문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

이계도함수와 오목·볼록

이계도함수의 부호로 곡선의 오목·볼록과 변곡점을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 2.14절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)=e^x$ 의 180계 도함수는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the 180th derivative of the function $f(x)=e^x$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$e^x$ 의 도함수는 $e^x$ 이다. 180번 미분하더라도 함수는 변하지 않는다. 따라서 $f^{(180)}=e^x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of $e^x$ is $e^x$ : taking derivatives leaves the function unchanged, even if we do it 180 times. So $f^{(180)}=e^x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 5번

# 이계도함수와 오목·볼록계산기본자동 분류

2.CLP-1 · 2.14절 · 4번우리말 번역

다음 풀이에서 잘못된 부분을 찾고, 바르게 고친 답을 구하세요.

$-14x^2+2xy+y^2=1$ 이라 하자. 점 $\left(1,3\right)$ 에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 구한다. 음함수 미분하면:

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \\ \text{미분하면:} \\ y''&=0 \end{aligned}$

영어 원문 보기

Find the mistake(s) in the following work, and provide a corrected answer.

Suppose $-14x^2+2xy+y^2=1$ . We find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ at the point $\left(1,3\right)$ . Differentiating implicitly:

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{Plugging in $x=1$, $y=3$:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \\ \text{Differentiating:} \\ y''&=0 \end{aligned}$

정답·풀이 보기

도함수 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 값이 $\dfrac{11}{4}$ 인 것은 점 $(1,3)$ 에서뿐이다. 즉 미분계수가 항상 $\dfrac{11}{4}$ 인 것이 아니므로, 상수 $\dfrac{11}{4}$ 을 미분하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 구한 것은 잘못이다. 올바른 풀이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \quad\text{ 점 $(1,3)$ 에서} \\ \text{식 $-28x+2y+2xy'+2yy'=0$ 을 미분하면:} \\ -28+2y'+2y'+2xy''+2y'y'+2yy''&=0\\ 4y'+2(y')^2+2xy''+2yy''&=28 \\ \text{점 $(1,3)$ 에서 $y'=\dfrac{11}{4}$ 이다. 대입하면:} \\ 4\left(\frac{11}{4}\right)+2\left(\frac{11}{4}\right)^2+2(1)y''+2(3)y''&=28\\ y''&=\frac{15}{64} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The derivative $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ is $\dfrac{11}{4}$ only at the point $(1,3)$ : it is not constantly $\dfrac{11}{4}$ , so it is wrong to differentiate the constant $\dfrac{11}{4}$ to find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ . Below is a correct solution.

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{Plugging in $x=1$, $y=3$:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \quad\text{ at the point $(1,3)$} \\ \text{Differentiating the equation $-28x+2y+2xy'+2yy'=0$:} \\ -28+2y'+2y'+2xy''+2y'y'+2yy''&=0\\ 4y'+2(y')^2+2xy''+2yy''&=28 \\ \text{At the point $(1,3)$, $y'=\dfrac{11}{4}$. Plugging in:} \\ 4\left(\frac{11}{4}\right)+2\left(\frac{11}{4}\right)^2+2(1)y''+2(3)y''&=28\\ y''&=\frac{15}{64} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 7번

# 이계도함수와 오목·볼록계산기본자동 분류

3.CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

아래 그래프에서 $f''(x)>0$ 인 구간(즉, $f(x)$ 가 아래로 볼록한 구간)과 $f''(x)<0$ 인 구간(즉, $f(x)$ 가 위로 볼록한 구간)을 표시하세요.

영어 원문 보기

On the graph below, mark the intervals where $f''(x)>0$ (i.e. $f(x)$ is concave up) and where $f''(x)<0$ (i.e. $f(x)$ is concave down).

정답·풀이 보기

위 그래프에서 아래로 볼록한 부분은 빨간색으로 표시되어 있다. 이 부분은 그래프의 도함수가 증가하는 곳이고, 같은 말로 그래프가 접선들보다 위쪽에 놓이는 곳이며, 더 쉽게 말하면 웃는 얼굴처럼 휘어 있는 곳이다.

위로 볼록한 부분은 파란색으로 표시되어 있다. 이 부분은 그래프의 도함수가 감소하는 곳이고, 같은 말로 그래프가 접선들보다 아래쪽에 놓이는 곳이며, 더 쉽게 말하면 찡그린 얼굴처럼 휘어 있는 곳이다.

원본 교재 풀이(영어)

In the graph above, the concave-up sections are marked in red. These are where the graph has an increasing derivative; equivalently, where the graph lies above its tangent lines; more descriptively, where it curves like a smiley face.

Concave-down sections are marked in blue. These are where the graph has a decreasing derivative; equivalently, where the graph lies below its tangent lines; more descriptively, where it curves like a frowney face.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 2번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석기본자동 분류

4.CLP-1 · 3.6절 · 2번우리말 번역

다음 조건을 만족하는 곡선을 그리세요.

$|x|>5$ 일 때 아래로 볼록,
$|x|<5$ 일 때 위로 볼록,
$x<0$ 일 때 증가,
$x>0$ 일 때 감소.

영어 원문 보기

Sketch a curve that is:

concave up when $|x|>5$ ,
concave down when $|x|<5$ ,
increasing when $x<0$ , and
decreasing when $x>0$ .

정답·풀이 보기

그래프의 가장 기본적인 모양은 마지막 두 조건으로 정해진다.

곡선은 구간 $(-5,5)$ 에서 위로 볼록하므로, 그 구간에서는 찡그린 얼굴(∩) 모양으로 휘게 그린다.

마지막으로 $x>5$ 또는 $x<-5$ 일 때 곡선은 아래로 볼록해야 하므로, 기본적인 증가/감소 모양은 바꾸지 않은 채 그 구간에서는 웃는 얼굴(∪) 모양으로 휘게 그린다.

이로써 그래프가 완성된다.

원본 교재 풀이(영어)

The most basic shape of the graph is given by the last two bullet points:

The curve is concave down over the interval $(-5,5)$ , so let's give it a frowney-face curvature there.

Finally, when $x>5$ or $x<-5$ , our curve should be concave up, so let's give it smiley-face curvature there, without changing its basic increasing/decreasing shape.

This finishes our sketch.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 18번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석기본자동 분류