문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

극한의 성질과 계산

극한의 성질을 쓰고, 0/0 꼴은 인수분해·유리화로 극한값을 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 2.3절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입하면 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한값을 구하세요.

$\lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-16}{x-4}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}$

풀이 보기

$0/0$ 꼴이면 분자를 인수분해해서 분모와 같은 인수를 약분해요.

1
먼저 $x=4$ 를 대입해 봐요. 분자는 $4^2-16=0$ , 분모는 $4-4=0$ 이라서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 돼요. 이 꼴은 값이 정해지지 않아서 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 인수분해해요. $x^2-16=(x+4)(x-4)$ 이므로

$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}$
3
약분해요. $x\to4$ 일 때 $x\ne4$ 이므로 $x-4\ne0$ 이라서 약분해도 돼요. 식은 $x+4$ 가 돼요.
4
극한값을 구해요. $\lim_{x\to4}(x+4)=4+4=8$

답

$8$

자주 하는 실수

$0/0$ 이 나오면 극한이 $0$ 이라고 하거나 존재하지 않는다고 단정해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\frac{16-16}{4-4}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번

# 극한의 성질과 계산계산기본

2.CLP-1 · 1.4절 · 2번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 을 만족시키는 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give two functions $f(x)$ and $g(x)$ that satisfy $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 이라는 것은 $x$ 가 3에 아주 가까워질 때 $f(x)$ 가 $g(x)$ 의 10배가 된다는 뜻이다. $f(x)=10g(x)$ 이면 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 이므로, $f$ 와 $g$ 가 정의되는 곳에서는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 이다. 따라서 3에서의 극한이 0인 함수 $g(x)$ 를 찾으면 충분하다. 그러한 함수의 예로 $g(x)=x-3$ 이 있다. 그러므로 $f(x)=10(x-3)$ , $g(x)=x-3$ 으로 잡는다. 이제 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{10(x-3)}{x-3}=\displaystyle \lim_{x \to 3}10=10$ 임을 쉽게 확인할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The statement $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ tells us that, as $x$ gets very close to 3, $f(x)$ is 10 times as large as $g(x)$ . We notice that if $f(x)=10g(x)$ , then $\dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ , so $\displaystyle\lim_{x \rightarrow} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ wherever $f$ and $g$ exist. So it's enough to find a function $g(x)$ that has limit 0 at 3. Such a function is (for example) $g(x)=x-3$ . So, we take $f(x)=10(x-3)$ and $g(x)=x-3$ . It is easy now to check that $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{10(x-3)}{x-3}=\displaystyle \lim_{x \to 3}10=10$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 24번

# 극한의 성질과 계산계산기본자동 분류

3.CLP-1 · 1.4절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty$ 를 만족시키는 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give two functions $f(x)$ and $g(x)$ that satisfy $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty$ .

정답·풀이 보기

이 문제를 시작하는 한 가지 방법은 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}=\infty$ 임을 떠올리는 것이다. ( $\dfrac{1}{x}$ 이 아니라 $\dfrac{1}{x^2}$ 을 쓰는 것이 중요한데, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}$ 은 존재하지 않기 때문이다.) 이를 3만큼 “평행이동”하면 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{(x-3)^2}=\infty$ 를 얻는다. 따라서 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{(x-3)^2}$ 이 되도록 하면 충분하다. $f(x)=x-3$ , $g(x)=(x-3)^3$ 으로 잡으면 이를 이룰 수 있고, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 도 그대로 성립한다. 이 역시 가능한 여러 풀이 중 하나이다.

원본 교재 풀이(영어)

One way to start this problem is to remember $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}=\infty$ . (Using $\dfrac{1}{x^2}$ as opposed to $\dfrac{1}{x}$ is important, since $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}$ does not exist.) Then by “shifting" by three, we find $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{(x-3)^2}=\infty$ . So it is enough to arrange that $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{(x-3)^2}$ . We can achieve this with $f(x)=x-3$ and $g(x)=(x-3)^3$ , and maintain $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ . Again, this is one of many possible solutions.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 2번

# 극한의 성질과 계산계산기본자동 분류