문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

역삼각함수가 나오는 적분

1/(1+x²), 1/√(1−x²) 꼴처럼 답이 역삼각함수가 되는 적분을 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

48문제 · 3 / 3쪽

41.OpenStax 1권 · 5.7절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\sin ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\sin ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1-\frac{2}{\sqrt{5}}$

원본 교재 풀이(영어)

$1-\frac{2}{\sqrt{5}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

42.OpenStax 1권 · 5.7절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\cos ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\cos ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

43.OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번대학 수준우리말 번역

$A>0$ 일 때, $I(A)={\int }_{-A}^{A}\frac{dt}{1+{t}^{2}}$ 을 계산하고, $\frac{1}{1+{t}^{2}}$ 의 그래프 아래 $[-\infty ,\infty ]$ 에서의 넓이인 $\lim_{A\to \infty }I(A)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For $A>0,$ compute $I(A)={\int }_{-A}^{A}\frac{dt}{1+{t}^{2}}$ and evaluate $\lim_{A\to \infty }I(A),$ the area under the graph of $\frac{1}{1+{t}^{2}}$ on $[-\infty ,\infty ].$

정답·풀이 보기

$2{\tan }^{-1}(A)\to \pi$ as $A\to \infty$

원본 교재 풀이(영어)

$2{\tan }^{-1}(A)\to \pi$ as $A\to \infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 29번

# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류

44.OpenStax 1권 · 5.7절 · 44번대학 수준우리말 번역

$1<B<\infty$ 일 때, $I(B)={\int }_{1}^{B}\frac{dt}{t\sqrt{{t}^{2}-1}}$ 을 계산하고, $\frac{1}{t\sqrt{{t}^{2}-1}}$ 의 그래프 아래 $[1,\infty )$ 에서의 넓이인 $\lim_{B\to \infty }I(B)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For $1<B<\infty ,$ compute $I(B)={\int }_{1}^{B}\frac{dt}{t\sqrt{{t}^{2}-1}}$ and evaluate $\lim_{B\to \infty }I(B),$ the area under the graph of $\frac{1}{t\sqrt{{t}^{2}-1}}$ over $[1,\infty ).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 17번

# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류

45.OpenStax 1권 · 5.7절 · 45번대학 수준우리말 번역

치환 $u=\sqrt{2}\,\cot x$ 와 항등식 $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$ 를 이용하여 $\int \frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}$ 의 값을 구하세요. (힌트: 피적분함수의 분자와 분모에 ${\csc }^{2}x.)$ 를 곱하세요.

영어 원문 보기

Use the substitution $u=\sqrt{2}\,\cot x$ and the identity $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$ to evaluate $\int \frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}.$ (Hint: Multiply the top and bottom of the integrand by ${\csc }^{2}x.)$

정답·풀이 보기

힌트를 이용하면 $\int \frac{{\csc }^{2}x}{{\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x}dx=\int \frac{{\csc }^{2}x}{1+2{\cot }^{2}x}dx$ 이다. $u=\sqrt{2}\cot x$ 로 놓으면 $du=-\sqrt{2}{\csc }^{2}x$ 이고, 적분은 $-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{du}{1+{u}^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}u+C=\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\sqrt{2}\cot x\right)+C$ 이다. 항등식 ${\tan }^{-1}s+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2}$ 를 이용하면, 이는 $\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C$ 로도 나타낼 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the hint, one has $\int \frac{{\csc }^{2}x}{{\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x}dx=\int \frac{{\csc }^{2}x}{1+2{\cot }^{2}x}dx.$ Set $u=\sqrt{2}\cot x.$ Then, $du=-\sqrt{2}{\csc }^{2}x$ and the integral is $-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{du}{1+{u}^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}u+C=\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\sqrt{2}\cot x\right)+C.$ If one uses the identity ${\tan }^{-1}s+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2},$ then this can also be written $\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 37번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

46.OpenStax 1권 · 5.7절 · 46번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 두 함수 $f(x)=2{x}^{2}-1$ 과 $g(x)={(1+4{x}^{2})}^{-3/2}$ 의 그래프가 만나는 점을 소수 넷째 자리까지 어림하고, 두 그래프 사이의 넓이를 소수 셋째 자리까지 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Approximate the points at which the graphs of $f(x)=2{x}^{2}-1$ and $g(x)={(1+4{x}^{2})}^{-3/2}$ intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 19번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

47.OpenStax 1권 · 5.7절 · 47번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 두 함수 $f(x)={x}^{2}-1$ 과 ${g(x)=({x}^{2}+1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 그래프가 만나는 점을 소수 넷째 자리까지 어림하고, 두 그래프 사이의 넓이를 소수 셋째 자리까지 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Approximate the points at which the graphs of $f(x)={x}^{2}-1$ and ${g(x)=({x}^{2}+1)}^{\frac{1}{2}}$ intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.

정답·풀이 보기

$x\approx \pm 1.7321.$ $N=100$ 일 때 좌단점을 이용한 어림값은 4.781이며, 이 소수 값들은 $N=500$ 일 때도 그대로 유지된다.

원본 교재 풀이(영어)

$x\approx \pm 1.7321.$ The left endpoint estimate with $N=100$ is 4.781 and these decimals persist for $N=500.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 41번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

48.OpenStax 1권 · 5.7절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

다음 그래프를 이용하여 ${\int }_{0}^{x}\sqrt{1-{t}^{2}}dt=\frac{1}{2}x\sqrt{1-{x}^{2}}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x$ 임을 증명하세요.

두 도형이 들어 있는 그림이다. 원에서 잘라 낸 부채꼴이 파란색으로 칠해져 위쪽에 있고, 그 아래에 갈색으로 칠해진 삼각형이 있다. 삼각형의 빗변은 부채꼴의 반지름 변 중 하나이며 길이가 1이다. 빨간 점선이 부채꼴의 일부와 삼각형으로 직사각형을 이루고 있으며, 삼각형의 빗변이 그 직사각형의 대각선이다. 원의 곡선은 방정식 sqrt(1-x^2)으로 나타낸다.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

Use the following graph to prove that ${\int }_{0}^{x}\sqrt{1-{t}^{2}}dt=\frac{1}{2}x\sqrt{1-{x}^{2}}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 11번

# 역삼각함수가 나오는 적분증명·논술자동 분류