문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

선형근사와 미분소

접선으로 함숫값을 근사하고, dy로 변화량과 오차를 어림한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 가 함수이고, $x=5$ 근처에서의 선형 근사를 계산하여 $f(x) \approx 3x-9$ 를 얻었다고 하자.

(a) $f(5)$ 는 얼마입니까? (b) $f'(5)$ 는 얼마입니까? (c) $f(0)$ 은 얼마입니까?

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function, and we calculated its linear approximation near $x=5$ to be $f(x) \approx 3x-9$ .

(a) What is $f(5)$ ? (b) What is $f'(5)$ ? (c) What is $f(0)$ ?

정답·풀이 보기

선형 근사는 $L(x)=3x-9$ 이다. $x=5$ 에서 근사하므로 $f(5)=L(5)$ 이고 $f'(5)=L'(5)$ 이다. 그러나 $x \neq 5$ 일 때 $f(x)$ 와 $L(x)$ 의 값이 같다는 보장은 없다. 따라서

(a) $f(5)=L(5)=6$

(b) $f'(5)=L'(5)=3$

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation is $L(x)=3x-9$ . Since we're approximating at $x=5$ , $f(5)=L(5)$ , and $f'(5)=L'(5)$ . However, there is no guarantee that $f(x)$ and $L(x)$ have the same value when $x \neq 5$ . So:

(a) $f(5)=L(5)=6$

(b) $f'(5)=L'(5)=3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 8번

# 선형근사와 미분소계산기본자동 분류

2.CLP-1 · 3.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x)=2x+5$ 의 $x=a$ 에서의 선형 근사를 구하세요.

영어 원문 보기

What is the linear approximation of the function $f(x)=2x+5$ about $x=a$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

임의의 상수 $a$ 에 대해 $f(a)=(2a+5)$ 이고 $f'(a)=2$ 이므로, 근사하면 $f(x) \approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5$

$f(x)$ 자체가 일차함수이므로 선형 근사는 사실 $f(x)$ 그 자체이다. 따라서 선형 근사는 모든 $x$ 의 값에 대해 완벽하게 정확하다.

원본 교재 풀이(영어)

For any constant $a$ , $f(a)=(2a+5)$ , and $f'(a)=2$ , so our approximation gives us $f(x) \approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5$

Since $f(x)$ itself is a linear function, the linear approximation is actually just $f(x)$ itself. As a consequence, the linear approximation is perfectly accurate for all values of $x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 2번

# 선형근사와 미분소계산기본자동 분류