문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

미분법 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

23문제 · 2 / 2쪽

21.CLP-1 · 3.2절 · 1번우리말 번역

두 양 $P$ 와 $Q$ 가 공식 $P=Q^3$ 으로 관계되어 있다고 합시다. $P$ 와 $Q$ 는 시간 $t$ 에 따라 변합니다. 이 정보가 주어졌을 때, 다음 중 풀 수 있는 문제를 모두 고르세요.

ⅰ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. (기억하세요: 기호 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 은 시각 $t=0$ 에서 $P$ 의 $t$ 에 대한 미분계수를 뜻합니다.) ⅱ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $Q$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅲ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅳ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $P$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the quantities $P$ and $Q$ are related by the formula $P=Q^3$ . $P$ and $Q$ are changing with respect to time, $t$ . Given this information, which of the following are problems you could solve?

i. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ . (Remember: the notation $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ means the derivative of $P$ with respect to $t$ at the time $t=0$ .) ii. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ and the value of $Q$ when $t=0$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ . iii. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ . iv. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ and the value of $P$ when $t=0$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ .

정답·풀이 보기

$P$ 와 $Q$ 를 관계짓는 등식이 있다:

$\begin{aligned} P&=Q^3 \\ \text{제3의 변수 $t$ 에 대해 음함수 미분한다:} \\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=3Q^2\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

세 양 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ , $Q$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있다. 따라서 ⅱ는 풀 수 있는 문제이다. $P$ 를 알면 $Q$ 도 알 수 있으므로( $P$ 의 세제곱근이다), ⅳ도 풀 수 있다. 그러나 $P$ 와 $Q$ 를 둘 다 모르면, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없고, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없다. 따라서 ⅰ과 ⅲ은 풀 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

We have an equation relating $P$ and $Q$ :

$\begin{aligned} P&=Q^3 \\ \text{We differentiate implicitly with respect to a third variable, $t$:} \\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=3Q^2\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

If we know two of the three quantities $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ , $Q$ , and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ , then we can find the third. Therefore, ii is a question we can solve. If we know $P$ , then we also know $Q$ (it's just the cube root of $P$ ), so also we can solve iv. However, if we know neither $P$ nor $Q$ , then we can't find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ based only off $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ , and we can't find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ based only off $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ . So we can't solve i or iii.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 1번

# 관련 변화율계산기본자동 분류

22.CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

아래 그래프에서 $f''(x)>0$ 인 구간(즉, $f(x)$ 가 아래로 볼록한 구간)과 $f''(x)<0$ 인 구간(즉, $f(x)$ 가 위로 볼록한 구간)을 표시하세요.

영어 원문 보기

On the graph below, mark the intervals where $f''(x)>0$ (i.e. $f(x)$ is concave up) and where $f''(x)<0$ (i.e. $f(x)$ is concave down).

정답·풀이 보기

위 그래프에서 아래로 볼록한 부분은 빨간색으로 표시되어 있다. 이 부분은 그래프의 도함수가 증가하는 곳이고, 같은 말로 그래프가 접선들보다 위쪽에 놓이는 곳이며, 더 쉽게 말하면 웃는 얼굴처럼 휘어 있는 곳이다.

위로 볼록한 부분은 파란색으로 표시되어 있다. 이 부분은 그래프의 도함수가 감소하는 곳이고, 같은 말로 그래프가 접선들보다 아래쪽에 놓이는 곳이며, 더 쉽게 말하면 찡그린 얼굴처럼 휘어 있는 곳이다.

원본 교재 풀이(영어)

In the graph above, the concave-up sections are marked in red. These are where the graph has an increasing derivative; equivalently, where the graph lies above its tangent lines; more descriptively, where it curves like a smiley face.

Concave-down sections are marked in blue. These are where the graph has a decreasing derivative; equivalently, where the graph lies below its tangent lines; more descriptively, where it curves like a frowney face.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 2번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석기본자동 분류

23.CLP-1 · 3.6절 · 2번우리말 번역

다음 조건을 만족하는 곡선을 그리세요.

$|x|>5$ 일 때 아래로 볼록,
$|x|<5$ 일 때 위로 볼록,
$x<0$ 일 때 증가,
$x>0$ 일 때 감소.

영어 원문 보기

Sketch a curve that is:

concave up when $|x|>5$ ,
concave down when $|x|<5$ ,
increasing when $x<0$ , and
decreasing when $x>0$ .

정답·풀이 보기

그래프의 가장 기본적인 모양은 마지막 두 조건으로 정해진다.

곡선은 구간 $(-5,5)$ 에서 위로 볼록하므로, 그 구간에서는 찡그린 얼굴(∩) 모양으로 휘게 그린다.

마지막으로 $x>5$ 또는 $x<-5$ 일 때 곡선은 아래로 볼록해야 하므로, 기본적인 증가/감소 모양은 바꾸지 않은 채 그 구간에서는 웃는 얼굴(∪) 모양으로 휘게 그린다.

이로써 그래프가 완성된다.

원본 교재 풀이(영어)

The most basic shape of the graph is given by the last two bullet points:

The curve is concave down over the interval $(-5,5)$ , so let's give it a frowney-face curvature there.

Finally, when $x>5$ or $x<-5$ , our curve should be concave up, so let's give it smiley-face curvature there, without changing its basic increasing/decreasing shape.

This finishes our sketch.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 18번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석기본자동 분류