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급수 심화 전체 문제

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x)=7x^2-3x+4$ 라 하자. $x$ 의 측정값이 $x_0 = 2$ 이지만 $x$ 의 실제 값은 $x_0+\Delta x$ 라 하자. 또한 측정 오차가 $\Delta x = 1$ 이라 하자. $x_0$ 에서 $x$ 가 $\Delta x$ 만큼 변할 때 $f(x)$ 의 변화량을 $\Delta y$ 라 하자. 즉, $\Delta y = f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)$ 이다.

다음이 참인지 거짓인지 판단하세요: $\Delta y = f'(2)(1)=25$

영어 원문 보기

Let $f(x)=7x^2-3x+4$ . Suppose we measure $x$ to be $x_0 = 2$ but that the real value of $x$ is $x_0+\Delta x$ . Suppose further that the error in our measurement is $\Delta x = 1$ . Let $\Delta y$ be the change in $f(x)$ corresponding to a change of $\Delta x$ in $x_0$ . That is, $\Delta y = f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)$ .

True or false: $\Delta y = f'(2)(1)=25$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓이다. 선형 근사는 근삿값일 뿐이다. 선형 근사로부터 $\Delta y \approx f'(x_0)\Delta x=f'(2)(1)=25$ 를 얻는다. 그러나 $\Delta y$ 의 정의에 따르면 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(2+1)-f(2)=58-26=32$ 이다.

참고: 이 절의 계산은 실제 오차의 한계가 아니라 오차 한계의 추정임을 강조하기 위한 것이다. 우리가 말할 수 있는 것은 오차가 어떤 수보다 크지 않을 것이라고 추정한다는 것뿐이며, 그것을 보장하지는 않는다.

다음 절에서는 정확함이 보장되는 오차 한계를 소개할 것이다. 이는 대개 이 절의 추정보다 계산하기가 더 어렵다.

원본 교재 풀이(영어)

False. The linear approximation is an approximation. It tells us $\Delta y \approx f'(x_0)\Delta x=f'(2)(1)=25$ However, from our definition of $\Delta y$ , $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(2+1)-f(2)=58-26=32$

Remark: this is to emphasize that the calculations in this subsection are estimations of error bounds, rather than actual error bounds. All we can say is that we estimate the error will be no more than some number–we don't guarantee it.

In the next subsection, we will introduce an error bound that is guaranteed to be accurate. It is usually harder to calculate than the estimations in this section.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차개념 확인기본자동 분류

2.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 가 함수이고 이를 $F(x)$ 로 근사했다고 하자. 또한 $f(10)=-3$ 이고 근삿값은 $F(10)=5$ 라고 하자. $R(x)=f(x)-F(x)$ 라 하자.

(a) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 7$ (b) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 8$ (c) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 9$ (d) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 100$

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function that we approximated by $F(x)$ . Further, suppose $f(10)=-3$ , while our approximation was $F(10)=5$ . Let $R(x)=f(x)-F(x)$ .

(a) True or false: $|R(10)| \leq 7$ (b) True or false: $|R(10)| \leq 8$ (c) True or false: $|R(10)| \leq 9$ (d) True or false: $|R(10)| \leq 100$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

주어진 정보에서 $|R(10)|=|f(10)-F(10)|=|-3-5|=|-8|=8$ 이므로 (a)는 거짓이고(8은 7보다 작거나 같지 않으므로), (b), (c), (d)는 참이다.

참고: $R(x)$ 는 근사에서 생기는 오차이다. 본문에서 언급했듯이 $R$ 을 정확히 아는 경우는 거의 없지만, 그 한계(상한)는 제시할 수 있다. 가장 정밀한 한계가 필요한 것은 아니며, 계산하기 쉬운 적당한 한계면 충분하다. 실제 함수와 근사를 다룬다면 $|R(10)|=8$ 임은 모를 수도 있지만, 그것이 많아야 9라는 것을 안다면 꽤 괜찮은 근사이다.

이 절에서는 계산하기 쉬운 한계를 얻기 위해 단순화하는 가정을 자주 하게 된다. 하지만 지나치게 하지는 말아야 한다. 절대오차가 많아야 100이라는 말은 참이지만, 이 진술은 한계로서는 별로 도움이 되지 않을 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

From the given information, $|R(10)|=|f(10)-F(10)|=|-3-5|=|-8|=8$ So, (a) is false (since 8 is not less than or equal to 7), while (b), (c), and (d) are true.

Remark: $R(x)$ is the error in our approximation. As mentioned in the text, we almost never know $R$ exactly, but we can give a bound. We don't need the tightest bound–just a reasonable one that is easy to calculate. If we were dealing with real functions and approximations, we might not know that $|R(10)|=8$ , but if we knew it was at most 9, that would be a pretty decent approximation.

Often in this section, we will make simplifying assumptions to get a bound that is easy to calculate. But, don't go overboard! It is a true statement to say that our absolute error is at most 100, but this statement would probably not be very helpful as a bound.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차개념 확인기본자동 분류

3.CLP-2 · 3.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 수렴한다. (b) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 수렴한다. (c) $0\le a_n \le b_n$ 이고 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ 이 발산하면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 도 발산한다.

영어 원문 보기

Decide whether each of the following statements is true or false. If false, provide a counterexample. If true provide a brief justification.

(a) If $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ converges. (b) If $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ converges. (c) If $0\le a_n \le b_n$ and $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ diverges, then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ diverges.

정답·풀이 보기

(a) 일반적으로 거짓이다. 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 은 $p=1$ 인 $p$ -급수 판정법에 의해 발산한다.

(b) 주의해야 한다. $a_n$ 이 양수라는 조건은 주어지지 않았다. 따라서 이 명제는 일반적으로 거짓이다. $a_n =(-1)^n\frac{1}{n}$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 다시 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 이 되고, 이 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In general false. The harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ diverges by the $p$ –test with $p=1$ .

(b) Be careful. You were not told that the $a_n$ 's are positive. So this is false in general. If $a_n =(-1)^n\frac{1}{n}$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ is again the harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ , which diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 16번

# 비교 판정법개념 확인기본자동 분류