방향도함수와 기울기벡터 연습문제

1.CLP-3 · 2.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

위치 $(x,y,z)$ 에서의 기온 $T(x,y,z)$ 는 다음과 같이 주어진다.

$T(x,y,z) = 1 + x^2 + yz.$

(a) 새 한 마리가 $(2,1,3)$ 을 지나 $(4,3,4)$ 를 향해 속력 $2$ 로 날아가고 있다. 이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율을 구하세요. (b) 만약 새가 $(2,1,3)$ 을 지날 때 고도를 일정하게( $z = 3$ ) 유지하면서 동시에 기온도 $T = 8$ 로 일정하게 유지한다면, 새가 진행할 수 있는 두 방향은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

The air temperature $T(x,y,z)$ at a location $(x,y,z)$ is given by:

$T(x,y,z) = 1 + x^2 + yz.$

(a) A bird passes through $(2,1,3)$ travelling towards $(4,3,4)$ with speed $2$ . At what rate does the air temperature it experiences change at this instant? (b) If instead the bird maintains constant altitude ( $z = 3$ ) as it passes through $(2,1,3)$ while also keeping at a fixed air temperature, $T = 8$ , what are its two possible directions of travel?

정답·풀이 보기

$(2,1,3)$ 에서의 기온의 기울기 벡터(그레이디언트)는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) = \left< 2x\,,\,z\,,\,y \right>\Big|_{(x,y,z)=(2,1,3)} = \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \end{aligned}$

이다.

(a) 새는 방향 $\left< 4-2\,,\,3-1\,,\,4-3 \right> =\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ 으로 속력 $2$ 로 날아가므로 속도는 $\mathbf{v}=2\frac{\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>}{|\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>|} =\frac{2}{3} \left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ 이다. 이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) \cdot\mathbf{v} =\frac{2}{3} \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \cdot \left< 2\,,\,2\,,\,1\right> = 10 \end{aligned}$

이다.

(b) 고도를 일정하게 유지하려면(정지해 있지 않은 상태에서) 새의 진행 방향은 어떤 상수 $a$ , $b$ (둘 다 0은 아님)에 대해 $\left< a\,,\,b\,,\,0\right>$ 꼴이어야 한다. 기온을 일정하게 유지하려면 진행 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3)= \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right>$ 에 수직이어야 한다. 따라서 $a$ , $b$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} 0 = \left< a\,,\,b\,,\,0\right> \cdot \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> = 4a+3b \iff b=-\frac{4}{3}a \end{aligned}$

그러므로 진행 방향은 $\left< 3\,,-4\,,0\right>$ 에 0이 아닌 상수를 곱한 꼴이어야 한다. 이러한 단위벡터는 $\pm \frac{1}{5}\left< 3\,,-4\,,0\right>$ 두 개이다.

원본 교재 풀이(영어)

The temperature gradient at $(2,1,3)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) = \left< 2x\,,\,z\,,\,y \right>\Big|_{(x,y,z)=(2,1,3)} = \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \end{aligned}$

(a) The bird is flying in the direction $\left< 4-2\,,\,3-1\,,\,4-3 \right> =\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ at speed $2$ and so has velocity $\mathbf{v}=2\frac{\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>}{|\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>|} =\frac{2}{3} \left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ . The rate of change of air temperature experienced by the bird at that instant is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) \cdot\mathbf{v} =\frac{2}{3} \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \cdot \left< 2\,,\,2\,,\,1\right> = 10 \end{aligned}$

(b) To maintain constant altitude (while not being stationary), the bird's direction of travel has to be of the form $\left< a\,,\,b\,,\,0\right>$ , for some constants $a$ and $b$ , not both zero. To keep the air temperature fixed, its direction of travel has to be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3)= \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right>$ . So $a$ and $b$ have to obey

$\begin{aligned} 0 = \left< a\,,\,b\,,\,0\right> \cdot \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> = 4a+3b \iff b=-\frac{4}{3}a \end{aligned}$

and the direction of travel has to be a nonzero constant times $\left< 3\,,-4\,,0\right>$ . The two such unit vectors are $\pm \frac{1}{5}\left< 3\,,-4\,,0\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 12번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

2.CLP-3 · 2.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

$xy$ –평면 위의 한 점에서의 온도 $T(x, y)$ 가 다음과 같이 주어져 있다.

$T(x, y) = ye^{x^2}$

벌레 한 마리가 곡선 $y = x^2$ 을 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 $0.01$ m/sec 의 속력으로 움직인다. 이 벌레는 $T(x, y)$ 를 계속 측정한다. 벌레가 점 $(1, 1)$ 을 지날 때 $T$ 의 변화율은 얼마인지 구하여라.

영어 원문 보기

The temperature $T(x, y)$ at a point of the $xy$ –plane is given by

$T(x, y) = ye^{x^2}$

A bug travels from left to right along the curve $y = x^2$ at a speed of $0.01$ m/sec. The bug monitors $T(x, y)$ continuously. What is the rate of change of $T$ as the bug passes through the point $(1, 1)$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(1,1)$ 에서 $y=x^2$ 의 기울기는 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2\Big|_{x=1}=2$ 이다. 따라서 벌레가 움직이는 방향의 단위벡터는 $\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}}$ 이고, 벌레의 속도 벡터는 $\mathbf{v}=0.01\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}}$ 이다.

$(1,1)$ 에서 온도의 그래디언트(기울기 벡터)는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1) = \left< 2xy e^{x^2}\,,\,e^{x^2}\right>\Big|_{(x.y)=(1,1)} =\left< 2e\,,\,e\right> \end{aligned}$

이고, 벌레가 점 $(1, 1)$ 을 지날 때 느끼는 $T$ 의 (단위 시간당) 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot \mathbf{v} =\frac{0.01}{\sqrt{5}} \left< 2e\,,\,e\right>\cdot \left< 1,2\right> =\frac{0.04 e}{\sqrt{5}} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of $y=x^2$ at $(1,1)$ is $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2\Big|_{x=1}=2$ . So a unit vector in the bug's direction of motion is $\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}}$ and the bug's velocity vector is $\mathbf{v}=0.01\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}}$ .

The temperature gradient at $(1,1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1) = \left< 2xy e^{x^2}\,,\,e^{x^2}\right>\Big|_{(x.y)=(1,1)} =\left< 2e\,,\,e\right> \end{aligned}$

and the rate of change of $T$ (per unit time) that the bug feels as it passes through the point $(1, 1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot \mathbf{v} =\frac{0.01}{\sqrt{5}} \left< 2e\,,\,e\right>\cdot \left< 1,2\right> =\frac{0.04 e}{\sqrt{5}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 3번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

3.CLP-3 · 2.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

함수 $T=F(x,y,z)=3+xy-y^2+z^2-x$ 가 공간의 점 $(x,y,z)$ 에서의 온도를 나타낸다고 하자. 이때 $F(3,2,1)=3$ 이다.

(a) $(3, 2, 1)$ 에서 점 $(0,1,2)$ 방향으로의 $T$ 의 방향미분계수를 구하세요. (b) 점 $(3, 2, 1)$ 에서 온도가 가장 빠르게 감소하는 방향은 어느 방향인지 구하세요. (c) 곡선 $x=3e^t$ , $y = 2 \cos t$ , $z= \sqrt{1 + t}$ 를 따라 움직일 때, $t = 0$ 에서 $t$ 에 대한 온도의 변화율 $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}$ 를 구하세요. (d) $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ 가 $(3, 2, 1)$ 에서 온도 등위면 $T(x, y, z) = 3$ 에 접하는 벡터라고 하자. $a$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the function $T=F(x,y,z)=3+xy-y^2+z^2-x$ describes the temperature at a point $(x,y,z)$ in space, with $F(3,2,1)=3$ .

(a) Find the directional derivative of $T$ at $(3, 2, 1)$ , in the direction of the point $(0,1,2)$ . (b) At the point $(3, 2, 1)$ , in what direction does the temperature decrease most rapidly? (c) Moving along the curve given by $x=3e^t$ , $y = 2 \cos t$ , $z= \sqrt{1 + t}$ , find $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}$ , the rate of change of temperature with respect to $t$ , at $t = 0$ . (d) Suppose $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ is a vector that is tangent to the temperature level surface $T(x, y, z) = 3$ at $(3, 2, 1)$ . What is $a$ ?

정답·풀이 보기

(a) 이 방향으로의 방향미분계수를 구한다. 방향은 다음과 같다.

$\left< 0-3\,,\,1-2\,,\,2-1\right> = \left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>$

$F$ 의 기울기벡터는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) = \left< y-1\,,\,x-2y\,,\,2z \right> \end{aligned}$

이므로 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|}}F(3,2,1) &={ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)\cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|} \\ &= \left< 2-1\,,\,3-2(2)\,,\,2(1) \right> \cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|} =\left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> \cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{\sqrt{11}}\\ &=0 \end{aligned}$

(b) 온도는 기울기벡터와 반대 방향으로 가장 빠르게 감소한다. 그 방향의 단위벡터는

$\begin{aligned} -\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)}{|{ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)|} = -\frac{\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>}{|\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>|} = \frac{1}{\sqrt{6}}\left< -1\,,\,1\,,\,-2 \right> \end{aligned}$

이다.

(c) 시각 $0$ 에서의 속도 벡터는

$\begin{aligned} \mathbf{v}=\left< x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0)\right> =\left< 3e^t\,,\,-2\sin t\,,\,\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\right>\Big|_{t=0} =\left< 3\,,\,0\,,\,\frac{1}{2}\right> \end{aligned}$

이다. 따라서 $t=0$ 에서 $t$ 에 대한 온도의 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)\cdot \mathbf{v} =\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>\cdot \left< 3\,,\,0\,,\,\frac{1}{2}\right> =4 \end{aligned}$

이다.

(d) $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ 가 $(3, 2, 1)$ 에서 등위면 $F(x, y, z) = 3$ 에 접하려면 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)$ 에 수직이어야 한다. 따라서

$\begin{aligned} 0=\left< 1\,,\,5\,,\,a \right> \cdot \left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right> = -4+2a \end{aligned}$

이므로 $a=2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are to find the directional derivative in the direction

$\left< 0-3\,,\,1-2\,,\,2-1\right> = \left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>$

As the gradient of $F$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) = \left< y-1\,,\,x-2y\,,\,2z \right> \end{aligned}$

the directional derivative is

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|}}F(3,2,1) &={ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)\cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|} \\ &= \left< 2-1\,,\,3-2(2)\,,\,2(1) \right> \cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|} =\left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> \cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{\sqrt{11}}\\ &=0 \end{aligned}$

(b) The temperature decreases most rapidly in the direction opposite the gradient. A unit vector in that direction is

$\begin{aligned} -\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)}{|{ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)|} = -\frac{\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>}{|\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>|} = \frac{1}{\sqrt{6}}\left< -1\,,\,1\,,\,-2 \right> \end{aligned}$

(c) The velocity vector at time $0$ is

$\begin{aligned} \mathbf{v}=\left< x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0)\right> =\left< 3e^t\,,\,-2\sin t\,,\,\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\right>\Big|_{t=0} =\left< 3\,,\,0\,,\,\frac{1}{2}\right> \end{aligned}$

So the rate of change of temperature with respect to $t$ at $t=0$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)\cdot \mathbf{v} =\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>\cdot \left< 3\,,\,0\,,\,\frac{1}{2}\right> =4 \end{aligned}$

(d) For $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ to be tangent to the level surface $F(x, y, z) = 3$ at $(3, 2, 1)$ , $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)$ . So

$\begin{aligned} 0=\left< 1\,,\,5\,,\,a \right> \cdot \left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right> = -4+2a \end{aligned}$

So $a=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 2번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

4.CLP-3 · 2.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

$\begin{aligned} f(x, y, z) &= (2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} \\ g(x, y, z) &= xz + y^2 + yz + z^2 \end{aligned}$

라 하자.

(a) $(0,1,-1)$ 에서 $f$ 와 $g$ 의 그래디언트를 구하세요. (b) $(0,1,-1)$ 에 있는 새가 $f(x, y, z)$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향으로 속력 $6$ 으로 날아간다. 새가 $(0,1,-1)$ 을 지날 때, 새가 보기에 $g(x, y, z)$ 는 얼마나 빠르게 변하는 것으로 보이는지 구하세요. (c) $(0,1,-1)$ 에 있는 박쥐가 $f (x, y, z)$ 와 $g(x, y, z)$ 가 변하지 않는 방향으로, 그러나 $z$ 가 증가하도록 날아간다. 이 방향의 벡터를 하나 구하세요.

영어 원문 보기

Let

$\begin{aligned} f(x, y, z) &= (2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} \\ g(x, y, z) &= xz + y^2 + yz + z^2 \end{aligned}$

(a) Find the gradients of $f$ and $g$ at $(0,1,-1)$ . (b) A bird at $(0,1,-1)$ flies at speed $6$ in the direction in which $f(x, y, z)$ increases most rapidly. As it passes through $(0,1,-1)$ , how quickly does $g(x, y, z)$ appear (to the bird) to be changing? (c) A bat at $(0,1,-1)$ flies in the direction in which $f (x, y, z)$ and $g(x, y, z)$ do not change, but $z$ increases. Find a vector in this direction.

정답·풀이 보기

(a) $f$ 와 $g$ 의 1계 편도함수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&= 2e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2x(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial x}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)&= e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2y(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial y}(0,1,-1)&=-e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)&= -2z(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial z}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)&= z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial x}(0,1,-1)&=-1 \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z)&= 2y+z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial y}(0,1,-1)&= 1 \\ \frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)&= x+y+2z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial z}(0,1,-1)&=-1 \end{aligned}$

따라서 그래디언트는 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>$

(b) 새의 속도는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1)$ 방향의 길이가 $6$ 인 벡터이므로

$\mathbf{v}= 6\frac{\left< 2,-1,2\right>}{|\left< 2,-1,2\right>|} =\left< 4,-2,4\right>$

이다. 새가 보는 $g$ 의 (단위 시간당) 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) \cdot \mathbf{v} =\left< -1,1,-1\right> \cdot \left< 4,-2,4\right> = -10 \end{aligned}$

이다.

(c) 박쥐가 날아가는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>$ 과 ${ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>$ 모두에 수직이어야 한다. 0 이 아닌 상수에

$\begin{aligned} \left< 2,-1,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

을 곱한 벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1)$ 과 ${ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1)$ 모두에 수직이다. 또한 박쥐가 날아가는 방향은 $z$ 성분이 양수이어야 한다. 따라서 (엄밀하게) 양의 상수에 $\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right>$ 을 곱한 벡터이면 어떤 것이든 좋다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The first order partial derivatives of $f$ and $g$ are

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&= 2e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2x(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial x}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)&= e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2y(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial y}(0,1,-1)&=-e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)&= -2z(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial z}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)&= z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial x}(0,1,-1)&=-1 \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z)&= 2y+z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial y}(0,1,-1)&= 1 \\ \frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)&= x+y+2z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial z}(0,1,-1)&=-1 \end{aligned}$

so that gradients are

${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>$

(b) The bird's velocity is the vector of length $6$ in the direction of ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1)$ , which is

$\mathbf{v}= 6\frac{\left< 2,-1,2\right>}{|\left< 2,-1,2\right>|} =\left< 4,-2,4\right>$

The rate of change of $g$ (per unit time) seen by the bird is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) \cdot \mathbf{v} =\left< -1,1,-1\right> \cdot \left< 4,-2,4\right> = -10 \end{aligned}$

(c) The direction of flight for the bat has to be perpendicular to both ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>$ and ${ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>$ . Any vector which is a non zero constant times

$\begin{aligned} \left< 2,-1,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

is perpendicular to both ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1)$ and ${ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1)$ . In addition, the direction of flight for the bat must have a positive $z$ –component. So any vector which is a (strictly) positive constant times $\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right>$ is fine.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 1번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

5.CLP-3 · 2.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

벌 한 마리가 곡면 $3z + x^2 + y^2 = 2$ 와 $z = x^2 - y^2$ 의 교선을 따라 $z$ 가 증가하는 방향으로 날고 있다. 시각 $t = 2$ 에서 벌은 점 $(1, 1, 0)$ 을 속력 $6$ 으로 지난다.

(a) 시각 $t = 2$ 에서 벌의 속도(벡터)를 구하세요. (b) 위치 $(x, y, z)$ , 시각 $t$ 에서의 온도 $T$ 가 $T = xy - 3x+2yt+z$ 로 주어진다. 시각 $t = 2$ 에서 벌이 느끼는 온도의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

A bee is flying along the curve of intersection of the surfaces $3z + x^2 + y^2 = 2$ and $z = x^2 - y^2$ in the direction for which $z$ is increasing. At time $t = 2$ , the bee passes through the point $(1, 1, 0)$ at speed $6$ .

(a) Find the velocity (vector) of the bee at time $t = 2$ . (b) The temperature $T$ at position $(x, y, z)$ at time $t$ is given by $T = xy - 3x+2yt+z$ . Find the rate of change of temperature experienced by the bee at time $t = 2$ .

정답·풀이 보기

(a) $\mathbf{v}$ 로 시각 $t=2$ 에서 벌의 속도 벡터를 나타내자.

벌의 운동 방향은 곡선의 접선 방향이다. 이 접선은 $(1,1,0)$ 에서 $3z + x^2 + y^2 = 2$ 의 법선벡터

$\left< 2x\,,\,2y\,,\,3\right>\Big|_{(x,y,z)=(1,1,0)} = \left< 2\,,\,2\,,\,3\right>$

와 $(1,1,0)$ 에서 $z = x^2 - y^2$ 의 법선벡터

$\left< 2x\,,\,-2y\,,\,-1\right>\Big|_{(x,y,z)=(1,1,0)} = \left< 2\,,\,-2\,,\,-1\right>$

모두에 수직이다.

따라서 $\mathbf{v}$ 는 다음 벡터의 어떤 상수배이다.

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,2\,,\,3\right> \times \left< 2\,,\,-2\,,\,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -1 \end{matrix}\right] =\left< 4 \,,\, 8 \,,\, -8 \right> \end{aligned}$

즉, $\left< 1 \,,\, 2 \,,\, -2 \right>$ 의 어떤 상수배이다.

$\mathbf{v}$ 의 $z$ 성분이 양수여야 하므로, $\mathbf{v}$ 는 $\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right>$ 의 양의 상수배이다.
속력이 $6$ 이어야 하므로 $\mathbf{v}$ 의 길이는 $6$ 이어야 한다.

$|\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right>|=3$ 이므로

$\mathbf{v} = 2\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right> =\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$

(b) 풀이 1: 시각 $t$ 에서 벌의 위치가 $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ 라 하자. 그러면 시각 $t$ 에서 벌이 느끼는 온도는

$\begin{aligned} T\big(x(t),y(t),z(t),t\big) = x(t) y(t) -3x(t) +2y(t) t +z(t) \end{aligned}$

이다. 따라서 시각 $t=2$ 에서 벌이 느끼는 (단위 시간당) 온도의 변화율은

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=x'(2)y(2) + x(2)y'(2) -3x'(2) +2y'(2)2+2y(2) +z'(2) \\ \end{aligned}$

이다. 시각 $t=2$ 에서 벌이 $(1,1,0)$ 에 있고 속도가 $\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$ 임을 이용하면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=(-2)(1) + (1)(-4) -3(-2) +2(-4)2+2(1) +4 \\ &=-10 \end{aligned}$

(b) 풀이 2: 시각 $t$ 에서 벌의 위치가 $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ 라 하자. 그러면 시각 $t$ 에서 벌이 느끼는 온도는

$\begin{aligned} T\big(x(t),y(t),z(t),t\big) \end{aligned}$

이다. 연쇄 법칙에 의해, 시각 $t=2$ 에서 벌이 느끼는 (단위 시간당) 온도의 변화율은

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=\bigg[\frac{\partial T}{\partial x}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,x'(t) +\frac{\partial T}{\partial y}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,y'(t) \\& +\frac{\partial T}{\partial z}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,z'(t) +\frac{\partial T}{\partial t}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\bigg]_{t=2} \end{aligned}$

이다. $T = xy - 3x+2yt+z$ 이므로

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=[y(2)-3]x'(2) + [x(2)+2\times 2]y'(2) +z'(2) +2y(2) \end{aligned}$

이다. 마찬가지로 시각 $t=2$ 에서 벌이 $(1,1,0)$ 에 있고 속도가 $\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$ 임을 이용하면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=[-2](-2) + [5](-4) +4 +2 \\ &=-10 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let's use $\mathbf{v}$ to denote the bee's velocity vector at time $t=2$ .

The bee's direction of motion is tangent to the curve. That tangent is perpendicular to both the normal vector to $3z + x^2 + y^2 = 2$ at $(1,1,0)$ , which is

$\left< 2x\,,\,2y\,,\,3\right>\Big|_{(x,y,z)=(1,1,0)} = \left< 2\,,\,2\,,\,3\right>$

and the normal vector to $z = x^2 - y^2$ at $(1,1,0)$ , which is

$\left< 2x\,,\,-2y\,,\,-1\right>\Big|_{(x,y,z)=(1,1,0)} = \left< 2\,,\,-2\,,\,-1\right>$

So $\mathbf{v}$ has to be some constant times

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,2\,,\,3\right> \times \left< 2\,,\,-2\,,\,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -1 \end{matrix}\right] =\left< 4 \,,\, 8 \,,\, -8 \right> \end{aligned}$

or, equivalently, some constant times $\left< 1 \,,\, 2 \,,\, -2 \right>$ .

Since the $z$ –component of $\mathbf{v}$ has to be positive, $\mathbf{v}$ has to be a positive constant times $\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right>$ .
Since the speed has to be $6$ , $\mathbf{v}$ has to have length $6$ .

As $|\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right>|=3$

$\mathbf{v} = 2\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right> =\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$

(b) Solution 1: Suppose that the bee is at $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ at time $t$ . Then the temperature that the bee feels at time $t$ is

$\begin{aligned} T\big(x(t),y(t),z(t),t\big) = x(t) y(t) -3x(t) +2y(t) t +z(t) \end{aligned}$

Then the rate of change of temperature (per unit time) felt by the bee at time $t=2$ is

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=x'(2)y(2) + x(2)y'(2) -3x'(2) +2y'(2)2+2y(2) +z'(2) \\ \end{aligned}$

Recalling that, at time $t=2$ , the bee is at $(1,1,0)$ and has velocity $\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=(-2)(1) + (1)(-4) -3(-2) +2(-4)2+2(1) +4 \\ &=-10 \end{aligned}$

(b) Solution 2: Suppose that the bee is at $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ at time $t$ . Then the temperature that the bee feels at time $t$ is

$\begin{aligned} T\big(x(t),y(t),z(t),t\big) \end{aligned}$

By the chain rule, the rate of change of temperature (per unit time) felt by the bee at time $t=2$ is

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=\bigg[\frac{\partial T}{\partial x}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,x'(t) +\frac{\partial T}{\partial y}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,y'(t) \\& +\frac{\partial T}{\partial z}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,z'(t) +\frac{\partial T}{\partial t}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\bigg]_{t=2} \end{aligned}$

Recalling that $T = xy - 3x+2yt+z$ , we have

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=[y(2)-3]x'(2) + [x(2)+2\times 2]y'(2) +z'(2) +2y(2) \end{aligned}$

Also recalling that, at time $t=2$ , the bee is at $(1,1,0)$ and has velocity $\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=[-2](-2) + [5](-4) +4 +2 \\ &=-10 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 17번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

6.CLP-3 · 2.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

점 $(x, y, z)$ 에서의 온도가 다음과 같이 주어져 있다. $T(x, y, z) = 5e^{-2x^2-y^2-3z^2}$ , 여기서 $T$ 는 섭씨 온도로, $x$ , $y$ , $z$ 는 미터 단위로 측정한다.

(a) 점 $P(1, 2, -1)$ 에서 점 $(1, 1, 0)$ 을 향하는 방향으로의 온도의 변화율을 구하세요. (b) 온도가 가장 빠르게 감소하는 방향은 어느 방향인지 구하세요. (c) $P$ 에서 온도의 최대 감소율을 구하세요.

영어 원문 보기

The temperature at a point $(x, y, z)$ is given by $T(x, y, z) = 5e^{-2x^2-y^2-3z^2}$ , where $T$ is measured in centigrade and $x$ , $y$ , $z$ in meters.

(a) Find the rate of change of temperature at the point $P(1, 2, -1)$ in the direction toward the point $(1, 1, 0)$ . (b) In which direction does the temperature decrease most rapidly? (c) Find the maximum rate of decrease at $P$ .

정답·풀이 보기

(a) $(1, 2, -1)$ 에서 방향 $\left< 1, 1, 0\right> - \left< 1, 2, -1\right> = \left< 0,-1,1 \right>$ 으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율을 구하는 것이다. 이 변화율(단위 거리당)은 방향미분계수

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) ={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z)&= -20 x\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial x}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z)&= -10 y\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial y}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z)&= -30 z\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial z}(1,2,-1)&= 30\, e^{-9} \end{aligned}$

이므로 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) =e^{-9}\left< -20,-20,30\right>\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} =\frac{50}{\sqrt{2}}e^{-9} =25\,\sqrt{2}\,e^{-9} \end{aligned}$

이다.

(b) 최대 감소율의 방향은 $-{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)$ 이다. 이 방향의 단위벡터는 $\frac{\left< 2,2,-3\right>}{\sqrt{17}}$ 이다.

(c) $P$ 에서의 최대 감소율은 $-|{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)|=-10 e^{-9} |\left< -2,-2,3\right>| = -10\sqrt{17} e^{-9}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are to find the rate of change of $T(x,y,z)$ at $(1, 2, -1)$ in the direction $\left< 1, 1, 0\right> - \left< 1, 2, -1\right> = \left< 0,-1,1 \right>$ . That rate of change (per unit distance) is the directional derivative

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) ={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

As

$\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z)&= -20 x\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial x}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z)&= -10 y\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial y}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z)&= -30 z\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial z}(1,2,-1)&= 30\, e^{-9} \end{aligned}$

the directional derivative

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) =e^{-9}\left< -20,-20,30\right>\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} =\frac{50}{\sqrt{2}}e^{-9} =25\,\sqrt{2}\,e^{-9} \end{aligned}$

(b) The direction of maximum rate of decrease is $-{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)$ . A unit vector in that direction is $\frac{\left< 2,2,-3\right>}{\sqrt{17}}$ .

(c) The maximum rate of decrease at $P$ is $-|{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)|=-10 e^{-9} |\left< -2,-2,3\right>| = -10\sqrt{17} e^{-9}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 7번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

7.CLP-3 · 2.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

점 $(x, y, z)$ 에서의 압력 $P$ 와 온도 $T$ 가 다음과 같다고 하자.

$P(x,y,z) = \frac{x^2+2y^2}{1+z^2},\qquad T(x,y,z) = 5 + xy - z^2$

(a) 시각 $t$ 에서 비행기의 위치가

$(x(t), y(t), z(t)) = (2t, t^2 - 1, \cos t)$

일 때, 비행기에서 관측한 시각 $t = 0$ 에서의 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (PT)^2$ 의 값을 구하세요. (b) 점 $(0,-1,1)$ 에 있는 새가 $P$ 와 $T$ 를 모두 일정하게 유지하려면 어느 방향으로 날아야 하는지 구하세요. (가능한 방향 벡터를 하나 쓰세요. 단위벡터일 필요는 없습니다.) (c) 개미가 곡면 $z^3 + zx + y^2 = 2$ 위를 기어가고 있다. 개미가 점 $(0,-1,1)$ 에 있을 때, 온도 $T = 5 + xy - z^2$ 이 가장 크게 증가하려면 어느 방향으로 가야 하는지 구하세요. 답은 벡터 $\left< a, b, c\right>$ 로 쓰세요. 단위벡터일 필요는 없습니다. (개미는 그래디언트 방향으로 기어갈 수 없다는 점에 주의하세요. 그 방향은 곡면에서 벗어나기 때문입니다. 방향 벡터 $\left< a, b, c\right>$ 는 곡면의 접평면 위에 있어야 합니다.)

영어 원문 보기

Let the pressure $P$ and temperature $T$ at a point $(x, y, z)$ be

$P(x,y,z) = \frac{x^2+2y^2}{1+z^2},\qquad T(x,y,z) = 5 + xy - z^2$

(a) If the position of an airplane at time $t$ is

$(x(t), y(t), z(t)) = (2t, t^2 - 1, \cos t)$

find $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (PT)^2$ at time $t = 0$ as observed from the airplane. (b) In which direction should a bird at the point $(0,-1,1)$ fly if it wants to keep both $P$ and $T$ constant. (Give one possible direction vector. It does not need to be a unit vector.) (c) An ant crawls on the surface $z^3 + zx + y^2 = 2$ . When the ant is at the point $(0,-1,1)$ , in which direction should it go for maximum increase of the temperature $T = 5 + xy - z^2$ ? Your answer should be a vector $\left< a, b, c\right>$ , not necessarily of unit length. (Note that the ant cannot crawl in the direction of the gradient because that leads off the surface. The direction vector $\left< a, b, c\right>$ has to be on the tangent plane to the surface.)

정답·풀이 보기

문제 전체를 읽어 보면 다음이 필요함을 알 수 있다.

(a)에서는 $(2t, t^2 - 1, \cos t)\Big|_{t=0} =(0,-1,1)$ 에서의 $PT$ 의 그래디언트
(b)에서는 $(0,-1,1)$ 에서의 $P$ 와 $T$ 의 그래디언트
(c)에서는 $(0,-1,1)$ 에서의 $T$ 의 그래디언트와, $(0,-1,1)$ 에서의 $S=z^3+xz+y^2$ 의 그래디언트(그 점에서 곡면의 법선 벡터를 얻기 위해)

따라서 준비 단계로 이 그래디언트들을 모두 계산하자.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) &= \frac{2x}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{4y}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\frac{(x^2+2y^2)2z}{{(1+z^2)}^2}\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) &= -2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) &= y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -2z\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } S(x,y,z) &= z\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(x+3z^2)\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) &= \hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

$PT$ 의 그래디언트를 구하기 위해 곱의 미분법을 쓰면

${ \boldsymbol{\nabla} }(PT)(x,y,z) =T(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) +P(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z)$

이므로

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1) &=T(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) +P(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=(5+0-1) \big(-2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}}\big) + \frac{0+2}{1+1}\big(-\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}}\big) \\ &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} -8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -6\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(a) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2 = 2(PT)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)$ 이고, 시각 $0$ 에서 비행기의 속도 벡터는

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left< 2t, t^2 - 1, \cos t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2, 2t, -\sin t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2,0,0\right>$

이므로

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2\Big|_{t=0} &= 2\,P(0,-1,1)\,T(0,-1,1)\ { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1)\cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= 2\ \frac{0+2}{1+1}\ (5+0-1)\left< -1,-8,-6\right> \cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= -16 \end{aligned}$

이다.

(b) 방향은 ( $P$ 를 일정하게 유지하려면) ${ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1)$ 에 수직이어야 하고, ( $T$ 를 일정하게 유지하려면) ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 에도 수직이어야 한다. 따라서 0이 아닌 상수에

$\begin{aligned} \pm { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) \times { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\pm \left< 0 \,,\, -2 \,,\, -1\right> \times \left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> =\pm \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}\right] \\ &=\pm \left< 4\,,\, 1 \,,\, -2\right> \end{aligned}$

을 곱한 것이 모두 가능한 방향이다.

(c) 방향이 곡면에 접하면서도, 즉 법선 벡터 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ 에 수직이면서도, ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, -2\right>$ 에 최대한 가까워야 한다. 이 최적의 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 에서 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 을 법선 벡터에 정사영한 벡터를 빼면 얻는다.

${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 을 법선 벡터 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)$ 에 정사영한 벡터는

$\begin{aligned} \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)\cdot { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)} {|{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)|^2}{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) \\ &=\frac{\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right>\cdot \left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>} {|\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>|^2}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &=\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \end{aligned}$

이다. 따라서 최적의 방향은

$\begin{aligned} \mathbf{d}&={ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) - \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> -\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &= \left< -\frac{1}{2}\,,\,-1 \,,\,- \frac{1}{2}\right> \end{aligned}$

이다. 그러므로 $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ 의 0이 아닌 양의 배수이면 모두 답이다. 검산으로, $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ 과 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ 의 내적이 0임, 즉 두 벡터가 수직임을 확인할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Reading through the question as a whole we see that we will need

for part (a), the gradient of $PT$ at $(2t, t^2 - 1, \cos t)\Big|_{t=0} =(0,-1,1)$
for part (b), the gradients of both $P$ and $T$ at $(0,-1,1)$ and
for part (c), the gradient of $T$ at $(0,-1,1)$ and the gradient of $S=z^3+xz+y^2$ at $(0,-1,1)$ (to get the normal vector to the surface at that point).

So, by way of preparation, let's compute all of these gradients.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) &= \frac{2x}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{4y}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\frac{(x^2+2y^2)2z}{{(1+z^2)}^2}\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) &= -2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) &= y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -2z\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } S(x,y,z) &= z\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(x+3z^2)\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) &= \hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

To get the gradient of $PT$ we use the product rule

${ \boldsymbol{\nabla} }(PT)(x,y,z) =T(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) +P(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z)$

so that

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1) &=T(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) +P(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=(5+0-1) \big(-2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}}\big) + \frac{0+2}{1+1}\big(-\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}}\big) \\ &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} -8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -6\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(a) Since $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2 = 2(PT)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)$ , and the velocity vector of the plane at time $0$ is

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left< 2t, t^2 - 1, \cos t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2, 2t, -\sin t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2,0,0\right>$

we have

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2\Big|_{t=0} &= 2\,P(0,-1,1)\,T(0,-1,1)\ { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1)\cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= 2\ \frac{0+2}{1+1}\ (5+0-1)\left< -1,-8,-6\right> \cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= -16 \end{aligned}$

(b) The direction should be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1)$ (to keep $P$ constant) and should also be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ (to keep $T$ constant). So any nonzero constant times

$\begin{aligned} \pm { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) \times { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\pm \left< 0 \,,\, -2 \,,\, -1\right> \times \left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> =\pm \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}\right] \\ &=\pm \left< 4\,,\, 1 \,,\, -2\right> \end{aligned}$

are allowed directions.

(c) We want the direction to be as close as possible to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, -2\right>$ while still being tangent to the surface, i.e. being perpendicular to the normal vector ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ . We can get that optimal direction by subtracting from ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ the projection of ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ onto the normal vector.

The projection of ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ onto the normal vector ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)$ is

$\begin{aligned} \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)\cdot { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)} {|{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)|^2}{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) \\ &=\frac{\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right>\cdot \left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>} {|\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>|^2}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &=\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \end{aligned}$

So the optimal direction is

$\begin{aligned} \mathbf{d}&={ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) - \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> -\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &= \left< -\frac{1}{2}\,,\,-1 \,,\,- \frac{1}{2}\right> \end{aligned}$

So any positive non zero multiple of $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ will do. Note, as a check, that $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ has dot product zero, i.e. is perpendicular to, ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.6절 · 4번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

8.CLP-3 · 2.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

언덕의 높이가 방정식 $f(x,y)=x^2y^2e^{-x-y}$ 으로 주어져 있다. 개미 한 마리가 점 $(1,1,e^{-2})$ 에 앉아 있다.

(a) 다음 값을 최대로 하는 단위벡터 $\mathbf{u}=\left< u_1,u_2\right>$ 를 구하세요.

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f\big((1,1)+t\mathbf{u}\big)-f(1,1)}{t}$ (b) 개미가 같은 높이 $e^{-2}$ 를 유지하기 위해 갈 수 있는 경로의 방향을 가리키는 벡터 $\mathbf{v}=\left< v_1,v_2,v_3\right>$ 를 구하세요. (c) 개미가 순간 높이 증가율을 최대로 하기 위해 가야 하는 경로의 방향을 가리키는 벡터 $\mathbf{v}=\left< v_1,v_2,v_3\right>$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The elevation of a hill is given by the equation $f(x,y)=x^2y^2e^{-x-y}$ . An ant sits at the point $(1,1,e^{-2})$ .

(a) Find the unit vector $\mathbf{u}=\left< u_1,u_2\right>$ that maximizes

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f\big((1,1)+t\mathbf{u}\big)-f(1,1)}{t}$ (b) Find a vector $\mathbf{v}=\left< v_1,v_2,v_3\right>$ pointing in the direction of the path that the ant could take in order to stay on the same elevation level $e^{-2}$ . (c) Find a vector $\mathbf{v}=\left< v_1,v_2,v_3\right>$ pointing in the direction of the path that the ant should take in order to maximize its instantaneous rate of level increase.

정답·풀이 보기

(a) 식 $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f((1,1)+t\mathbf{u})-f(1,1)}{t}$ 은 $\mathbf{u}$ 방향으로의 $(1,1)$ 에서 $f$ 의 방향미분계수이며, 이는 $D_\mathbf{u} f(1,1)={ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)\cdot\mathbf{u}$ 이다. 이 값은 $\mathbf{u}$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ 과 평행할 때 최대가 된다.

$f_x(x,y)=2xy^2e^{-x-y}-x^2y^2e^{-x-y}\qquad f_y(x,y)=2x^2ye^{-x-y}-x^2y^2e^{-x-y}$

이므로

${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)=e^{-2}\left< 1,1\right>$

이고, 따라서 구하는 단위벡터 $\mathbf{u}$ 는 $\frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1,1\right>$ 이다.

(b) 높이 $e^{-2}$ 를 유지하려면 개미는 $D_\mathbf{u} f(1,1)=0$ 이 되도록 움직여야 한다. 이는 $\mathbf{u}\perp{ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ 일 때 성립한다. 예를 들어 $\mathbf{u}=\left< 1,-1\right>$ 로 잡을 수 있다. 개미가 언덕의 표면 위에 머물면서 이 방향으로 움직이면 속도의 수직 성분은 0이다. 따라서 0이 아닌 임의의 상수 $c$ 에 대해 $\mathbf{v}=c\left< 1,-1,0\right>$ 이다.

(c) 순간 높이 증가율을 최대로 하려면 개미는 속도 벡터의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표를 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ 과 같은 방향으로 택해야 한다. 즉 $c>0$ 인 임의의 $c$ 에 대해 $\mathbf{u}=c\left< 1,1\right>$ 이다. $\mathbf{u}$ 를 단위벡터로 만들기 위해 $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 로 택한다. 속도 벡터의 $z$ 좌표의 값은 수평으로 이동한 단위 거리당 $f$ 의 변화율이며, 이는 방향미분계수

$D_\mathbf{u} f(1,1)={ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)\cdot\mathbf{u}=e^{-2}\left< 1,1\right> \cdot\left< c,c\right> =2ce^{-2}$

이다.

따라서 $\mathbf{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1,1,2e^{-2}\right>$ 이다. 이 벡터의 양의 배수는 모두 정답이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The expression $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f((1,1)+t\mathbf{u})-f(1,1)}{t}$ is the directional derivative of $f$ at $(1,1)$ in the direction $\mathbf{u}$ , which is $D_\mathbf{u} f(1,1)={ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)\cdot\mathbf{u}$ . This is mazimized when $\mathbf{u}$ is parallel to ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ . Since

$f_x(x,y)=2xy^2e^{-x-y}-x^2y^2e^{-x-y}\qquad f_y(x,y)=2x^2ye^{-x-y}-x^2y^2e^{-x-y}$

we have

${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)=e^{-2}\left< 1,1\right>$

so that the desired unit vector $\mathbf{u}$ is $\frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1,1\right>$ .

(b) In order to remain at elevation $e^{-2}$ , the ant must move so that $D_\mathbf{u} f(1,1)=0$ . This is the case if $\mathbf{u}\perp{ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ . For example, we can take $\mathbf{u}=\left< 1,-1\right>$ . When the ant moves in this direction, while remaining on the surface of the hill, its vertical component of velocity is zero. So $\mathbf{v}=c\left< 1,-1,0\right>$ for any nonzero constant $c$ .

(c) In order to maximize its instantaneous rate of level increase, the ant must choose the $x$ and $y$ coordinates of its velocity vector in the same direction as ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ . Namely $\mathbf{u}=c\left< 1,1\right>$ for any $c>0$ . To make $\mathbf{u}$ a unit vector, we choose $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . The corresponding value of the $z$ coordinate of its velocity vector is the rate of change of $f$ per unit horizontal distance travelled, which is the directional derivative

$D_\mathbf{u} f(1,1)={ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)\cdot\mathbf{u}=e^{-2}\left< 1,1\right> \cdot\left< c,c\right> =2ce^{-2}$

So $\mathbf{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1,1,2e^{-2}\right>$ . Any positive multiple of this vector is also a correct answer.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.6절 · 1번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

9.CLP-3 · 2.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

공간의 어떤 영역의 온도가 $T(x,y,z)=3x^2+\tfrac{1}{2} y^2+2z^2$ 도로 주어졌다고 하자.

(a) 참새 한 마리가 곡선 $\mathbf{r}(s)=\big(\frac{1}{3}s^3,2s,s^2\big)$ 을 따라 일정한 속력 $3{\rm ms}^{-1}$ 로 날고 있다. $s=1$ 일 때 참새의 속도를 구하세요. (b) $s=1$ 인 점 $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ 에서 참새가 느끼는 온도의 변화율을 구하세요. (c) 점 $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ 에서 온도가 최대 변화율로 감소하는 방향을 구하세요. (d) 독수리 한 마리가 점 $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ 에서 참새의 경로와 교차하며, 참새의 경로와 수직인 방향으로 움직이고, 동시에 온도가 일정하게 유지되는 방향으로 움직이고 있다. 독수리가 점 $A$ 를 지나갈 때 날아갈 수 있는 방향을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Let the temperature in a region of space be given by $T(x,y,z)=3x^2+\tfrac{1}{2} y^2+2z^2$ degrees.

(a) A sparrow is flying along the curve $\mathbf{r}(s)=\big(\frac{1}{3}s^3,2s,s^2\big)$ at a constant speed of $3{\rm ms}^{-1}$ . What is the velocity of the sparrow when $s=1$ ? (b) At what rate does the sparrow feel the temperature is changing at the point $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ for which $s=1$ . (c) At the point $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ in what direction will the temperature be decreasing at maximum rate? (d) An eagle crosses the path of the sparrow at $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ , is moving at right angles to the path of the sparrow, and is also moving in a direction in which the temperature remains constant. In what directions could the eagle be flying as it passes through the point $A$ ?

정답·풀이 보기

(a) $s=1$ 에서 운동 방향은 접선벡터

$\mathbf{r}'(s)=\left< s^2,2,2s\right>\big|_{s=1}=\left< 1,2,2\right>$

로 주어진다. 속도벡터의 크기가 $3$ 이어야 하므로

$\text{속도}=\mathbf{v}=3\frac{\left< 1,2,2\right>}{|\left< 1,2,2\right>|}=\left< 1,2,2\right>$

이다.

(b) $s=1$ 에서 참새가 느끼는 단위 거리당 온도 변화율은 ${ \boldsymbol{\nabla} } T\big(\frac{1}{3},2,1\big)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ 이다. 따라서 $s=1$ 에서 참새가 느끼는 단위 시간당 온도 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\ |\mathbf{v}| &={ \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\mathbf{v} =\mathbf{v}\cdot\left< 6x,y,4z\right>\Big|_{({1\over3},2,1\big)} \\ &=\left< 1,2,2\right>\cdot\left< 2,2,4\right>=14^\circ/{\rm s} \end{aligned}$

이다.

(c) 온도는 온도의 기울기벡터와 반대 방향, 즉 (임의의 양의 상수배의) $-\left< 2,2,4\right>$ 방향으로 최대 변화율로 감소한다.

(d) 독수리는 참새의 운동 방향인 $\left< 1,2,2\right>$ 와 수직인 방향으로 움직인다. 또한 독수리는 온도가 일정하게 유지되는 방향으로 움직이므로, 온도의 기울기벡터 $\left< 2,2,4\right>$ 와도 수직인 방향으로 움직여야 한다. 따라서 독수리의 방향은 (양의 상수배의) 다음 중 하나이다.

$\begin{aligned} \pm\left< 1,2,2\right> \times\left< 2,2,4\right> =\pm\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix}\right] =\pm\left< 4,0,-2\right> \end{aligned}$

이는 임의의 양의 상수배의 $\pm\left< 2,0,-1\right>$ 와 같다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The direction of motion at $s=1$ is given by the tangent vector

$\mathbf{r}'(s)=\left< s^2,2,2s\right>\big|_{s=1}=\left< 1,2,2\right>$

Since the length of the velocity vector must be $3$ ,

$\text{velocity}=\mathbf{v}=3\frac{\left< 1,2,2\right>}{|\left< 1,2,2\right>|}=\left< 1,2,2\right>$

(b) The rate of change of temperature per unit distance felt by the sparrow at $s=1$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } T\big(\frac{1}{3},2,1\big)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ . The rate of change of temperature per unit time felt by the sparrow at $s=1$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\ |\mathbf{v}| &={ \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\mathbf{v} =\mathbf{v}\cdot\left< 6x,y,4z\right>\Big|_{({1\over3},2,1\big)} \\ &=\left< 1,2,2\right>\cdot\left< 2,2,4\right>=14^\circ/{\rm s} \end{aligned}$

(c) The temperature decreases at maximum rate in the direction opposite the temperature gradient, which is (any positive constant times) $-\left< 2,2,4\right>$ .

(d) The eagle is moving at right angles to the direction of motion of the sparrow, which is $\left< 1,2,2\right>$ . As the eagle is also moving in a direction for which the temperature remains constant, it must be moving perpendicularly to the temperature gradient, $\left< 2,2,4\right>$ . So the direction of the eagle must be (a posiitve constant times) one of

$\begin{aligned} \pm\left< 1,2,2\right> \times\left< 2,2,4\right> =\pm\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix}\right] =\pm\left< 4,0,-2\right> \end{aligned}$

or equivalently, any positive constant times $\pm\left< 2,0,-1\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.6절 · 3번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

10.CLP-3 · 2.7절 · 25번대학 수준우리말 번역

불꽃이 원점에 있고, 그 근처의 점 $(x,y,z)$ 에서의 온도 $T$ 가 다음과 같이 주어진다고 가정하세요.

$T(x,y,z)=\frac{200}{1+x^2+y^2+z^2}$

여기서 좌표의 단위는 미터이고 온도의 단위는 섭씨 도입니다. 어느 순간 나방이 점 $(3,4,0)$ 에 있고, 온도가 최대로 증가하는 방향으로 $1 {\rm m/s}$ 의 일정한 속력으로 날고 있다고 하세요.

(a) 이 순간 나방의 속도 벡터 $\mathbf{v}$ 를 구하세요. (b) 이 순간 나방이 느끼는 온도의 변화율은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Assume that the temperature $T$ at a point $(x,y,z)$ near a flame at the origin is given by

$T(x,y,z)=\frac{200}{1+x^2+y^2+z^2}$

where the coordinates are given in meters and the temperature is in degrees Celsius. Suppose that at some moment in time, a moth is at the point $(3,4,0)$ and is flying at a constant speed of $1 {\rm m/s}$ in the direction of maximum increase of temperature.

(a) Find the velocity vector $\mathbf{v}$ of the moth at this moment. (b) What rate of change of temperature does the moth feel at that moment?

정답·풀이 보기

(a) 나방은 $(3,4,0)$ 에서 온도의 기울기 벡터 방향으로 움직이고 있으며, 그 기울기 벡터는 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0) =-200\frac{2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}}{{(1+x^2+y^2+z^2)}^2}\bigg|_{(3,4,0)} =-400\frac{3\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{26^2}$

나방의 속력이 $1 {\rm m/s}$ 이므로 나방의 속도 벡터는 방향이 $-\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>$ 와 같고 길이가 1인 벡터이다. 따라서 $\mathbf{v}=-\frac{\left< 3,4,0\right>}{|\left< 3,4,0\right>|} =-\left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right>$ 이다.

(b) 그 순간 나방이 느끼는 (단위 시간당) 온도의 변화율은 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0)\cdot\mathbf{v} =\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>\cdot \left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right> =\frac{400\times25}{26^2\times 5} =\frac{500}{169}\approx 2.96^\circ/{\rm s}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The moth is moving the direction of the temperature gradient at $(3,4,0)$ , which is

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0) =-200\frac{2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}}{{(1+x^2+y^2+z^2)}^2}\bigg|_{(3,4,0)} =-400\frac{3\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{26^2}$

Since the speed of the moth is $1 {\rm m/s}$ its velocity vector is a vector of length one in direction $-\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>$ and hence is $\mathbf{v}=-\frac{\left< 3,4,0\right>}{|\left< 3,4,0\right>|} =-\left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right>$ .

(b) The rate of change of temperature (per unit time) the moth feels at that time is

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0)\cdot\mathbf{v} =\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>\cdot \left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right> =\frac{400\times25}{26^2\times 5} =\frac{500}{169}\approx 2.96^\circ/{\rm s}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 24번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류