문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

삼각함수의 미분

sin x, cos x, tan x 등의 도함수를 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.5절 · 1번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y={x}^{2}-\sec x+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ for the given functions.

$y={x}^{2}-\sec x+1$

풀이 보기

항별로 미분하고, $(\sec x)'=\sec x\tan x$ 를 써요.

1
합·차로 이어진 식은 항마다 따로 미분해도 돼요.
2
$(x^2)'=2x$ , $(\sec x)'=\sec x\tan x$ , 상수 $1$ 의 미분은 $0$ 이에요.

$\frac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x+0=2x-\sec x\tan x$

답

$\dfrac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x$

자주 하는 실수

$(\sec x)'$ 를 $\sec^2x$ 로 착각해요. $\sec^2x$ 는 $\tan x$ 의 도함수예요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번

# 삼각함수의 미분계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.5절 · 9번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ for the given functions.

$y=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}$

풀이 보기

분수식이므로 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 을 쓰고, $(\cot x)'=-\csc^2x$ 를 이용해요.

1
분자 $u=1-\cot x$ , 분모 $v=1+\cot x$ 로 놓아요. $(\cot x)'=-\csc^2x$ 이므로

$u'=\csc^2x,\qquad v'=-\csc^2x$
2
몫의 미분법에 넣어요.

$\frac{dy}{dx}=\frac{\csc^2x(1+\cot x)-(1-\cot x)(-\csc^2x)}{(1+\cot x)^2}$
3
분자에서 $\csc^2x$ 로 묶고 정리해요.

$\csc^2x\big[(1+\cot x)+(1-\cot x)\big]=2\csc^2x$

따라서

$\frac{dy}{dx}=\frac{2\csc^2x}{(1+\cot x)^2}$

답

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\csc^{2}x}{(1+\cot x)^{2}}$

자주 하는 실수

$(\cot x)'$ 의 부호 $-$ 를 빠뜨리거나, 몫의 미분법에서 분자의 빼는 순서를 바꿔요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=\frac{2{\csc }^{2}x}{{(1+\cot x)}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 1번

# 삼각함수의 미분계산보통

3.OpenStax 1권 · 3.5절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 를 구하세요.

$y=x\sin x-\cos x$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$ for the given functions.

$y=x\sin x-\cos x$

답 쓰고 채점

풀이 보기

이계도함수는 미분을 두 번 하면 돼요. 한 번 미분한 결과를 다시 미분해요.

1
먼저 한 번 미분해요. $x\sin x$ 는 곱의 미분법, $(-\cos x)'=\sin x$ 예요.

$\frac{dy}{dx}=\sin x+x\cos x+\sin x=2\sin x+x\cos x$
2
한 번 더 미분해요. $(2\sin x)'=2\cos x$ 이고 $x\cos x$ 는 곱의 미분법으로 $\cos x-x\sin x$ 예요.

$\frac{d^2y}{dx^2}=2\cos x+\cos x-x\sin x=3\cos x-x\sin x$

답

$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=3\cos x-x\sin x$

자주 하는 실수

$(\cos x)'$ 의 부호를 틀리거나 첫 번째 미분에서 $\sin x$ 가 두 번 나오는 것을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

$3\cos x-x\sin x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.2절 · 6번

# 삼각함수의 미분계산보통

4.OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번우리말 풀이

$f(x)=\cot x$ 라 하자. $0<x<2\pi$ 에서 접선이 직선 $y=-2x$ 와 평행한 점들을 그래프 위에서 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\cot x.$ Determine the points on the graph of $f$ for $0<x<2\pi$ where the tangent line(s) is (are) parallel to the line $y=-2x.$

답 쓰고 채점

풀이 보기

평행한 직선은 기울기가 같으므로 $f'(x)=-2$ 를 만족하는 $x$ 를 찾아요.

1
직선 $y=-2x$ 의 기울기는 $-2$ 예요. 평행한 접선도 기울기가 $-2$ 이므로 $f'(x)=-2$ 인 $x$ 를 구하면 돼요.
2
$f'(x)=-\csc^2x$ 이므로

$-\csc^2x=-2\ \Longrightarrow\ \csc^2x=2\ \Longrightarrow\ \sin^2x=\frac12$
3
$\sin x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고 $0<x<2\pi$ 이므로 $x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}$ 네 개예요.
4
각 $x$ 에 대한 $f(x)=\cot x$ 의 값을 구해 점을 완성해요.

$\cot\frac{\pi}{4}=1,\ \cot\frac{3\pi}{4}=-1,\ \cot\frac{5\pi}{4}=1,\ \cot\frac{7\pi}{4}=-1$

답

$\left(\frac{\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{3\pi}{4},-1\right),\ \left(\frac{5\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{7\pi}{4},-1\right)$

자주 하는 실수

$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$ 인 경우만 구하고 $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ 인 경우를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\frac{\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{3\pi }{4}, -1\right), \left(\frac{5\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{7\pi }{4}, -1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 17번

# 삼각함수의 미분계산보통