이계도함수와 오목·볼록 연습문제

1.APEX · 3.4절 · 15번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = x^2-2x+1$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = x^2-2x+1$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: 없다; $(-\infty,\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: none; concave up on $(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 18번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

2.APEX · 3.4절 · 16번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = -x^2-5x+7$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = -x^2-5x+7$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: 없다; $(-\infty,\infty)$ 에서 위로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: none; concave down on $(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.4절 · 1번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

3.APEX · 3.4절 · 17번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = x^3-x+1$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = x^3-x+1$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=0$ ; $(-\infty,0)$ 에서 위로 볼록; $(0,\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=0$ ; concave down on $(-\infty,0)$ ; concave up on $(0,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 15번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

4.APEX · 3.4절 · 18번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = 2x^3-3x^2+9x+5$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = 2x^3-3x^2+9x+5$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=1/2$ ; $(-\infty,1/2)$ 에서 위로 볼록; $(1/2,\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=1/2$ ; concave down on $(-\infty,1/2)$ ; concave up on $(1/2,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 4번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

5.APEX · 3.4절 · 19번우리말 번역

연습문제 15–28번에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2 x+3$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = \frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2 x+3$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=-2/3,0$ ; $(-2/3,0)$ 에서 위로 볼록; $(-\infty,-2/3)$ 과 $(0,\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=-2/3,0$ ; concave down on $(-2/3,0)$ ; concave up on $(-\infty,-2/3)$ and $(0,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 8번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

6.APEX · 3.4절 · 20번우리말 번역

연습문제 15–28번에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = -3 x^4+8 x^3+6 x^2-24 x+2$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = -3 x^4+8 x^3+6 x^2-24 x+2$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=(1/3)(2\pm\sqrt{7})$ ; $((1/3)(2-\sqrt{7}),(1/3)(2+\sqrt{7}))$ 에서 아래로 볼록; $(-\infty,(1/3)(2-\sqrt{7}))$ 과 $((1/3)(2+\sqrt{7}),\infty)$ 에서 위로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=(1/3)(2\pm\sqrt{7})$ ; concave up on $((1/3)(2-\sqrt{7}),(1/3)(2+\sqrt{7}))$ ; concave down on $(-\infty,(1/3)(2-\sqrt{7}))$ and $((1/3)(2+\sqrt{7}),\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.4절 · 4번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

7.APEX · 3.4절 · 21번우리말 번역

연습문제 15–28번에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = x^4-4x^3+6x^2-4x+1$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = x^4-4x^3+6x^2-4x+1$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=1$ ;

$(-\infty,\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=1$ ;

concave up on $(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 2번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

8.APEX · 3.4절 · 22번우리말 번역

연습문제 15–28번에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \sec x$ ( $(-3\pi/2,3\pi/2)$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = \sec x$ on $(-3\pi/2,3\pi/2)$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=-\pi/2,\pi/2$ 에서 $f\,''(x)$ 가 정의되지 않는다( $f$ 도 정의되지 않는다); $(-3\pi/2,-\pi/2)$ 과 $(\pi/2,3\pi/2)$ 에서 위로 볼록 $(-\pi/2,\pi/2)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $f\,''(x)$ is not defined (nor is $f$ ) at $x=-\pi/2,\pi/2$ ; concave down on $(-3\pi/2,-\pi/2)$ and $(\pi/2,3\pi/2)$ concave up on $(-\pi/2,\pi/2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 4번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

9.APEX · 3.4절 · 23번우리말 번역

연습문제 15–28번에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=\pm1/\sqrt{3}$ ; $(-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$ 에서 위로 볼록; $(-\infty,-1/\sqrt{3})$ 과 $(1/\sqrt{3},\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=\pm1/\sqrt{3}$ ; concave down on $(-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$ ; concave up on $(-\infty,-1/\sqrt{3})$ and $(1/\sqrt{3},\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 12번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

10.APEX · 3.4절 · 24번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2-1}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2-1}$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=0,\pm 1$ ; $(-\infty,-1)$ 과 $(0,1)$ 에서 위로 볼록 $(-1,0)$ 과 $(1,\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=0,\pm 1$ ; concave down on $(-\infty,-1)$ and $(0,1)$ concave up on $(-1,0)$ and $(1,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 6번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

11.APEX · 3.4절 · 25번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \sin x + \cos x$ ( $(-\pi,\pi)$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = \sin x + \cos x$ on $(-\pi,\pi)$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=-\pi/4,3\pi/4$ ; $(-\pi/4,3\pi/4)$ 에서 위로 볼록 $(-\pi,-\pi/4)$ 와 $(3\pi/4,\pi)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=-\pi/4,3\pi/4$ ; concave down on $(-\pi/4,3\pi/4)$ concave up on $(-\pi,-\pi/4)$ and $(3\pi/4,\pi)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 1번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

12.APEX · 3.4절 · 26번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = x^2e^x$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = x^2e^x$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=-2\pm\sqrt{2}$ ; $(-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$ 에서 위로 볼록 $(-\infty,-2-\sqrt{2})$ 와 $(-2+\sqrt{2},\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=-2\pm\sqrt{2}$ ; concave down on $(-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$ concave up on $(-\infty,-2-\sqrt{2})$ and $(-2+\sqrt{2},\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 9번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

13.APEX · 3.4절 · 27번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = x^2\ln x$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = x^2\ln x$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=1/e^{3/2}$ ; $(0,1/e^{3/2})$ 에서 위로 볼록 $(1/e^{3/2},\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=1/e^{3/2}$ ; concave down on $(0,1/e^{3/2})$ concave up on $(1/e^{3/2},\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 7번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

14.APEX · 3.4절 · 28번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = e^{-x^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = e^{-x^2}$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=\pm 1/\sqrt{2}$ ; $(- 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ 에서 위로 볼록 $(-\infty,- 1/\sqrt{2})$ 와 $( 1/\sqrt{2},\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=\pm 1/\sqrt{2}$ ; concave down on $(- 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ concave up on $(-\infty,- 1/\sqrt{2})$ and $( 1/\sqrt{2},\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.4절 · 2번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

15.CLP-1 · 2.14절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)=e^x$ 의 180계 도함수는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the 180th derivative of the function $f(x)=e^x$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$e^x$ 의 도함수는 $e^x$ 이다. 180번 미분하더라도 함수는 변하지 않는다. 따라서 $f^{(180)}=e^x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of $e^x$ is $e^x$ : taking derivatives leaves the function unchanged, even if we do it 180 times. So $f^{(180)}=e^x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 5번

# 이계도함수와 오목·볼록계산기본자동 분류

16.CLP-1 · 2.14절 · 4번우리말 번역

다음 풀이에서 잘못된 부분을 찾고, 바르게 고친 답을 구하세요.

$-14x^2+2xy+y^2=1$ 이라 하자. 점 $\left(1,3\right)$ 에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 구한다. 음함수 미분하면:

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \\ \text{미분하면:} \\ y''&=0 \end{aligned}$

영어 원문 보기

Find the mistake(s) in the following work, and provide a corrected answer.

Suppose $-14x^2+2xy+y^2=1$ . We find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ at the point $\left(1,3\right)$ . Differentiating implicitly:

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{Plugging in $x=1$, $y=3$:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \\ \text{Differentiating:} \\ y''&=0 \end{aligned}$

정답·풀이 보기

도함수 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 값이 $\dfrac{11}{4}$ 인 것은 점 $(1,3)$ 에서뿐이다. 즉 미분계수가 항상 $\dfrac{11}{4}$ 인 것이 아니므로, 상수 $\dfrac{11}{4}$ 을 미분하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 구한 것은 잘못이다. 올바른 풀이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{$x=1$, $y=3$ 을 대입하면:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \quad\text{ 점 $(1,3)$ 에서} \\ \text{식 $-28x+2y+2xy'+2yy'=0$ 을 미분하면:} \\ -28+2y'+2y'+2xy''+2y'y'+2yy''&=0\\ 4y'+2(y')^2+2xy''+2yy''&=28 \\ \text{점 $(1,3)$ 에서 $y'=\dfrac{11}{4}$ 이다. 대입하면:} \\ 4\left(\frac{11}{4}\right)+2\left(\frac{11}{4}\right)^2+2(1)y''+2(3)y''&=28\\ y''&=\frac{15}{64} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The derivative $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ is $\dfrac{11}{4}$ only at the point $(1,3)$ : it is not constantly $\dfrac{11}{4}$ , so it is wrong to differentiate the constant $\dfrac{11}{4}$ to find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ . Below is a correct solution.

$\begin{aligned} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0 \\ \text{Plugging in $x=1$, $y=3$:} \\ -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\frac{11}{4} \quad\text{ at the point $(1,3)$} \\ \text{Differentiating the equation $-28x+2y+2xy'+2yy'=0$:} \\ -28+2y'+2y'+2xy''+2y'y'+2yy''&=0\\ 4y'+2(y')^2+2xy''+2yy''&=28 \\ \text{At the point $(1,3)$, $y'=\dfrac{11}{4}$. Plugging in:} \\ 4\left(\frac{11}{4}\right)+2\left(\frac{11}{4}\right)^2+2(1)y''+2(3)y''&=28\\ y''&=\frac{15}{64} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 7번

# 이계도함수와 오목·볼록계산기본자동 분류

17.CLP-1 · 2.14절 · 5번우리말 번역

$f(x)=(\log x-1)x$ 라 하자. $f''(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=(\log x-1)x$ . Evaluate $f''(x)$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} f(x)&=x\log x -x\\ f'(x)&=\log x +x\cdot\frac{1}{x}-1\\ &=\log x\\ f''(x)&=\frac{1}{x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} f(x)&=x\log x -x\\ f'(x)&=\log x +x\cdot\frac{1}{x}-1\\ &=\log x\\ f''(x)&=\frac{1}{x} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 4번

# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류

18.CLP-1 · 2.14절 · 6번우리말 번역

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\arctan x\}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\arctan x\}$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan x\}&=\frac{1}{1+x^2}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1+x^2}\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{(1+x^2)^{-1}\right\}\\ &=(-1)(1+x^2)^{-2}(2x)\\&=\frac{-2x}{(1+x^2)^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan x\}&=\frac{1}{1+x^2}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1+x^2}\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{(1+x^2)^{-1}\right\}\\ &=(-1)(1+x^2)^{-2}(2x)\\&=\frac{-2x}{(1+x^2)^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.4절 · 4번

# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류

19.CLP-1 · 2.14절 · 7번우리말 번역

단위원은 $x^2+y^2=1$ 을 만족하는 모든 점으로 이루어진다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 을 $y$ 에 대한 식으로 나타내세요.

영어 원문 보기

The unit circle consists of all point $x^2+y^2=1$ . Give an expression for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}$ in terms of $y$ .

정답·풀이 보기

음함수 미분을 두 번 사용한다.

$\begin{aligned} 2x+2yy'&=0\\ 2+(2y)y''+(2y')y'&=0\\ y''&=-\frac{(y')^2+1}{y} \\ \text{따라서 $y'$ 에 대한 식이 필요하다. 식 $2x+2yy'=0$ 으로부터 $y'=-\dfrac{x}{y}$ 임을 알 수 있다:} \\ y''&=-\frac{\left(-\frac{x}{y}\right)^2+1}{y}\\ &=-\frac{\frac{x^2}{y^2}+1}{y}\\ &=-\frac{x^2+y^2}{y^3}\\ &=-\frac{1}{y^3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use implicit differentiation, twice.

$\begin{aligned} 2x+2yy'&=0\\ 2+(2y)y''+(2y')y'&=0\\ y''&=-\frac{(y')^2+1}{y} \\ \text{So, we need an expression for $y'$. We use the equation $2x+2yy'=0$ to conclude $y'=-\dfrac{x}{y}$:} \\ y''&=-\frac{\left(-\frac{x}{y}\right)^2+1}{y}\\ &=-\frac{\frac{x^2}{y^2}+1}{y}\\ &=-\frac{x^2+y^2}{y^3}\\ &=-\frac{1}{y^3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 6번

# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류

20.CLP-1 · 2.14절 · 9번우리말 번역

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\}$ .

정답·풀이 보기

합성함수의 미분법을 사용하여 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{10x}{5x^2-12} \\ \text{몫의 미분법을 사용하면:} \\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{10x}{5x^2-12}\right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)(10)-10x(10x)}{(5x^2-12)^2}\\ &=\frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \\ \text{몫의 미분법을 마지막으로 한 번 더 사용하면:} \\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)^2(-10)(10x)+10(5x^2+12)(2)(5x^2-12)(10x)}{(5x^2-12)^4}\\ &=\frac{(5x^2-12)(-100x)+(200x)(5x^2+12)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(-5x^2+12+10x^2+24)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(5x^2+36)}{(5x^2-12)^3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We differentiate using the chain rule.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{10x}{5x^2-12} \\ \text{Using the quotient rule:} \\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{10x}{5x^2-12}\right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)(10)-10x(10x)}{(5x^2-12)^2}\\ &=\frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \\ \text{Using the quotient rule one last time:} \\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)^2(-10)(10x)+10(5x^2+12)(2)(5x^2-12)(10x)}{(5x^2-12)^4}\\ &=\frac{(5x^2-12)(-100x)+(200x)(5x^2+12)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(-5x^2+12+10x^2+24)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(5x^2+36)}{(5x^2-12)^3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 12번

# 이계도함수와 오목·볼록계산보통자동 분류