방향도함수와 기울기벡터 연습문제

1.OpenStax 3권 · 4.6절 · 47번대학 수준우리말 번역

금속 구 안의 온도 $T$ 는 구의 중심(원점: $(0,0,0))$ . 으로부터의 거리에 반비례한다. 점 $(1,2,2)$ 에서의 온도는 $120^\circ \text{C}$ 이다.

a. 점 $(1,2,2)$ 에서 점 $(2,1,3)$ 을 향하는 방향으로의 온도의 변화율을 구하세요. b. 구 안의 임의의 점에서 온도가 가장 크게 증가하는 방향은 원점을 향하는 벡터로 주어짐을 보이세요.

영어 원문 보기

The temperature $T$ in a metal sphere is inversely proportional to the distance from the center of the sphere (the origin: $(0,0,0)).$ The temperature at point $(1,2,2)$ is $120^\circ \text{C}.$

a. Find the rate of change of the temperature at point $(1,2,2)$ in the direction toward point $(2,1,3).$ b. Show that, at any point in the sphere, the direction of greatest increase in temperature is given by a vector that points toward the origin.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 15번

# 방향도함수와 기울기벡터증명·논술자동 분류

2.OpenStax 3권 · 4.6절 · 49번대학 수준우리말 번역

xy-평면 위의 점 $(x,y)$ 에서의 전위가 $V(x,y)={e}^{-2x}\cos (2y)$ 이면, $(x,y)$ 에서의 전기장 세기 벡터는 $E=-\nabla V(x,y)$ 이다.

a. $\left(\frac{\pi }{4},0\right)$ 에서의 전기장 세기 벡터를 구하세요. b. 평면 위의 각 점에서 전위는 벡터 $E$ 의 방향으로 가장 빠르게 감소함을 보이세요.

영어 원문 보기

If the electric potential at a point $(x,y)$ in the xy-plane is $V(x,y)={e}^{-2x}\cos (2y),$ then the electric intensity vector at $(x,y)$ is $E=-\nabla V(x,y).$

a. Find the electric intensity vector at $\left(\frac{\pi }{4},0\right).$ b. Show that, at each point in the plane, the electric potential decreases most rapidly in the direction of the vector $E.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 11번

# 방향도함수와 기울기벡터증명·논술자동 분류

3.CLP-3 · 2.7절 · 26번대학 수준우리말 번역

상수 $k$ 가 있어서 $u=k/v$ 일 때, $u$ 는 $v$ 에 반비례한다고 합니다. 금속 공 안의 온도 $T$ 가 공의 중심으로부터의 거리에 반비례한다고 합시다. 여기서 공의 중심은 원점으로 잡습니다. 점 $(1,2,2)$ 에서의 온도는 $120^\circ$ 입니다.

(a) 비례상수를 구하세요. (b) $(1,2,2)$ 에서 점 $(2,1,3)$ 을 향하는 방향으로의 $T$ 의 변화율을 구하세요. (c) 공 안의 대부분의 점에서 온도가 가장 크게 증가하는 방향은 원점을 향하는 방향임을 보이세요.

영어 원문 보기

We say that $u$ is inversely proportional to $v$ if there is a constant $k$ so that $u=k/v$ . Suppose that the temperature $T$ in a metal ball is inversely proportional to the distance from the centre of the ball, which we take to be the origin. The temperature at the point $(1,2,2)$ is $120^\circ$ .

(a) Find the constant of proportionality. (b) Find the rate of change of $T$ at $(1,2,2)$ in the direction towards the point $(2,1,3)$ . (c) Show that at most points in the ball, the direction of greatest increase is towards the origin.

정답·풀이 보기

(a) 어떤 상수 $k$ 에 대하여 $T(x,y,z)=\frac{k}{|\left< x,y,z\right>|} =\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 이고,

$120=T(1,2,2)=\frac{k}{|\left< 1,2,2\right>|} \implies k=120\times\sqrt{1+2^2+2^2} = 360$

이다.

(b) $(1,2,2)$ 에서 $(2,1,3)$ 으로 향하는 (단위)방향은 $\mathbf{d}=\frac{\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>}{|\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>|} =\frac{\left< 1,-1,1\right>}{|\left< 1,-1,1\right>|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,-1,1\right>$ 이다. 따라서 구하는 온도의 변화율은

$\begin{aligned} D_{\mathbf{d}} T(1,2,2) &={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,2)\cdot\mathbf{d} =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}\Big|_{\left< 1,2,2\right>}\cdot\mathbf{d} \\ &=-360\frac{\left< 1,2,2\right>}{27}\cdot\frac{\left< 1,-1,1\right>}{\sqrt{3}} =-\frac{40}{3\sqrt{3}}\approx-7.70 \end{aligned}$

이고, 단위 거리당 도이다.

(c) $(x,y,z)$ 에서 온도가 가장 크게 증가하는 방향은 $(x,y,z)$ 에서의 온도 기울기(그레이디언트)의 방향이며, 이는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}$ 이고, 반지름 벡터와 반대 방향을 가리킨다. 즉, 원점을 향한다. 이 논증은 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 에서만 성립하지 않는데, 그 점에서는 기울기뿐 아니라 $T(x,y,z)$ 도 정의되지 않기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that $T(x,y,z)=\frac{k}{|\left< x,y,z\right>|} =\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ for some constant $k$ and that

$120=T(1,2,2)=\frac{k}{|\left< 1,2,2\right>|} \implies k=120\times\sqrt{1+2^2+2^2} = 360$

(b) The (unit) direction from $(1,2,2)$ to $(2,1,3)$ is $\mathbf{d}=\frac{\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>}{|\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>|} =\frac{\left< 1,-1,1\right>}{|\left< 1,-1,1\right>|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,-1,1\right>$ . The desired rate of change of temperature is

$\begin{aligned} D_{\mathbf{d}} T(1,2,2) &={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,2)\cdot\mathbf{d} =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}\Big|_{\left< 1,2,2\right>}\cdot\mathbf{d} \\ &=-360\frac{\left< 1,2,2\right>}{27}\cdot\frac{\left< 1,-1,1\right>}{\sqrt{3}} =-\frac{40}{3\sqrt{3}}\approx-7.70 \end{aligned}$

degrees per unit distance.

(c) At $(x,y,z)$ , the direction of greatest increase is in the direction of the temperature gradient at $(x,y,z)$ , which is ${ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}$ and which points opposite to the radius vector. That is, it points towards the origin. This argument only fails at $(x,y,z)=(0,0,0)$ , where the gradient, and indeed $T(x,y,z)$ , is not defined.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 29번

# 방향도함수와 기울기벡터증명·논술보통자동 분류