급수 심화 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 5.5절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 각 명제가 참인지 거짓인지 답하세요. 명제가 거짓이면, 거짓이 되는 예를 하나 제시하세요.

${b}_{n}\ge 0$ 이 감소하고 $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=0$ 이면, $\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{2n-1}-{b}_{2n})$ 은 절대수렴한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, indicate whether each of the following statements is true or false. If the statement is false, provide an example in which it is false.

If ${b}_{n}\ge 0$ is decreasing and $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=0,$ then $\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{2n-1}-{b}_{2n})$ converges absolutely.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 28번

# 교대급수개념 확인자동 분류

2.OpenStax 2권 · 5.5절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 각 명제가 참인지 거짓인지 답하세요. 명제가 거짓이면, 거짓이 되는 예를 하나 제시하세요.

${b}_{n}\ge 0$ 이 감소하면, $\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{2n-1}-{b}_{2n})$ 은 절대수렴한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, indicate whether each of the following statements is true or false. If the statement is false, provide an example in which it is false.

If ${b}_{n}\ge 0$ is decreasing, then $\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{2n-1}-{b}_{2n})$ converges absolutely.

정답·풀이 보기

참이다. ${b}_{n}$ 이 0으로 수렴할 필요는 없다. ${c}_{n}={b}_{n}-\lim \,{b}_{n}$ 이라 하면 ${c}_{2n-1}-{c}_{2n}={b}_{2n-1}-{b}_{2n}$ 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

True. ${b}_{n}$ need not tend to zero since if ${c}_{n}={b}_{n}-\lim \,{b}_{n},$ then ${c}_{2n-1}-{c}_{2n}={b}_{2n-1}-{b}_{2n}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.5절 · 1번

# 교대급수개념 확인자동 분류

3.OpenStax 2권 · 5.5절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 각 명제가 참인지 거짓인지 답하세요. 명제가 거짓이면, 거짓이 되는 예를 하나 제시하세요.

${b}_{n}\ge 0$ 이고 $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=0$ 이면, $\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2}({b}_{3n-2}+{b}_{3n-1})-{b}_{3n})$ 은 수렴한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, indicate whether each of the following statements is true or false. If the statement is false, provide an example in which it is false.

If ${b}_{n}\ge 0$ and $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=0$ then $\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2}({b}_{3n-2}+{b}_{3n-1})-{b}_{3n})$ converges.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 54번

# 교대급수개념 확인자동 분류

4.OpenStax 2권 · 5.5절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 명제가 참인지 거짓인지 말하세요. 명제가 거짓이면, 거짓이 되는 예를 제시하세요.

${b}_{n}\ge 0$ 이 감소하고 $\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{3n-2}+{b}_{3n-1}-{b}_{3n})$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{3n-2}$ 도 수렴한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, indicate whether each of the following statements is true or false. If the statement is false, provide an example in which it is false.

If ${b}_{n}\ge 0$ is decreasing and $\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{3n-2}+{b}_{3n-1}-{b}_{3n})$ converges then $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{3n-2}$ converges.

정답·풀이 보기

참이다. ${b}_{3n-1}-{b}_{3n}\ge 0$ 이므로 $\sum {b}_{3n-2}$ 의 수렴은 비교판정법으로부터 나온다.

원본 교재 풀이(영어)

True. ${b}_{3n-1}-{b}_{3n}\ge 0,$ so convergence of $\sum {b}_{3n-2}$ follows from the comparison test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 26번

# 교대급수개념 확인자동 분류

5.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

장 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

$\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=0$ 이면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 은 수렴한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If $\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=0,$ then $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

false

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 3번

# 비교 판정법개념 확인자동 분류

6.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 2번대학 수준우리말 번역

장 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

$\lim_{n\to \infty }{a}_{n}\ne 0$ 이면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 은 발산한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If $\lim_{n\to \infty }{a}_{n}\ne 0,$ then $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ diverges.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 30번

# 비교 판정법개념 확인자동 분류

7.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 3번대학 수준우리말 번역

장 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 도 수렴한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If $\sum_{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|$ converges, then $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

true

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 5번

# 비교 판정법개념 확인자동 분류

8.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 4번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{n}{a}_{n}$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-2)}^{n}{a}_{n}$ 도 수렴한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If $\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{n}{a}_{n}$ converges, then $\sum_{n=1}^{\infty }{(-2)}^{n}{a}_{n}$ converges.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 28번

# 비교 판정법개념 확인자동 분류

9.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 3번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 다음 문제에서 증명 또는 반례로 답의 근거를 대세요.

작은 값에 대하여 $x,\sin x\approx x.$

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? In the following exercises, justify your answer with a proof or a counterexample.

For small values of $x,\sin x\approx x.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

True

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 1번

# 테일러·매클로린 급수개념 확인자동 분류

10.APEX · 8.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

수열 $\{a_n\}$ 에 적분판정법을 적용하려면 함수 $a(n) = a_n$ 이 _____, _____, _____ 이어야 합니다.

영어 원문 보기

In order to apply the Integral Test to a sequence $\{a_n\}$ , the function $a(n) = a_n$ must be _____, _____ and _____.

정답·풀이 보기

연속, 양수, 감소

원본 교재 풀이(영어)

continuous, positive and decreasing

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 18번

# 발산 판정법과 적분 판정법개념 확인자동 분류

11.APEX · 8.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 적분판정법은 수렴하는 급수의 합을 구하는 데 사용할 수 있다.

영어 원문 보기

T/F: The Integral Test can be used to determine the sum of a convergent series.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 1번

# 발산 판정법과 적분 판정법개념 확인자동 분류

12.APEX · 8.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

이 절에서 배운 판정법 중 팩토리얼이 포함된 경우에 잘 맞지 않는 것은 무엇입니까?

영어 원문 보기

What test(s) in this section do not work well with factorials?

정답·풀이 보기

적분판정법( $n!$ 의 연속적인 정의가 아직 없다)과 극한비교판정법(위와 같은 이유로 도함수를 구할 수 없다)이다.

원본 교재 풀이(영어)

The Integral Test (we do not have a continuous definition of $n!$ yet) and the Limit Comparison Test (same as above, hence we cannot take its derivative).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 2번

# 발산 판정법과 적분 판정법개념 확인자동 분류

13.APEX · 8.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ 이 수렴하고, 모든 $n$ 에 대해 $0\leq b_n \leq a_n \leq c_n$ 을 만족하는 수열 $\{b_n\}$ 과 $\{c_n\}$ 이 있다고 하자. 급수 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n$ 과 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n$ 에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

영어 원문 보기

Suppose $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ is convergent, and there are sequences $\{b_n\}$ and $\{c_n\}$ such that $0\leq b_n \leq a_n \leq c_n$ for all $n$ . What can be said about the series $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n$ and $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n$ ?

정답·풀이 보기

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n$ 은 수렴한다; $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n$ 에 대해서는 아무것도 결론지을 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n$ converges; we cannot conclude anything about $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 3번

# 발산 판정법과 적분 판정법개념 확인자동 분류

14.APEX · 8.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

수열의 항이 _____ 함수만 포함할 때에는 비판정법이 효과적이지 않다.

영어 원문 보기

The Ratio Test is not effective when the terms of a sequence only contain _____ functions.

정답·풀이 보기

대수함수, 즉 다항식.

원본 교재 풀이(영어)

algebraic, or polynomial.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 2번

# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류

15.APEX · 8.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

비판정법은 수열의 항에 _____ 함수 그리고/또는 _____ 함수가 포함되어 있을 때 가장 효과적이다.

영어 원문 보기

The Ratio Test is most effective when the terms of a sequence contains _____ and/or _____ functions.

정답·풀이 보기

팩토리얼 그리고/또는 지수

원본 교재 풀이(영어)

factorial and/or exponential

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 51번

# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류

16.APEX · 8.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

팩토리얼을 포함한 항에는 잘 적용되지 않는 수렴 판정법 세 가지는 무엇입니까?

영어 원문 보기

What three convergence tests do not work well with terms containing factorials?

정답·풀이 보기

적분판정법, 극한비교판정법, 근판정법

원본 교재 풀이(영어)

Integral Test, Limit Comparison Test, and Root Test

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 53번

# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류

17.APEX · 8.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

근판정법은 각 항이 어떤 _____ 으로 _____ 된 급수에 특히 잘 적용된다.

영어 원문 보기

The Root Test works particularly well on series where each term is _____ to a _____.

정답·풀이 보기

거듭제곱된

원본 교재 풀이(영어)

raised to a power

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 55번

# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류

18.APEX · 8.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin n$ 이 교대급수가 아닌 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why is $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin n$ not an alternating series?

정답·풀이 보기

항의 부호가 번갈아 나타나지 않는다. 주어진 급수에서 일부 항은 음수이고 나머지는 양수이지만, 반드시 번갈아 나타나는 것은 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

The signs of the terms do not alternate; in the given series, some terms are negative and the others positive, but they do not necessarily alternate.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.5절 · 3번

# 교대급수개념 확인자동 분류

19.APEX · 8.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n$ 은 $\{a_n\}$ 이 , _____ 이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n =$ 일 때 수렴한다.

영어 원문 보기

A series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n$ converges when $\{a_n\}$ is , _____ and $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n =$ .

정답·풀이 보기

양수, 감소, 0

원본 교재 풀이(영어)

postive, decreasing, 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 18번

# 교대급수개념 확인자동 분류

20.APEX · 8.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴하지만 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n|$ 은 수렴하지 않는 급수의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a series where $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ converges but $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n|$ does not.

정답·풀이 보기

예는 많이 있으며, 흔한 예로 $a_n = (-1)^n/n$ 이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Many examples exist; one common example is $a_n = (-1)^n/n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 58번

# 교대급수개념 확인자동 분류

급수 심화 전체 문제