빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

테일러 급수의 활용

테일러 급수로 극한·적분·근삿값을 계산하고 미분방정식을 푼다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 6.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} 의 그래프는 반지름이 11 인 위쪽 반원임을 떠올리세요. 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} 의 88 차까지의 이항 근사를 x=−1x=-1 에서 x=1x=1 까지 적분하여 π2\frac{\pi }{2} 를 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Recall that the graph of 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} is an upper semicircle of radius 1.1. Integrate the binomial approximation of 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} up to order 88 from x=−1x=-1 to x=1x=1 to estimate π2.\frac{\pi }{2}.

정답·풀이 보기

1−x2=1−x22−x48−x616−5x8128+⋯\sqrt{1-{x}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{x}^{4}}{8}-\frac{{x}^{6}}{16}-\frac{5{x}^{8}}{128}+\cdots . 따라서

∫−111−x2dx=x−x36−x540−x77⋅16−5x99⋅128+⋯∣−11≈2−13−120−156−109⋅128+오차=1.590{\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx=x-\frac{{x}^{3}}{6}-\frac{{x}^{5}}{40}-\frac{{x}^{7}}{7\cdot 16}-\frac{5{x}^{9}}{9\cdot 128}+\cdots {|}_{-1}^{1}\approx 2-\frac{1}{3}-\frac{1}{20}-\frac{1}{56}-\frac{10}{9\cdot 128}+\text{오차}=1.590 이고, 한편 π2=1.570\frac{\pi }{2}=1.570 이다.

원본 교재 풀이(영어)

1−x2=1−x22−x48−x616−5x8128+⋯ .\sqrt{1-{x}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{x}^{4}}{8}-\frac{{x}^{6}}{16}-\frac{5{x}^{8}}{128}+\cdots . Thus

∫−111−x2dx=x−x36−x540−x77⋅16−5x99⋅128+⋯∣−11≈2−13−120−156−109⋅128+error=1.590...{\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx=x-\frac{{x}^{3}}{6}-\frac{{x}^{5}}{40}-\frac{{x}^{7}}{7\cdot 16}-\frac{5{x}^{9}}{9\cdot 128}+\cdots {|}_{-1}^{1}\approx 2-\frac{1}{3}-\frac{1}{20}-\frac{1}{56}-\frac{10}{9\cdot 128}+\text{error}=1.590... whereas π2=1.570...\frac{\pi }{2}=1.570...

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2.OpenStax 2권 · 6.4절 · 75번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 이항식 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} 에 대한 뉴턴의 근사를 이용하여 다음과 같이 π\pi 를 어림하세요. 중심이 (12,0)\left(\frac{1}{2},0\right) 이고 반지름이 12\frac{1}{2} 인 원의 위쪽 반원은 y=x1−xy=\sqrt{x}\sqrt{1-x} 이다. 이 원에서 xx 축, x=0x=0 에서 x=12x=\frac{1}{2} 사이의 구간, 그리고 점 (14,34)\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}\right) 을 지나는 직선으로 둘러싸인 부채꼴은 원의 16\frac{1}{6} 에 해당하며 넓이는 π24\frac{\pi }{24} 이다. 이 부채꼴은 높이가 34\frac{\sqrt{3}}{4} 이고 밑변이 14\frac{1}{4} 인 직각삼각형과, x=0x=0 에서 x=14x=\frac{1}{4} 사이에서 그래프 아래에 놓인 영역을 합친 것이다. 이 영역의 넓이를 구하려면 y=x1−x=x × (이항 전개 1−x)y=\sqrt{x}\sqrt{1-x}=\sqrt{x}\,\times \,\left(\text{이항 전개 }\sqrt{1-x}\right) 로 쓰고 항별로 적분하면 된다. 이 방법을 앞선 문제의 이항식 근사와 함께 사용하여 π\pi 를 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Use Newton’s approximation of the binomial 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} to approximate π\pi as follows. The circle centered at (12,0)\left(\frac{1}{2},0\right) with radius 12\frac{1}{2} has upper semicircle y=x1−x.y=\sqrt{x}\sqrt{1-x}. The sector of this circle bounded by the xx-axis between x=0x=0 and x=12x=\frac{1}{2} and by the line joining (14,34)\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}\right) corresponds to 16\frac{1}{6} of the circle and has area π24.\frac{\pi }{24}. This sector is the union of a right triangle with height 34\frac{\sqrt{3}}{4} and base 14\frac{1}{4} and the region below the graph between x=0x=0 and x=14.x=\frac{1}{4}. To find the area of this region you can write y=x1−x=x × (binomial expansion of1−x)y=\sqrt{x}\sqrt{1-x}=\sqrt{x}\,\times \,\left(\text{binomial expansion of}\sqrt{1-x}\right) and integrate term by term. Use this approach with the binomial approximation from the previous exercise to estimate π.\pi .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 18번
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