빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

무한대에서의 극한과 점근선

x→∞ 일 때의 극한, ∞/∞ 꼴 계산, 수평·수직 점근선을 찾는다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.6절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서 극한을 구하세요.

lim⁡x→∞13x+6\lim_{x\to \infty }\dfrac{1}{3x+6}

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

lim⁡x→∞13x+6\lim_{x\to \infty }\frac{1}{3x+6}

답 쓰고 채점
풀이 보기

분자는 일정한데 분모가 한없이 커지면 분수는 00 에 가까워져요.

  1. 1

    분모가 어떻게 되는지 봐요. x→∞x\to\infty 이면 3x+63x+6 도 한없이 커져요.

  2. 2

    분수의 값을 판단해요. 11 을 한없이 큰 수로 나누면 00 에 가까워지므로

    lim⁡x→∞13x+6=0\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+6}=0

답

00

자주 하는 실수

1∞\dfrac{1}{\infty} 를 정의되지 않는 꼴로 착각해요. 분자가 상수이고 분모가 한없이 커지면 00 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

00

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번
# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본
2.OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번우리말 풀이

다음 문제에서 수평점근선과 수직점근선을 구하세요.

f(x)=sin⁡(x)sin⁡(2x)f(x)=\sin (x)\sin (2x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the horizontal and vertical asymptotes.

f(x)=sin⁡(x)sin⁡(2x)f(x)=\sin (x)\sin (2x)

풀이 보기

수평점근선은 x→±∞x\to\pm\infty 에서 함수가 한 값에 다가갈 때만, 수직점근선은 어떤 점에서 함숫값이 무한대로 갈 때만 생겨요.

  1. 1

    수직점근선을 찾아요. sin⁡x\sin x 와 sin⁡2x\sin 2x 는 모든 실수에서 연속이고 값이 −1-1 과 11 사이에 있어서 곱도 어디서나 유한한 값이에요. 값이 무한대로 가는 점이 없으니 수직점근선은 없어요.

  2. 2

    수평점근선을 찾으려면 x→∞x\to\infty 에서 한 값에 다가가는지 확인해요. 사인 함수는 계속 진동하기만 하고 어느 값으로 모이지 않아요. 예를 들어 x=π4+2nπx=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi 이면 sin⁡x=22\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}, sin⁡2x=1\sin 2x=1 이라 f(x)=22f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2} 이고, x=nπx=n\pi 이면 sin⁡x=0\sin x=0 이라 f(x)=0f(x)=0 이에요.

  3. 3

    결론을 내려요. xx 가 커져도 f(x)f(x) 가 22\dfrac{\sqrt2}{2} 와 00 을 번갈아 되풀이해서 어떤 하나의 값으로 다가가지 않아요. x→−∞x\to-\infty 일 때도 마찬가지예요. 따라서 수평점근선도 없어요.

답

수평점근선: 없음, 수직점근선: 없음

자주 하는 실수

함숫값이 −1-1 과 11 사이에 갇혀 있으니 y=0y=0 이 수평점근선이라고 생각해요. 점근선이 되려면 그 값에 한없이 가까워져야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal: none, vertical: none

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번
# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인보통
3.OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번우리말 풀이

다음 문제에서는 그래픽 계산기에서 창을 x=[−5,5]x=[-5,5] 로 놓고 함수의 그래프를 그려 수평점근선이나 극한을 어림해 보세요. 그런 다음 실제 수평점근선이나 극한을 계산하세요.

[계산기 사용] f(x)=1x+10f(x)=\dfrac{1}{x+10}

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window x=[−5,5]x=[-5,5] and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.

[T] f(x)=1x+10f(x)=\frac{1}{x+10}

답 쓰고 채점
풀이 보기

x→∞x\to\infty 일 때 분모가 한없이 커지므로 f(x)→0f(x)\to0 이고, 수평점근선은 y=0y=0 이에요.

  1. 1

    창 안에서 어림해요. −5≤x≤5-5\le x\le5 에서 f(x)f(x) 는 15\dfrac{1}{5} 에서 115\dfrac{1}{15} 사이의 양수 값이에요. 00 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.

  2. 2

    실제 극한을 계산해요. x→∞x\to\infty 이면 x+10→∞x+10\to\infty 이므로 1x+10→0\dfrac{1}{x+10}\to0 이에요. x→−∞x\to-\infty 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 00 에 가까워져요.

  3. 3

    점근선을 말해요. 극한이 00 이므로 수평점근선은 y=0y=0 이에요. (참고로 x=−10x=-10 에서는 분모가 00 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)

답

lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 이므로 수평점근선은 y=0y=0

자주 하는 실수

주어진 창 안의 그래프만 보고 점근선이 없다고 하거나 x=−10x=-10 의 수직점근선을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

y=0y=0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 26번
# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본