문제 은행 · 기초 수학 · 대수 · 수열

수열의 귀납적 정의

점화식으로 수열을 정의하고 일반항을 구한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

86문제 · 5 / 5쪽

81.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 16b번영어 원문

For the sequence $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ , assume that $a_1 = 1$ , and that for each natural number $n$ ,

$a_{n + 1} = a_n + n \cdot n!$

.

Compute $a_n$ for the first 10 natural numbers.

정답·풀이 보기 (영어 원문)

$\begin{aligned}a_2 & = 5 & a_5 & = 719 & a_8 & = 362879 \\ a_3 & = 23 & a_6 & = 5039 & a_9 & = 3628799 \\ a_4 & = 119 & a_7 & = 40319 & a_{10} & = 39916799\end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 13a번

# 수열의 귀납적 정의계산자동 분류

82.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 16c번영어 원문

For the sequence $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ , assume that $a_1 = 1$ , and that for each natural number $n$ ,

$a_{n + 1} = a_n + n \cdot n!$

.

Make a conjecture about a formula for $a_n$ in terms of $n$ that does not involve a summation or a recursion.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 12b번

# 수열의 귀납적 정의계산자동 분류

83.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 17번영어 원문

For the sequence $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ , assume that $a_1 = 1$ , $a_2 = 1$ , and for each $n \in \mathbb{N}$ , $a_{n+2} = a_{n+1} + 3a_n$ . Determine which terms in this sequence are divisible by 4 and prove that your answer is correct.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13장 복습 · 9번

# 수열의 귀납적 정의증명·논술자동 분류

84.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 18a번영어 원문

The Lucas numbers

are a sequence of natural numbers $L_1, L_2, L_3, \ldots, L_n, \ldots$ , which are defined recursively as follows:

$L_1 = 1$ and $L_2 = 3$ , and - For each natural number $n$ , $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ .

List the first 10 Lucas numbers and the first ten Fibonacci numbers and then prove each of the following propositions. The Second Principle of Mathematical Induction may be needed to prove some of these propositions.

For each natural number $n$ , $L_n = 2f_{n+1} - f_n$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

Let $P(n)$ be, “ $L_n = 2f_{n+1} - f_n$ .” First, verify that $P(1)$ and $P(2)$ are true. Now let $k$ be a natural number with $k \geq 2$ and assume that $P(1)$ , $P(2)$ , …, $P(k)$ are all true. Since $P(k)$ and $P(k-1)$ are both assumed to be true, we can use them to help prove that $P(k+1)$ must then be true as follows:

$\begin{aligned}L_{k+1} & = L_k + L_{k-1} \\ & = \left( 2f_{k+1} - f_k \right) + \left( 2f_k - f_{k-1} \right) \\ & = 2 \left( f_{k+1} + f_k \right) - \left( f_k + f_{k-1} \right) \\ & = 2f_{k+2} - f_{k+1}\end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13장 연습 시험 · 9번

# 수열의 귀납적 정의증명·논술자동 분류

85.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 18b번영어 원문

The Lucas numbers

are a sequence of natural numbers $L_1, L_2, L_3, \ldots, L_n, \ldots$ , which are defined recursively as follows:

$L_1 = 1$ and $L_2 = 3$ , and - For each natural number $n$ , $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ .

List the first 10 Lucas numbers and the first ten Fibonacci numbers and then prove each of the following propositions. The Second Principle of Mathematical Induction may be needed to prove some of these propositions.

For each $n \in \mathbb{N}$ with $n \geq 2$ , $5f_n = L_{n - 1} + L_{n + 1}$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.3절 · 27번

# 수열의 귀납적 정의증명·논술자동 분류

86.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 18c번영어 원문

The Lucas numbers

are a sequence of natural numbers $L_1, L_2, L_3, \ldots, L_n, \ldots$ , which are defined recursively as follows:

$L_1 = 1$ and $L_2 = 3$ , and - For each natural number $n$ , $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ .

List the first 10 Lucas numbers and the first ten Fibonacci numbers and then prove each of the following propositions. The Second Principle of Mathematical Induction may be needed to prove some of these propositions.

For each $n \in \mathbb{N}$ with $n \geq 3$ , $L_n = f_{n + 2} - f_{n - 2}$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13장 연습 시험 · 9번

# 수열의 귀납적 정의증명·논술자동 분류