여러 가지 함수의 적분

먼저 $f''(x)=e^{-x}$를 한 번 적분해 $f'$을 구해요. $(e^{-x})'=-e^{-x}$이므로 $\int e^{-x}dx=-e^{-x}$예요. 따라서 $f'(x)=-e^{-x}+C_1$이에요.

한 번 더 적분해요. $\int(-e^{-x})dx=e^{-x}$이므로 $f(x)=e^{-x}+C_1x+C_2$예요.

$C_1$, $C_2$는 아무 상수나 될 수 있어요. $C_1=C_2=0$으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}$이고, $C_1=1$, $C_2=0$으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}+x$예요. 둘 다 두 번 미분하면 $e^{-x}$가 되는지 확인해 봐요.

먼저 주어진 공식을 확인해요. $\frac{d}{dx}\left[x(\ln x-1)\right]=(\ln x-1)+x\cdot\frac1x=\ln x$ 이므로 $\int\ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$ 가 맞아요.

로그를 정리해요. ($x>0$ 으로 생각해요.) $\ln(x^2)=2\ln x$ 이고, $x^3=u$ 로 두면 $\ln x=\frac13\ln u$ 예요. 그래서 $$x^2\ln(x^2)=2x^2\ln x=\frac{2}{3}\,x^2\ln u$$

치환해요. $u=x^3$ 이면 $du=3x^2dx$, 즉 $x^2dx=\frac{du}{3}$ 이에요. $$\int x^2\ln(x^2)\,dx=\int 2\cdot\frac{1}{3}\ln u\cdot\frac{du}{3}=\frac{2}{9}\int\ln u\,du$$

공식을 써요. $$\frac29\int\ln u\,du=\frac29\,u(\ln u-1)+C$$

$x$ 로 되돌려요. $u=x^3$ 이므로 $$\frac{2}{9}x^3\left(\ln(x^3)-1\right)+C$$ 로 정리돼요. (직접 부분적분으로 풀어도 $\frac23x^3\ln x-\frac29x^3+C$ 로 같은 식이에요.)

왜 이렇게 할까요? $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ 로 쓰면, 분자 $\cos x$ 가 분모 $\sin x$ 의 도함수예요. 이런 꼴은 $\int\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\ln|g(x)|+C$ 를 써요.

부정적분을 구해요. $$\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$$ (구간에서 $\sin x>0$ 이에요.)

위끝과 아래끝을 넣어요. $$\Big[\ln\sin x\Big]_{\pi/4}^{\pi/3}=\ln\frac{\sqrt3}{2}-\ln\frac{\sqrt2}{2}$$

로그의 성질로 합쳐요. $$\ln\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=\ln\sqrt{\frac32}=\frac12\ln\frac32$$

왜 이렇게 할까요? 그래프 아래의 넓이는 정적분 $\int_3^4 2^{-x}dx$ 의 값이에요. 먼저 부정적분을 구해요.

부정적분. $2^{-x}=\left(\frac12\right)^x$ 이므로 $\int 2^{-x}dx=-\frac{2^{-x}}{\ln2}+C$ 예요. 미분하면 $-\frac{2^{-x}\cdot(-\ln 2)}{\ln 2}=2^{-x}$ 로 맞아요.

위끝과 아래끝을 넣어요. $$\left[-\frac{2^{-x}}{\ln2}\right]_3^4=-\frac{2^{-4}}{\ln2}+\frac{2^{-3}}{\ln2}=\frac{1}{\ln2}\left(\frac18-\frac1{16}\right)=\frac{1}{16\ln2}$$

원본 답과 같은 꼴로 바꿔요. $65536=2^{16}$ 이므로 $\ln(65536)=16\ln2$ 이고 $$\frac{1}{16\ln2}=\frac{1}{\ln(65536)}$$