미분 전체 문제

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   안쪽 식이 0이 되는 곳을 찾아요. $x^2+2x-4=0$ 을 풀면 $x=-1\pm\sqrt5$, 즉 $x\approx-3.236$ 과 $x\approx1.236$ 이에요. 이 중 $x=-1-\sqrt5\approx-3.236$ 이 구간 $[-4,0]$ 안에 있어요.

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   그곳에서 미분가능한지 봐요. 이 점의 왼쪽에서는 안쪽 식이 양수이고 오른쪽에서는 음수예요. 그래서 $f(x)=|g(x)|$ 의 기울기가 왼쪽에서는 $g'(x)=2x+2\approx-4.47$ , 오른쪽에서는 $-g'(x)\approx+4.47$ 이 되어 서로 달라요. 그래프가 뾰족하게 꺾이는 점이라 이 점에서 미분가능하지 않아요.

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   결론을 내려요. 열린 구간 $(-4,0)$ 안에 미분불가능한 점이 있으므로 평균값 정리의 조건을 만족하지 않아요. 따라서 평균값 정리는 적용되지 않아요.

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   참고로 확인해 봐요. $f(-4)=4$, $f(0)=4$ 이므로 평균변화율은 $0$ 이에요. 실제로 $-3.236<x<1.236$ 에서 $f(x)=-(x^2+2x-4)$ 이므로 $f'(-1)=0$ 인 $c=-1$ 이 있긴 해요. 하지만 이것은 정리가 보장해 준 것이 아니라 우연히 성립하는 것이에요.

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   롤의 정리를 두 번 써 봐요. 근이 $a<b<c$ 이면 $f(a)=f(b)=0$ 이므로 $(a,b)$ 에서 $f'$ 의 근이 하나, $(b,c)$ 에서도 하나 있어요. 이 두 근 사이에 다시 롤의 정리를 쓰면 $f''$ 의 근이 적어도 하나 있어요.

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   삼차함수라면 맞아요. $f$ 가 삼차함수이면 $f''$ 는 일차식이라 근이 정확히 하나이고 그 앞뒤에서 부호가 바뀌어요. 그러므로 변곡점이 정확히 $1$ 개예요. 원본 답의 '참, 도함수를 살펴보세요'는 이 경우를 말해요.

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   일반 함수에서는 틀려요. $f(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)$ 은 근이 $0,\pm1$ 의 3개지만 $f''(x)=12x^2-2$ 의 부호가 $x=\pm\frac{1}{\sqrt6}$ 에서 바뀌어 변곡점이 $2$ 개예요. 또 $\sin x$ 처럼 근이 많은 함수도 있어요. 그래서 함수에 대한 조건 없이는 '변곡점이 정확히 1개'라고 할 수 없어요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 '참'인데, 함수의 종류(삼차함수 등)가 문제에 적혀 있지 않아 일반 함수로는 반례가 있어요. 원문에 '삼차함수'라는 전제가 있었는지 확인이 필요해요.