빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

벡터장과 흐름선

벡터장을 그리고 기울기 벡터장, 흐름선(유선)을 알아본다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-4 · 2.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

벡터장 v(x,y)=x ı^+y ȷ^\mathbf{v}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

가 움직이는 유체의 속도장이라고 하자.

(a) 시각 00 에 점 (1,1)(1,1) 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 t=0.01t=0.01 에서 나뭇가지의 대략적인 위치는 어디인지 구하세요. (b) 시각 00 에 점 (0,0)(0,0) 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 t=0.01t=0.01 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요. (c) 시각 00 에 점 (0,0)(0,0) 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 t=10t=10 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

Imagine that the vector field v(x,y)=x ı^+y ȷ^\mathbf{v}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

is the velocity field of a moving fluid.

(a) At time 00 you drop a twig into the fluid at the point (1,1)(1,1). What is the approximate position of the twig at time t=0.01t=0.01? (b) At time 00 you drop a twig into the fluid at the point (0,0)(0,0). What is the position of the twig at time t=0.01t=0.01? (c) At time 00 you drop a twig into the fluid at the point (0,0)(0,0). What is the position of the twig at time t=10t=10?

답 쓰고 채점
(a)
(b)
(c)
정답·풀이 보기

(a) 시각 00 에서 나뭇가지의 속도는 v(1,1)=ı^+ȷ^\mathbf{v}(1,1) =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이다. 따라서 시각 t=0.01t=0.01 에서 나뭇가지의 위치는 대략

(1,1)+0.01(1,1)=(1.01 , 1.01)(1,1) + 0.01(1,1) = (1.01\,,\,1.01)

이다.

(b) 시각 00 에서 나뭇가지의 속도는 v(0,0)=0\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0} 이다. 따라서 시각 t=0.01t=0.01 에서 나뭇가지의 위치는

(0,0)+0.01(0,0)=(0 , 0)(0,0) + 0.01(0,0) = (0\,,\,0)

이다.

(c) 시각 00 에서 나뭇가지의 속도는 v(0,0)=0\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0} 이다. 따라서 나뭇가지는 정지해 있고 속도는 모든 시각에서 0으로 유지된다. 시각 1010 에서, 그리고 사실 모든 시각에서 나뭇가지의 위치는 (0 , 0)(0\,,\,0) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) At time 00 the velocity of the twig is v(1,1)=ı^+ȷ^\mathbf{v}(1,1) =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}. So at time t=0.01t=0.01, the position of the twig is approximately

(1,1)+0.01(1,1)=(1.01 , 1.01)(1,1) + 0.01(1,1) = (1.01\,,\,1.01)

(b) At time 00 the velocity of the twig is v(0,0)=0\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}. So at time t=0.01t=0.01, the position of the twig is

(0,0)+0.01(0,0)=(0 , 0)(0,0) + 0.01(0,0) = (0\,,\,0)

(c) At time 00 the velocity of the twig is v(0,0)=0\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}. So it is stationary and its velocity remains zero for all time. The position of the twig at time 1010, and in fact at all times, is (0 , 0)(0\,,\,0).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 11번
# 벡터장과 흐름선활용기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.CLP-4 · 2.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

벡터장 v(x,y)=2x ı^−ȷ^\mathbf{v}(x,y) = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}

가 움직이는 유체의 속도장이라고 하자. 시각 00 에 점 (0,0)(0,0) 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 t=10t=10 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

Imagine that the vector field v(x,y)=2x ı^−ȷ^\mathbf{v}(x,y) = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}

is the velocity field of a moving fluid. At time 00 you drop a twig into the fluid at the point (0,0)(0,0). What is the position of the twig at time t=10t=10?

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

yy축 위의 모든 점에서 유체의 속도는 −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이다. 따라서 나뭇가지는 yy축 위에 머물며 결과적으로 모든 시각에서 속도 −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} 를 갖는다. 시각 1010 에서 나뭇가지의 위치는

(0,0)+10(0,−1)=(0 , −10)(0,0)+10(0,-1) = (0\,,\,-10)

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity of the fluid at all points of the yy-axis is −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}}. So the twig will remain on the yy-axis and will consequently have velocity −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} for all time. The position of the twig at time 1010 will be

(0,0)+10(0,−1)=(0 , −10)(0,0)+10(0,-1) = (0\,,\,-10)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 14번
# 벡터장과 흐름선활용기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.CLP-4 · 2.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

친절한(?) 벌들이 사방에서 여러분의 얼굴을 향해 날아옵니다. 각 벌의 속력은 여러분의 얼굴까지의 거리에 반비례합니다. 벌 떼의 속도에 대한 벡터장을 구하세요.

영어 원문 보기

Friendly (?) bees fly towards your face from all directions. The speed of each bee is inversely proportional to its distance from your face. Find a vector field for the velocity of the swarm.

정답·풀이 보기

얼굴이 좌표계의 원점 (0,0,0)(0,0,0) 에 있도록 잡는다. 위치 (x,y,z)(x,y,z) 에 있는 벌은 얼굴에서 x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2} 만큼 떨어져 있으며, (−x,−y,−z)(-x,-y,-z) 방향으로 향한다. 따라서 벌 한 마리의 진행 방향을 나타내는 단위벡터는 −1x2+y2+z2(x,y,z)\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z) 이다. 이제 속도 벡터의 크기, 즉 벌의 속력만 구하면 된다.

친절한 벌의 속력은 얼굴까지의 거리인 x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2} 에 반비례한다. (여러분에게 더 가까이 있는 벌일수록 더 흥분해서 윙윙거리며 날아온다.) 따라서 속력은 어떤 상수 α\alpha 에 대해 αx2+y2+z2\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 이다.

벌의 속도는 단위벡터 −1x2+y2+z2(x,y,z)\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z) 의 방향을 가지고, 어떤 양의 상수 α\alpha 에 대해 크기가 αx2+y2+z2\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 이다. 즉, v(x,y,z)=−αx2+y2+z2(x,y,z)\mathbf{v}(x,y,z)=-\frac{\alpha}{{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)

원본 교재 풀이(영어)

Set your face to be at the origin of our coordinate system, (0,0,0)(0,0,0). A bee at position (x,y,z)(x,y,z) is a distance of x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2} from your face, heading in the direction (−x,−y,−z)(-x,-y,-z). So, the unit vector indicating the direction of travel of one bee is −1x2+y2+z2(x,y,z)\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z). Now all we need to find is the length of the velocity vector, i.e. the speed of the bee.

The speed of the friendly bee is inversely proportional to x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2}, its distance from your face. (Bees that are closer to you are buzzing towards you more excitedly.) So, the speed is given by αx2+y2+z2\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} for some constant α\alpha.

The bee velocity has the direction of the unit vector −1x2+y2+z2(x,y,z)\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z) with length αx2+y2+z2\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} for some positive constant α\alpha. That is, v(x,y,z)=−αx2+y2+z2(x,y,z)\mathbf{v}(x,y,z)=-\frac{\alpha}{{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 4번
# 벡터장과 흐름선활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)