빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

이계도함수와 오목·볼록

이계도함수의 부호로 곡선의 오목·볼록과 변곡점을 찾는다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 2.14절 · 1번우리말 번역

함수 f(x)=exf(x)=e^x 의 180계 도함수는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the 180th derivative of the function f(x)=exf(x)=e^x?

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

exe^x 의 도함수는 exe^x 이다. 180번 미분하더라도 함수는 변하지 않는다. 따라서 f(180)=exf^{(180)}=e^x 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of exe^x is exe^x: taking derivatives leaves the function unchanged, even if we do it 180 times. So f(180)=exf^{(180)}=e^x.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 5번
# 이계도함수와 오목·볼록계산기본자동 분류
2.CLP-1 · 2.14절 · 4번우리말 번역

다음 풀이에서 잘못된 부분을 찾고, 바르게 고친 답을 구하세요.

−14x2+2xy+y2=1-14x^2+2xy+y^2=1 이라 하자. 점 (1,3)\left(1,3\right) 에서 d2ydx2\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2} 을 구한다. 음함수 미분하면:

−28x+2y+2xy′+2yy′=0x=1, y=3 을 대입하면:−28+6+2y′+6y′=0y′=114미분하면:y′′=0\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \\ \text{미분하면:} \\ y''&=0 \end{aligned}

영어 원문 보기

Find the mistake(s) in the following work, and provide a corrected answer.

Suppose −14x2+2xy+y2=1-14x^2+2xy+y^2=1. We find d2ydx2\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2} at the point (1,3)\left(1,3\right). Differentiating implicitly:

−28x+2y+2xy′+2yy′=0Plugging in x=1, y=3:−28+6+2y′+6y′=0y′=114Differentiating:y′′=0\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{Plugging in $x=1$, $y=3$:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \\ \text{Differentiating:} \\ y''&=0 \end{aligned}

정답·풀이 보기

도함수 dydx\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 의 값이 114\dfrac{11}{4} 인 것은 점 (1,3)(1,3) 에서뿐이다. 즉 미분계수가 항상 114\dfrac{11}{4} 인 것이 아니므로, 상수 114\dfrac{11}{4} 을 미분하여 d2ydx2\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2} 을 구한 것은 잘못이다. 올바른 풀이는 다음과 같다.

−28x+2y+2xy′+2yy′=0x=1, y=3 을 대입하면:−28+6+2y′+6y′=0y′=114 점 (1,3) 에서식 −28x+2y+2xy′+2yy′=0 을 미분하면:−28+2y′+2y′+2xy′′+2y′y′+2yy′′=04y′+2(y′)2+2xy′′+2yy′′=28점 (1,3) 에서 y′=114 이다. 대입하면:4(114)+2(114)2+2(1)y′′+2(3)y′′=28y′′=1564\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \quad\text{ 점 $(1,3)$ 에서} \\ \text{식 $-28x+2y+2xy'+2yy'=0$ 을 미분하면:} \\ -28+2y'+2y'+2xy''+2y'y'+2yy''&=0\\ 4y'+2(y')^2+2xy''+2yy''&=28 \\ \text{점 $(1,3)$ 에서 $y'=\dfrac{11}{4}$ 이다. 대입하면:} \\ 4\left(\frac{11}{4}\right)+2\left(\frac{11}{4}\right)^2+2(1)y''+2(3)y''&=28\\ y''&=\frac{15}{64} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The derivative dydx\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} is 114\dfrac{11}{4} only at the point (1,3)(1,3): it is not constantly 114\dfrac{11}{4}, so it is wrong to differentiate the constant 114\dfrac{11}{4} to find d2ydx2\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}. Below is a correct solution.

−28x+2y+2xy′+2yy′=0Plugging in x=1, y=3:−28+6+2y′+6y′=0y′=114 at the point (1,3)Differentiating the equation −28x+2y+2xy′+2yy′=0:−28+2y′+2y′+2xy′′+2y′y′+2yy′′=04y′+2(y′)2+2xy′′+2yy′′=28At the point (1,3), y′=114. Plugging in:4(114)+2(114)2+2(1)y′′+2(3)y′′=28y′′=1564\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{Plugging in $x=1$, $y=3$:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \quad\text{ at the point $(1,3)$} \\ \text{Differentiating the equation $-28x+2y+2xy'+2yy'=0$:} \\ -28+2y'+2y'+2xy''+2y'y'+2yy''&=0\\ 4y'+2(y')^2+2xy''+2yy''&=28 \\ \text{At the point $(1,3)$, $y'=\dfrac{11}{4}$. Plugging in:} \\ 4\left(\frac{11}{4}\right)+2\left(\frac{11}{4}\right)^2+2(1)y''+2(3)y''&=28\\ y''&=\frac{15}{64} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 7번
# 이계도함수와 오목·볼록계산기본자동 분류