롤의 정리와 평균값 정리 연습문제

1.OpenStax 1권 · 4.4절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하고, 이유를 쓰세요.

$y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}$ , 구간 $[-1,1]$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\frac{{x}^{2}+3x+2}{x}$ over $[-1,1]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰려면 먼저 닫힌 구간에서 연속인지 확인해요.

1
조건을 떠올려요. 평균값 정리는 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능한 함수에만 쓸 수 있어요. 그래서 연속인지 먼저 점검해요.
2
연속인지 살펴요. 분모가 $0$ 이 되는 $x=0$ 에서 함수가 정의되지 않아요. $x=0$ 은 구간 $[-1,1]$ 안에 있으므로 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속이에요. (분자 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 는 $x=0$ 에서 $2$ 라서 약분되지도 않아요. $x\to 0$ 이면 값이 무한히 커져요.)
3
결론을 내려요. 구간 안에 불연속인 점이 있으므로 연속 조건이 깨져서 평균값 정리를 적용할 수 없어요.

답

적용할 수 없다 ( $x=0$ 에서 불연속)

자주 하는 실수

끝점 $\pm1$ 에서만 연속 여부를 확인하고 구간 안쪽의 불연속점을 놓치는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply; discontinuous at $x=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인보통

2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 구간 $[a,b]$ 에서의 함수의 그래프와 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선을 그리세요. 평균값 정리가 보장하는 모든 $c$ 의 값을 계산기로 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 아니면 최종 방정식을 쓰고 계산기로 소수 넷째 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-4,0]$ 에서 $y=\left|x^2+2x-4\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=|{x}^{2}+2x-4|$ over $[-4,0]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰기 전에 연속·미분가능 조건부터 확인해요. 절댓값이 있으면 안쪽 식이 0이 되는 곳에서 그래프가 꺾일 수 있어요.

1
안쪽 식이 0이 되는 곳을 찾아요. $x^2+2x-4=0$ 을 풀면 $x=-1\pm\sqrt5$ , 즉 $x\approx-3.236$ 과 $x\approx1.236$ 이에요. 이 중 $x=-1-\sqrt5\approx-3.236$ 이 구간 $[-4,0]$ 안에 있어요.
2
그곳에서 미분가능한지 봐요. 이 점의 왼쪽에서는 안쪽 식이 양수이고 오른쪽에서는 음수예요. 그래서 $f(x)=|g(x)|$ 의 기울기가 왼쪽에서는 $g'(x)=2x+2\approx-4.47$ , 오른쪽에서는 $-g'(x)\approx+4.47$ 이 되어 서로 달라요. 그래프가 뾰족하게 꺾이는 점이라 이 점에서 미분가능하지 않아요.
3
결론을 내려요. 열린 구간 $(-4,0)$ 안에 미분불가능한 점이 있으므로 평균값 정리의 조건을 만족하지 않아요. 따라서 평균값 정리는 적용되지 않아요.
4
참고로 확인해 봐요. $f(-4)=4$ , $f(0)=4$ 이므로 평균변화율은 $0$ 이에요. 실제로 $-3.236<x<1.236$ 에서 $f(x)=-(x^2+2x-4)$ 이므로 $f'(-1)=0$ 인 $c=-1$ 이 있긴 해요. 하지만 이것은 정리가 보장해 준 것이 아니라 우연히 성립하는 것이에요.

답

평균값 정리를 적용할 수 없다 ( $x=-1-\sqrt5$ 에서 미분불가능)

자주 하는 실수

결론이 우연히 성립해도 평균값 정리가 적용된다고 말하면 안 돼요. 조건을 만족하는지가 핵심이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인도전