문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

선형근사와 미분소

접선으로 함숫값을 근사하고, dy로 변화량과 오차를 어림한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

6문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래 그래프에는 세 곡선이 있습니다. 검은 곡선은 $y=f(x)$ , 빨간 곡선은 $y=g(x)=1+2\sin(1+x)$ , 파란 곡선은 $y=h(x)=0.7$ 입니다. $f(0)$ 을 어림하려 할 때, 어떤 경우에 $g(0)$ 을 쓰게 될까요? 또 어떤 경우에 $h(0)$ 을 쓰게 될까요?

영어 원문 보기

The graph below shows three curves. The black curve is $y=f(x)$ , the red curve is $y=g(x)=1+2\sin(1+x)$ , and the blue curve is $y=h(x)=0.7$ . If you want to estimate $f(0)$ , what might cause you to use $g(0)$ ? What might cause you to use $h(0)$ ?

정답·풀이 보기

$f(0)$ 은 $h(0)$ 보다 $g(0)$ 에 더 가까우므로, $\sin(1)$ 의 값을 효율적으로 알아낼 수단이 있고 정확도가 중요하다면 $f(0) \approx g(0)=1+2\sin (1)$ 로 어림하는 것이 좋을 것이다. 계산기가 있다면 이 어림을 쓸 수 있다. 또한 이 단원의 뒷부분에서 계산기 없이 $\sin (1)$ 을 근사하는 방법을 배우지만, 그 방법에는 시간이 필요하다.

계산기가 없거나 시간이 많지 않다면 $f(0)\approx h(0)=0.7$ 을 쓰는 것이 가장 적절할 것이다. 이는 $f(0) \approx g(0)$ 만큼 정확하지는 않지만, $\sin(1)$ 의 값을 알아내려고 고민하지 않고도 매우 빠르게 어림값을 얻을 수 있다.

참고: 실생활에서 어떤 값을 어림할 때는 분명한 '정답' 방법이 없는 경우가 많다. 보통 정확도와 편리함 사이에서 균형을 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(0)$ is closer to $g(0)$ than it is to $h(0)$ , you would probably want to estimate $f(0) \approx g(0)=1+2\sin (1)$ if you had the means to efficiently figure out what $\sin(1)$ is, and if you were concerned with accuracy. If you had a calculator, you could use this estimation. Also, later in this chapter we will learn methods of approximating $\sin (1)$ that do not require a calculator, but they do require time.

Without a calculator, or without a lot of time, using $f(0)\approx h(0)=0.7$ probably makes the most sense. It isn't as accurate as $f(0) \approx g(0)$ , but you get an estimate very quickly, without worrying about figuring out what $\sin(1)$ is.

Remark: when you're approximating something in real life, there probably won't be an obvious “correct" way to do it. There's usually a trade-off between accuracy and ease.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 18번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석기본자동 분류

2.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 가 함수이고, $x=5$ 근처에서의 선형 근사를 계산하여 $f(x) \approx 3x-9$ 를 얻었다고 하자.

(a) $f(5)$ 는 얼마입니까? (b) $f'(5)$ 는 얼마입니까? (c) $f(0)$ 은 얼마입니까?

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function, and we calculated its linear approximation near $x=5$ to be $f(x) \approx 3x-9$ .

(a) What is $f(5)$ ? (b) What is $f'(5)$ ? (c) What is $f(0)$ ?

정답·풀이 보기

선형 근사는 $L(x)=3x-9$ 이다. $x=5$ 에서 근사하므로 $f(5)=L(5)$ 이고 $f'(5)=L'(5)$ 이다. 그러나 $x \neq 5$ 일 때 $f(x)$ 와 $L(x)$ 의 값이 같다는 보장은 없다. 따라서

(a) $f(5)=L(5)=6$

(b) $f'(5)=L'(5)=3$

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation is $L(x)=3x-9$ . Since we're approximating at $x=5$ , $f(5)=L(5)$ , and $f'(5)=L'(5)$ . However, there is no guarantee that $f(x)$ and $L(x)$ have the same value when $x \neq 5$ . So:

(a) $f(5)=L(5)=6$

(b) $f'(5)=L'(5)=3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 8번

# 선형근사와 미분소계산기본자동 분류

3.CLP-1 · 3.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=f(x)$ 가 아래에 나타나 있습니다. $x=2$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

The curve $y=f(x)$ is shown below. Sketch the linear approximation of $f(x)$ about $x=2$ .

정답·풀이 보기

선형 근사는 점 $(2,f(2))$ 를 지나고 기울기가 $f'(2)$ 인 직선이다. 즉, $x=2$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사는 $x=2$ 에서 $f(x)$ 의 접선이다. 이를 아래에 빨간색으로 나타내었다.

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation is a line, passing through $(2,f(2))$ , with slope $f'(2)$ . That is, the linear approximation to $f(x)$ about $x=2$ is the tangent line to $f(x)$ at $x=2$ . It is shown below in red.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석기본자동 분류

4.CLP-1 · 3.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x)=2x+5$ 의 $x=a$ 에서의 선형 근사를 구하세요.

영어 원문 보기

What is the linear approximation of the function $f(x)=2x+5$ about $x=a$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

임의의 상수 $a$ 에 대해 $f(a)=(2a+5)$ 이고 $f'(a)=2$ 이므로, 근사하면 $f(x) \approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5$

$f(x)$ 자체가 일차함수이므로 선형 근사는 사실 $f(x)$ 그 자체이다. 따라서 선형 근사는 모든 $x$ 의 값에 대해 완벽하게 정확하다.

원본 교재 풀이(영어)

For any constant $a$ , $f(a)=(2a+5)$ , and $f'(a)=2$ , so our approximation gives us $f(x) \approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5$

Since $f(x)$ itself is a linear function, the linear approximation is actually just $f(x)$ itself. As a consequence, the linear approximation is perfectly accurate for all values of $x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 2번

# 선형근사와 미분소계산기본자동 분류

5.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래 그림에서 다음을 표시하세요. $f(x) \qquad f\left(x+\Delta x\right) \qquad \Delta x \qquad \Delta y$

영어 원문 보기

In the picture below, label the following: $f(x) \qquad f\left(x+\Delta x\right) \qquad \Delta x \qquad \Delta y$

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 6번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석기본자동 분류

6.CLP-1 · 3.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

이 책의 이 부분까지는 숙제 문제 하나를 푸는 데 모두 약 5분이 걸립니다. 이 절에서 배운 용어를 사용하여 다음 질문에 답하세요. 15분을 더 쓰면 숙제 문제를 몇 개 더 끝낼 수 있습니까?

영어 원문 보기

At this point in the book, every homework problem takes you about 5 minutes. Use the terms you learned in this section to answer the question: if you spend 15 minutes more, how many more homework problems will you finish?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 를 $x$ 분 동안 공부했을 때 끝낸 문제의 수라 하자. 문제에서 $5\Delta y \approx \Delta x$ 임을 알 수 있다. 따라서 $\Delta x = 15$ 이면 $\Delta y \approx 3$ 이다. 즉, 15분을 더 쓰면 약 3문제를 더 끝낼 것이다.

참고: 이 문제에 쓰인 수학은 일부러 쉽게 만든 것이다. $\Delta y$ 나 $f\left(x+\Delta x\right)$ 같은 기호는 헷갈릴 수 있지만, 기본 개념은 꽤 간단하다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $f(x)$ be the number of problems finished after $x$ minutes of work. The question tells us that $5\Delta y \approx \Delta x$ . So, if $\Delta x = 15$ , $\Delta y \approx 3$ . That is, in 15 minutes more, you will finish about 3 more problems.

Remark: the math behind this problem is intended to be easy! Looking at symbols like $\Delta y$ and $f\left(x+\Delta x\right)$ can be confusing, but the basic idea is pretty simple.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소활용기본자동 분류