함수의 극한의 뜻 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.1절 · 16번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 공의 평균 속도를 구하세요.

a. $[4.99,5]$ b. $[5,5.01]$ c. $[4.999,5]$ d. $[5,5.001]$

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the ball over the given time intervals.

a. $[4.99,5]$ b. $[5,5.01]$ c. $[4.999,5]$ d. $[5,5.001]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 6번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

2.OpenStax 1권 · 2.1절 · 17번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 $t=5$ sec 에서 공의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the ball at $t=5$ sec.

정답·풀이 보기

−49 m/sec (공의 속도는 아래 방향으로 49 m/sec이다)

원본 교재 풀이(영어)

−49 m/sec (velocity of the ball is 49 m/sec downward)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 20번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 2.1절 · 18번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 돌의 평균 속도를 구하세요.

a. $[1,1.05]$ b. $[1,1.01]$ c. $[1,1.005]$ d. $[1,1.001]$

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the stone over the given time intervals.

a. $[1,1.05]$ b. $[1,1.01]$ c. $[1,1.005]$ d. $[1,1.001]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 22번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 2.1절 · 19번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 $t=1$ sec 에서 돌의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the stone at $t=1$ sec.

정답·풀이 보기

5.2 m/sec

원본 교재 풀이(영어)

5.2 m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.1절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 2.1절 · 20번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 로켓의 평균 속도를 구하세요.

a. $[9,9.01]$ b. $[8.99,9]$ c. $[9,9.001]$ d. $[8.999,9]$

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the rocket over the given time intervals.

a. $[9,9.01]$ b. $[8.99,9]$ c. $[9,9.001]$ d. $[8.999,9]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 5번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 2.1절 · 21번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 $t=9$ sec 에서 로켓의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the rocket at $t=9$ sec.

정답·풀이 보기

−9.8 m/sec

원본 교재 풀이(영어)

−9.8 m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 8번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 2.1절 · 22번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 달리는 사람의 평균 속도를 구하세요.

a. $[1.95,2.05]$ b. $[1.995,2.005]$ c. $[1.9995,2.0005]$ d. $[2,2.00001]$

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the runner over the given time intervals.

a. $[1.95,2.05]$ b. $[1.995,2.005]$ c. $[1.9995,2.0005]$ d. $[2,2.00001]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.1절 · 5번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 2.1절 · 23번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 $t=2$ sec 에서 달리는 사람의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the runner at $t=2$ sec.

정답·풀이 보기

6 m/sec

원본 교재 풀이(영어)

6 m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 11번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

9.CLP-1 · 1.2절 · 1번우리말 번역

이 절에서 쓰는 의미로, 속력과 속도의 차이는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

As they are used in this section, what is the difference between speed and velocity?

정답·풀이 보기

속력은 음이 아니다. 속도는 방향을 나타내는 부호(양 또는 음)를 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

Speed is nonnegative; velocity has a sign (positive or negative) that indicates direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 20번

# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류

10.CLP-1 · 1.2절 · 2번우리말 번역

속력은 결코 음이 될 수 없다. 그렇다면 0이 될 수는 있습니까?.

영어 원문 보기

Speed can never be negative; can it be zero?

정답·풀이 보기

예. 움직이지 않는 물체의 속력은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes–an object that is not moving has speed 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류

11.CLP-1 · 1.2절 · 3번우리말 번역

아침에 방에서 일어나 학교까지 2킬로미터를 걷고, 점심을 먹으러 다시 2킬로미터를 걷고, 공부하러 커피숍까지 4킬로미터를 걸은 다음, 다음 날 아침까지 방으로 돌아와 있다고 가정하세요. 아침부터 다음 날 아침까지 24시간 동안의 평균 속도는 얼마인지 구하세요. (씨엘피-1에서는 일변수 함수를 다루므로, 이 단계에서는 우리가 사는 세계 전체가 $x$ 축 위에 있다고 생각하세요.)

영어 원문 보기

Suppose you wake up in the morning in your room, then you walk two kilometres to school, walk another two kilometres to lunch, walk four kilometres to a coffee shop to study, then return to your room until the next morning. In the 24 hours from morning to morning, what was your average velocity? (In CLP-1, we are considering functions of one variable. So, at this stage, think of our whole world as being contained in the $x$ -axis.)

답 쓰고 채점

km/h

정답·풀이 보기

출발한 곳과 도착한 곳이 같으므로 위치의 변화량은 0이고, 시간의 변화량은 24시간이다. 따라서 평균 속도는 $\dfrac{0}{24}=0$ 이므로 시속 0 km이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since you started and ended in the same place, your difference in position was 0, and your difference in time was 24 hours. So, your average velocity was $\dfrac{0}{24}=0$ kph.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류

12.CLP-1 · 1.2절 · 5번우리말 번역

시각 $t$ 에서 물체의 위치가 $s(t)$ 로 주어져 있다. 이때 시각 $t=a$ 부터 $t=b$ 까지의 시간 구간에서 평균 속도는 $\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a}$ 로 주어진다. 이 분수가 곡선 $y=s(t)$ 위의 점 $t=a$ 에서 점 $t=b$ 까지의 할선의 기울기도 나타내는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

The position of an object at time $t$ is given by $s(t)$ . Then its average velocity over the time interval $t=a$ to $t=b$ is given by $\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a}$ . Explain why this fraction also gives the slope of the secant line of the curve $y=s(t)$ from the point $t=a$ to the point $t=b$ .

정답·풀이 보기

곡선의 기울기는 $\dfrac{\text{change in vertical component}}{\text{change in horizontal component}}$ 로 주어진다. 세로 성분의 변화량은 정확히 $s(b)-s(a)$ 이고, 가로 성분의 변화량은 정확히 $b-a$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of a curve is given by $\dfrac{\text{change in vertical component}}{\text{change in horizontal component}}$ . The change in the vertical component is exactly $s(b)-s(a)$ , and the change in the horizontal component is exactly $b-a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 3번

# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류

13.CLP-1 · 1.2절 · 7번우리말 번역

시각 $t$ (단위: 초)에서 물체의 위치가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. $s(t)=3t^2+5$ .

(a) 3초부터 5초까지 물체의 평균 속도를 구하세요. (b) 시각 $t=1$ 에서 물체의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time $t$ (measured in seconds) is given by $s(t)=3t^2+5$ .

(a) What is the average velocity of the object from 3 seconds to 5 seconds? (b) What is the velocity of the object at time $t=1$ ?

답 쓰고 채점

(a)

단위/초

(b)

단위/초

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: $\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24$ 이므로 초당 24 단위이다. (b) 강의 노트에서 시각 $a$ 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ 따라서 이 문제에서는 다음과 같다. $v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6$ 따라서 $t=1$ 일 때의 속도는 초당 6 단위이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: $\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24$ units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time $a$ is $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ So, in our case: $v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6$ So the velocity when $t=1$ is 6 units per second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 6번

# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류

14.CLP-1 · 1.2절 · 8번우리말 번역

어떤 물체의 시각 $t$ (단위: 초)에서의 위치가 $s(t)=\sqrt{t}$ 로 주어진다고 하자.

(a) $t=1$ 초부터 $t=9$ 초까지 물체의 평균 속도는 얼마인가? (b) 시각 $t=1$ 에서 물체의 속도는 얼마인가? (c) 시각 $t=9$ 에서 물체의 속도는 얼마인가?

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time $t$ (measured in seconds) is given by $s(t)=\sqrt{t}$ .

(a) What is the average velocity of the object from $t=1$ second to $t=9$ seconds? (b) What is the velocity of the object at time $t=1$ ? (c) What is the velocity of the object at time $t=9$ ?

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: $\dfrac{\text{위치의 변화량}}{\text{시간의 변화량}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4}$ 단위/초이다. (b) 강의 노트에서, 시각 $a$ 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ 따라서 이 경우에는 다음과 같다.

$\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ 단위/초} \end{aligned}$ (c) $\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ 단위/초} \end{aligned}$

참고: 평균 속도는 두 순간 속도의 평균이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: $\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4}$ units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time $a$ is $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ So, in our case:

$\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ units per second} \end{aligned}$ (c) $\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ units per second} \end{aligned}$

Remark: the average velocity is not the average of the two instantaneous velocities.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 7번

# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류

15.Active Calculus · 1.2절 · 11번우리말 번역

번지 점프를 하는 한 사람이 시각 $t=0$ 에 탑에서 뛰어내린다. 시각 $t$ 초에서 그녀의 높이 $s$ 피트는 $s(t) = 100\cos(0.75t) \cdot e^{-0.2t}+100$ 으로 주어진다.

(a) 구간 $[1,1+h]$ 에서 번지 점프를 하는 사람의 평균 속도를 나타내는 식을 쓰세요. (b) 계산 도구를 사용하여 (a)에서 구한 식의 $h \to 0$ 일 때의 극한값을 어림하세요. (c) (b)에서 구한 극한값이 무엇을 뜻하는지 설명하세요. 그 단위는 무엇인지 말하세요.

영어 원문 보기

A bungee jumper dives from a tower at time $t=0$ . Her height $s$ in feet at time $t$ in seconds is given by $s(t) = 100\cos(0.75t) \cdot e^{-0.2t}+100$ .

(a) Write an expression for the average velocity of the bungee jumper on the interval $[1,1+h]$ . (b) Use computing technology to estimate the value of the limit as $h \to 0$ of the quantity you found in (a). (c) What is the meaning of the value of the limit in (b)? What are its units?

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도의 일반적인 공식을 이용하면 다음과 같다. $\begin{aligned}AV_{[1,1+h]} &= \frac{s(1+h)-s(1)}{h} \\ &= \frac{(100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100) - (100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}+100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100 - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}-100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)} - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}}{h}\end{aligned}$ (b) 스프레드시트를 이용하여 식 $AV_{[1,1+h]}$ 에 작은 $h$ 의 값들을 대입하면 다음과 같다. $h=0$ 근처에서 $AV_{[1,1+h]}$ 의 값

$h$	$AV_{[1,1+h]}$
$0.1$	$-54.50145823$
$0.01$	$-53.90917396$
$0.001$	$-53.84429251$
$0.0001$	$-53.83774757$
$-0.1$	$-53.83629174$
$-0.01$	$-53.82973418$
$-0.001$	$-53.76359015$
$-0.0001$	$-53.04508149$
따라서
$\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837\,.$
(c) $\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837$ 이므로, 이는 $t = 1$ 인 순간 번지 점프를 하는 사람의 순간 속도가 약 $-53.837$ ft/sec 임을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Using the standard formula for average velocity, we see that $\begin{aligned}AV_{[1,1+h]} &= \frac{s(1+h)-s(1)}{h} \\ &= \frac{(100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100) - (100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}+100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100 - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}-100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)} - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}}{h}\end{aligned}$ (b) Using a spreadsheet and small values of $h$ in the expression $AV_{[1,1+h]}$ , we see that Values of $AV_{[1,1+h]}$ near $h=0$ .

$h$	$AV_{[1,1+h]}$
$0.1$	$-54.50145823$
$0.01$	$-53.90917396$
$0.001$	$-53.84429251$
$0.0001$	$-53.83774757$
$-0.1$	$-53.83629174$
$-0.01$	$-53.82973418$
$-0.001$	$-53.76359015$
$-0.0001$	$-53.04508149$
and hence
$\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837\,.$
(c) Since $\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837$ this tells us that the instantaneous velocity of the bungee jumper at the moment $t = 1$ is approximately $-53.837$ ft/sec.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.2절 · 10번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류