극값과 안장점 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 3권 · 4.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극값과 안장점을 구하세요. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=y{e}^{x}-{e}^{y}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the extreme values and the saddle points. Use a CAS to graph the function.

[T] $f(x,y)=y{e}^{x}-{e}^{y}$

정답·풀이 보기

안장점은 $(0,0)$ 에 있다.

(1, 1, 1) 근처에서 시작하여 x축과 y축을 따라 크게 감소하는 복잡한 그래프이다. 특히 y축 방향으로는 너무 크게 감소하여 그래프가 잘려 있다. 그래프의 나머지 부분은 0 근처에 머문다.

원본 교재 풀이(영어)

A saddle point is located at $(0,0).$

A complicated graph that starts near (1, 1, 1), and decreases significantly along the x and y axes, so much so along the y axis that it is cut off. The rest of the graph stays near 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 34번

# 극값과 안장점그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 4.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극값과 안장점을 구하세요. 컴퓨터 대수 체계를 이용하여 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=x\,\sin (y)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the extreme values and the saddle points. Use a CAS to graph the function.

[T] $f(x,y)=x\,\sin (y)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 32번

# 극값과 안장점그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 3권 · 4.7절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극값과 안장점을 구하세요. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=\sin (x)\sin (y),x\in (0,2\pi ),y\in (0,2\pi )$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the extreme values and the saddle points. Use a CAS to graph the function.

[T] $f(x,y)=\sin (x)\sin (y),x\in (0,2\pi ),y\in (0,2\pi )$

정답·풀이 보기

$(\pi ,\pi )$ 에 안장점이 있고, $\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\,\text{및}\,\left(\frac{3\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ 에서 극댓값을 가지며, $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)\,\text{및}\,\left(\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 에서 극솟값을 가진다.

진폭이 1이며, 언덕과 구덩이가 공간 전체에 걸쳐 번갈아 이어지는 모양.

원본 교재 풀이(영어)

There is a saddle point at $(\pi ,\pi ),$ local maxima at $\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\,\text{and}\,\left(\frac{3\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right),$ and local minima at $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)\,\text{and}\,\left(\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right).$

A series of hills and holes alternating through a space with amplitude 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 36번

# 극값과 안장점그래프·표 해석자동 분류

4.CLP-3 · 2.9절 · 1번대학 수준우리말 번역

(a) 함수 $f(x,y)$ 의 등위곡선 몇 개가 아래 $xy$ –평면에 그려져 있다.

아래 네 가지 진술 각각에 대해, 그 상황이 적용되는 점을 그림에서 모두 찾아 그 글자에 동그라미를 치세요. 예를 들어 진술이 "이 점들은 $y$ –축 위에 있다"라면 $P$ 와 $U$ 에 동그라미를 치고 나머지 글자에는 치지 않는다. 점 $T$ 에서 극댓값이 생긴다고 가정해도 됩니다.

$\begin{aligned} \text{(i) }& { \boldsymbol{\nabla} } f\text{ 가 영벡터이다} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(ii) }& \text{ $f$ 가 안장점을 갖는다} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iii) }& \text{ 편도함수 $f_y$ 가 양수이다} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iv) }& \text{ $f$ 의 방향 $\left< 0,-1\right>$ 으로의 방향도함수가} & &\text{P Q R S T U} \\[-0.07in] & \text{ 음수이다} & & \end{aligned}$ (b) 아래 그림은 $xz$ –축 위에 그린 그래프 $z=F(x,y)$ 의 세 개의 " $y$ 단면"을 보여 준다. (곧, 곡면 $z=F(x,y)$ 와 세 평면 ( $y=1.9$ , $y=2$ , $y=2.1$ )의 교선이다.) 각 진술에 대해 알맞은 말에 동그라미를 치세요.

$\begin{aligned} \text{(i) }& \text{ 1계 편도함수 $F_x(1,2)$ 는} & &\text{양수/음수/0 (하나에 동그라미)} \\ \text{(ii) }& \text{ $F$ 는 $(2,2)$ 에서 임계점을 갖는다 } & &\text{참/거짓 (하나에 동그라미)} \\ \text{(iii) }& \text{ 2계 편도함수 $F_{xy}(1,2)$ 는} & &\text{양수/음수/0 (하나에 동그라미)} \end{aligned}$

영어 원문 보기

(a) Some level curves of a function $f(x,y)$ are plotted in the $xy$ –plane below.

For each of the four statements below, circle the letters of all points in the diagram where the situation applies. For example, if the statement were “These points are on the $y$ –axis”, you would circle both $P$ and $U$ , but none of the other letters. You may assume that a local maximum occurs at point $T$ .

$\begin{aligned} \text{(i) }& { \boldsymbol{\nabla} } f\text{ is zero} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(ii) }& \text{ $f$ has a saddle point} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iii) }& \text{ the partial derivative $f_y$ is positive} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iv) }& \text{ the directional derivative of $f$ in the direction $\left< 0,-1\right>$ is} & &\text{P Q R S T U} \\[-0.07in] & \text{ negative} & & \end{aligned}$ (b) The diagram below shows three “ $y$ traces” of a graph $z=F(x,y)$ plotted on $xz$ –axes. (Namely the intersections of the surface $z=F(x,y)$ with the three planes ( $y=1.9$ , $y=2$ , $y=2.1$ ). For each statement below, circle the correct word.

$\begin{aligned} \text{(i) }& \text{ the first order partial derivative $F_x(1,2)$ is} & &\text{positive/negative/zero (circle one)} \\ \text{(ii) }& \text{ $F$ has a critical point at $(2,2)$ } & &\text{true/false (circle one)} \\ \text{(iii) }& \text{ the second order partial derivative $F_{xy}(1,2)$ is} & &\text{positive/negative/zero (circle one)} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

a) (ⅰ) 임계점에서 ${ \boldsymbol{\nabla} } f$ 는 영벡터이다. 점 $T$ 는 극댓값을 갖는 점이고 점 $U$ 는 안장점이다. 나머지 점 $P$ , $R$ , $S$ 는 임계점이 아니다.

(a) (ⅱ) 안장점은 $U$ 뿐이다.

(a) (ⅲ) $(x,y)$ 에서 수직 위쪽으로 움직일 때 $f$ 가 증가하면 $f_y(x,y)>0$ 이다. 그림을 보면 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_y(P) <0\qquad f_y(Q) <0\qquad f_y(R) =0\qquad f_y(S) >0\qquad f_y(T) =0\qquad f_y(U) =0 \end{aligned}$

따라서 조건에 맞는 점은 $S$ 뿐이다.

(a) (ⅳ) $f$ 의 방향 $\left< 0,-1\right>$ 으로의 방향도함수는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f\cdot \left< 0,-1\right> =-f_y$ 이다. 이 값이 음수일 필요충분조건은 $f_y>0$ 이다. 따라서 이번에도 조건에 맞는 점은 $S$ 뿐이다.

(b) (ⅰ) 그림에서 $y=2.0$ 의 그래프는 $x=1$ 에서 기울기가 양수이므로, 함수 $z=F(x,2)$ 는 $x=1$ 에서 증가한다. 따라서 $F_x(1,2)>0$ 이다.

(b) (ⅱ) 그림에서 $y=2.0$ 의 그래프는 $x=2$ 에서 기울기가 양수이므로, 함수 $z=F(x,2)$ 는 $x=2$ 에서도 (천천히이지만) 증가한다. 따라서 $F_x(2,2)>0$ 이다. 그러므로 $F$ 는 $(2,2)$ 에서 임계점을 갖지 않는다.

(b) (ⅲ) 그림으로 보아 $F_x(1,1.9) > F_x(1,2.0) > F_x(1,2.1)$ 인 것으로 보인다. 곧, $x=1$ 에서 $y=1.9$ 그래프의 기울기가 $x=1$ 에서 $y=2.0$ 그래프의 기울기보다 크고, 이 기울기는 다시 $x=1$ 에서 $y=2.1$ 그래프의 기울기보다 큰 것으로 보인다. 따라서 $y$ 가 $y=2$ 를 지나며 증가할 때 $F_x(1,y)$ 는 감소하는 것으로 보이고, 그러므로 $F_{xy}(1,2)<0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a) (i) ${ \boldsymbol{\nabla} } f$ is zero at critical points. The point $T$ is a local maximum and the point $U$ is a saddle point. The remaining points $P$ , $R$ , $S$ , are not critical points.

(a) (ii) Only $U$ is a saddle point.

(a) (iii) We have $f_y(x,y)>0$ if $f$ increases as you move vertically upward through $(x,y)$ . Looking at the diagram, we see

$\begin{aligned} f_y(P) <0\qquad f_y(Q) <0\qquad f_y(R) =0\qquad f_y(S) >0\qquad f_y(T) =0\qquad f_y(U) =0 \end{aligned}$

So only $S$ works.

(a) (iv) The directional derivative of $f$ in the direction $\left< 0,-1\right>$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f\cdot \left< 0,-1\right> =-f_y$ . It is negative if and only if $f_y>0$ . So, again, only $S$ works.

(b) (i) The function $z=F(x,2)$ is increasing at $x=1$ , because the $y=2.0$ graph in the diagram has positive slope at $x=1$ . So $F_x(1,2)>0$ .

(b) (ii) The function $z=F(x,2)$ is also increasing (though slowly) at $x=2$ , because the $y=2.0$ graph in the diagram has positive slope at $x=2$ . So $F_x(2,2)>0$ . So $F$ does not have a critical point at $(2,2)$ .

(b) (iii) From the diagram the looks like $F_x(1,1.9) > F_x(1,2.0) > F_x(1,2.1)$ . That is, it looks like the slope of the $y=1.9$ graph at $x=1$ is larger than the slope of the $y=2.0$ graph at $x=1$ , which in turn is larger than the slope of the $y=2.1$ graph at $x=1$ . So it looks like $F_x(1,y)$ decreases as $y$ increases through $y=2$ , and consequently $F_{xy}(1,2)<0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 3번

# 극값과 안장점그래프·표 해석기본자동 분류

5.CLP-3 · 2.9절 · 14번대학 수준우리말 번역

아래 그림들은 목록에 있는 함수들의 등위집합 $f (x, y) = c$ 를 높이 $c = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2$ 에서 나타낸 것입니다. 각 그림에 해당하는 함수를 짝지어 쓰고, 각 그림에 임계점을 표시하세요. (경우에 따라 임계점이 그림에 이미 그려져 있지 않을 수도 있습니다. 그런 경우에는 직접 그림에 추가하세요.)

(ⅰ) $f(x, y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - y) + 1$ (ⅱ) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ (ⅲ) $f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1$ (ⅳ) $f(x, y) = x^2 + y^2$

영어 원문 보기

The images below depict level sets $f (x, y) = c$ of the functions in the list at heights $c = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2$ . Label the pictures with the corresponding function and mark the critical points in each picture. (Note that in some cases, the critical points might not be drawn on the images already. In those cases you should add them to the picture.)

(i) $f(x, y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - y) + 1$ (ii) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ (iii) $f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1$ (iv) $f(x, y) = x^2 + y^2$

정답·풀이 보기

두 함수 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ (즉 (ⅱ))와 $f(x, y) = x^2 + y^2$ (즉 (ⅳ))은 모두 $(0,0)$ 을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않는다. 따라서 이 함수들의 등위선은 원점을 중심으로 하는 원이다. 극좌표에서 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 은 $r$ 이다. 그러므로 (ⅱ)의 함수에 대해 그려진 등위선은 $r = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2$ 이다. 이들은 간격이 일정하다. 따라서 이 시점에서 세 번째 그림은 (ⅳ)에, 네 번째 그림은 (ⅱ)에 해당함을 알 수 있다.

직선 $x=y$ , $x=-y$ , $y=0$ 은 모두 함수 $f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1$ (즉 (ⅲ))의 $f=1$ 인 등위선임에 주목하자. 따라서 첫 번째 그림은 (ⅲ)에 해당한다. 그러면 두 번째 그림은 (ⅰ)에 해당한다.

다음은 임계점을 표시한 그림들이다. 등위선이 서로 교차하는 곳에는 안장점이 있고, “과녁 모양”의 중심에는 극대점 또는 극소점이 있다.

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

(ⅳ)

원본 교재 풀이(영어)

Both of the functions $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ (i.e. (ii)) and $f(x, y) = x^2 + y^2$ (i.e. (iv)) are invariant under rotations around the $(0,0)$ . So their level curves are circles centred on the origin. In polar coordinates $\sqrt{x^2 + y^2}$ is $r$ . So the sketched level curves of the function in (ii) are $r = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2$ . They are equally spaced. So at this point, we know that the third picture goes with (iv) and the fourth picture goes with (ii).

Notice that the lines $x=y$ , $x=-y$ and $y=0$ are all level curves of the function $f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1$ (i.e. of (iii)) with $f=1$ . So the first picture goes with (iii). And the second picture goes with (i).

Here are the pictures with critical points marked on them. There are saddle points where level curves cross and there are local max's or min's at “bull's eyes”.

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 25번

# 극값과 안장점그래프·표 해석보통자동 분류