최댓값·최솟값과 최적화 연습문제

1.CLP-1 · 3.5절 · 15번우리말 번역

철사 한 개를 두 조각으로 잘라, 한 조각은 구부려 원을 만들고 다른 조각은 구부려 정사각형을 만듭니다. 두 곡선으로 둘러싸인 넓이가 최대가 되려면 철사를 어떻게 잘라야 하는지 구하세요. 두 곡선으로 둘러싸인 넓이가 최소가 되려면 철사를 어떻게 잘라야 하는지 구하세요. 답이 옳은 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

A length of wire is cut into two pieces, one of which is bent to form a circle, the other to form a square. How should the wire be cut if the area enclosed by the two curves is maximized? How should the wire be cut if the area enclosed by the two curves is minimized? Justify your answers.

정답·풀이 보기

철사의 길이를 $L$ 단위라 하고, 한쪽 끝에서 $\ell$ 단위만큼 떨어진 곳을 자른다고 하자. 길이가 $\ell$ 인 조각으로 정사각형을 만들고, 나머지 길이가 $L-\ell$ 인 조각으로 원을 만든다.

정사각형의 둘레가 $\ell$ 이므로 한 변의 길이는 $\ell/4$ 이고 넓이는 $\left(\dfrac{\ell}{4}\right)^2$ 이다. 원의 둘레가 $L-\ell$ 이므로 반지름은 $\dfrac{L-\ell}{2\pi}$ 이고 넓이는 $\pi\left(\dfrac{L-\ell}{2\pi}\right)^2=\dfrac{(L-\ell)^2}{4\pi}$ 이다.

정사각형을 길이 $\ell$ 인 조각으로 만들 때 두 도형으로 둘러싸인 넓이는

$\begin{aligned} A(\ell)&=\dfrac{\ell^2}{16}+\dfrac{(L-\ell)^2}{4\pi} \\ \text{조건 $0 \leq \ell \leq L$ 에서 이 함수의 전체 최댓값과 최솟값을 구해야 하므로 도함수를 구한다:} \\ A'(\ell)&=\dfrac{\ell}{8} -\dfrac{L-\ell}{2\pi} =\dfrac{\pi+4}{8\pi}\ell-\dfrac{L}{2\pi} \\ \text{이제 임계점을 구한다.} \\ A'(\ell)&=0\\ \frac{\pi+4}{8\pi}\ell&=\frac{L}{2\pi}\\ \ell&=\frac{4L}{\pi+4} \end{aligned}$

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline \ell & 0 & L & \dfrac{.^.}{.}\frac{4L}{\pi+4} \\ \hline \text{종류} & \text{끝점} & \text{끝점} & \text{임계점} \\ \hline A(\ell) & \dfrac{.^.}{.}\frac{L^2}{4\pi} & \frac{L^2}{16}_{} & A\left(\frac{4L}{\pi+4}\right) \\ \hline \end{array}$

$A\left(\frac{4L}{\pi+4}\right)$ 의 값을 계산하는 것은 번거로워 보이고 문제에서 요구하지도 않는다. 그러나 이것이 전체 최댓값인지 최솟값인지는 따져 보아야 한다.

$\ell<\frac{4L}{\pi+4}$ 일 때 $A'(\ell)<0$ 이고, $\ell>\frac{4L}{\pi+4}$ 일 때 $A'(\ell)>0$ 이다. 따라서 $A(\ell)$ 은 $\ell=\frac{4L}{\pi+4}$ 까지 감소하다가 그 뒤로 증가한다. 즉 임계점 $\ell=\frac{4L}{\pi+4}$ 에서 극솟값을 갖는다.

그러므로 최솟값은 유일한 임계점인 $\ell=\left(\dfrac{4}{4+\pi}\right)L$ 에서 생긴다. 이는 $\dfrac{\ell}{L}=\dfrac{4}{4+\pi}$ 에 해당한다. 즉 정사각형을 만드는 철사 조각의 비율은 $\dfrac{4}{4+\pi}$ 이다.

최댓값은 $\ell=0$ 또는 $\ell=L$ 에서 생겨야 한다. $A(0)=\dfrac{L^2}{4\pi} > A(L)=\dfrac{L^2}{16}$ 이므로 최댓값은 $\ell=0$ 에서 생긴다(즉, 정사각형을 만들지 않는다).

원본 교재 풀이(영어)

Call the length of the wire $L$ units and suppose that it is cut $\ell$ units from one end. Make the square from the piece of length $\ell$ , and make the circle from the remaining piece of length $L-\ell$ .

The square has perimeter $\ell$ , so its side length is $\ell/4$ and its area is $\left(\dfrac{\ell}{4}\right)^2$ . The circle has circumference $L-\ell$ , so its radius is $\dfrac{L-\ell}{2\pi}$ and its area is $\pi\left(\dfrac{L-\ell}{2\pi}\right)^2=\dfrac{(L-\ell)^2}{4\pi}$ .

The area enclosed by the shapes, when the square is made from a length of size $\ell$ , is

$\begin{aligned} A(\ell)&=\dfrac{\ell^2}{16}+\dfrac{(L-\ell)^2}{4\pi} \\ \text{We want to find the global max and min for this function, given the constraint $0 \leq \ell \leq L$, so we find its derivative:} \\ A'(\ell)&=\dfrac{\ell}{8} -\dfrac{L-\ell}{2\pi} =\dfrac{\pi+4}{8\pi}\ell-\dfrac{L}{2\pi} \\ \text{Now, we find the critical point.} \\ A'(\ell)&=0\\ \frac{\pi+4}{8\pi}\ell&=\frac{L}{2\pi}\\ \ell&=\frac{4L}{\pi+4} \end{aligned}$

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline \ell & 0 & L & \dfrac{.^.}{.}\frac{4L}{\pi+4} \\ \hline \text{type} & \text{endpoint} & \text{endpoint} & \text{critical point} \\ \hline A(\ell) & \dfrac{.^.}{.}\frac{L^2}{4\pi} & \frac{L^2}{16}_{} & A\left(\frac{4L}{\pi+4}\right) \\ \hline \end{array}$

It seems obnoxious to evaluate $A\left(\frac{4L}{\pi+4}\right)$ , and the problem doesn't ask for it–but we still have to figure out whether it is a global max or min.

When $\ell<\frac{4L}{\pi+4}$ , $A'(\ell)<0$ , and when $\ell>\frac{4L}{\pi+4}$ , $A'(\ell)>0$ . So, $A(\ell)$ is decreasing until $\ell=\frac{4L}{\pi+4}$ , then increasing. That means our critical point $\ell=\frac{4L}{\pi+4}$ is a local minimum.

So, the minimum occurs at the only critical point, which is $\ell=\left(\dfrac{4}{4+\pi}\right)L$ . This corresponds to $\dfrac{\ell}{L}=\dfrac{4}{4+\pi}$ : the proportion of the wire that is cut is $\dfrac{4}{4+\pi}$ .

The maximum has to be either at $\ell=0$ or at $\ell=L$ . As $A(0)=\dfrac{L^2}{4\pi} > A(L)=\dfrac{L^2}{16}$ , the maximum has $\ell=0$ (that is, no square).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.5절 · 9번

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