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)$ , where $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin x&x\leq 2.9\\ x^2&x>2.9 \end{array} \right.$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x$ 가 3에 아주 가까울 때, $f(x)$ 는 함수 $x^2$ 과 같아 보인다. 따라서: $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} x^2=9$

원본 교재 풀이(영어)

When $x$ is very close to 3, $f(x)$ looks like the function $x^2$ . So: $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} x^2=9$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 4번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류