빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

역삼각함수가 나오는 적분

1/(1+x²), 1/√(1−x²) 꼴처럼 답이 역삼각함수가 되는 적분을 구한다

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12문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, C=0C=0 일 때 f 의 부정적분 ∫f\int f 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더하면 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 가 되도록 하는 C 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] ∫19−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{9-{x}^{2}}}dx, 구간 [−3,3][-3,3]

영어 원문 보기

In the following exercises, solve for the antiderivative ∫f\int f of f with C=0,C=0, then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval [a,b].[a,b]. Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫19−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{9-{x}^{2}}}dx over [−3,3][-3,3]

정답·풀이 보기

두 개의 그래프가 있다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = 1 / √(9 – x^2) 을 나타낸다. 이 그래프는 위로 열린 곡선이며 y축에 대해 대칭이고, (0, 1/3) 을 지난다. 두 번째 그래프는 함수 F(x) = 아크사인(1/3 x) 를 나타낸다. 이 그래프는 증가하는 곡선이며 원점을 지난다.

부정적분은 sin⁡−1(x3)+C{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C 이다. C=π2C=\frac{\pi }{2} 로 놓으면 정적분이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = 1 / sqrt(9 – x^2). It is an upward opening curve symmetric about the y axis, crossing at (0, 1/3). The second shows the function F(x) = arcsin(1/3 x). It is an increasing curve going through the origin.

The antiderivative is sin⁡−1(x3)+C.{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C. Taking C=π2C=\frac{\pi }{2} recovers the definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 25번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 1권 · 5.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 C=0C=0 으로 하여 f 의 부정적분 ∫f\int f 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더했을 때 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 가 되도록 하는 C 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] ∫99+x2dx\int \frac{9}{9+{x}^{2}}dx, 구간 [−6,6][-6,6]

영어 원문 보기

In the following exercises, solve for the antiderivative ∫f\int f of f with C=0,C=0, then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval [a,b].[a,b]. Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫99+x2dx\int \frac{9}{9+{x}^{2}}dx over [−6,6][-6,6]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 1번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 1권 · 5.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 C=0C=0 으로 하여 f 의 부정적분 ∫f\int f 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더했을 때 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 가 되도록 하는 C 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] ∫cos⁡x4+sin⁡2xdx\int \frac{\cos x}{4+{\sin }^{2}x}dx, 구간 [−6,6][-6,6]

영어 원문 보기

In the following exercises, solve for the antiderivative ∫f\int f of f with C=0,C=0, then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval [a,b].[a,b]. Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫cos⁡x4+sin⁡2xdx\int \frac{\cos x}{4+{\sin }^{2}x}dx over [−6,6][-6,6]

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = cos(x) / (4 + sin(x)^2) 를 나타낸다. 구간 (-6, 6) 에서 진동하는 함수이며, 방향이 바뀌는 점(전환점)이 대략 (-3, -2.5), (0, .25), (3, -2.5) 에 있다. 이 중 (0,.25) 는 극댓값, 나머지는 극솟값이다. 두 번째 그래프는 함수 F(x) = .5 * arctan(.5*sin(x)) 를 나타내며, 이 역시 구간 (-6,6) 에서 진동한다. 꺾이는 점(전환점)은 대략 (-4.5, .25), (-1.5, -.25), (1.5, .25), (4.5, -.25) 에 있다.

부정적분은 12tan⁡−1(sin⁡x2)+C\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin x}{2}\right)+C 이다. C=12tan⁡−1(sin⁡(6)2)C=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin (6)}{2}\right) 로 놓으면 정적분이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = cos(x) / (4 + sin(x)^2). It is an oscillating function over (-6, 6) with turning points at roughly (-3, -2.5), (0, .25), and (3, -2.5), where (0,.25) is a local max and the others are local mins. The second shows the function F(x) = .5 * arctan(.5*sin(x)), which also oscillates over (-6,6). It has turning points at roughly (-4.5, .25), (-1.5, -.25), (1.5, .25), and (4.5, -.25).

The antiderivative is 12tan⁡−1(sin⁡x2)+C.\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin x}{2}\right)+C. Taking C=12tan⁡−1(sin⁡(6)2)C=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin (6)}{2}\right) recovers the definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 27번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 1권 · 5.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, C=0C=0 으로 하여 f 의 부정적분 ∫f\int f 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더하면 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 가 되도록 하는 C 의 값을 찾으세요.

[계산기 사용] ∫ex1+e2xdx\int \frac{{e}^{x}}{1+{e}^{2x}}dx, 구간 [−6,6][-6,6]

영어 원문 보기

In the following exercises, solve for the antiderivative ∫f\int f of f with C=0,C=0, then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval [a,b].[a,b]. Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫ex1+e2xdx\int \frac{{e}^{x}}{1+{e}^{2x}}dx over [−6,6][-6,6]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 3번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 5.7절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 C=0C=0 인 부정적분 ∫f\int f 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 의 값과 같아지도록 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] ∫1xx2−4dx\int \frac{1}{x\sqrt{{x}^{2}-4}}dx, 구간 [2,6][2,6]

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative ∫f\int f with C=0C=0 over the given interval [a,b].[a,b]. Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫1xx2−4dx\int \frac{1}{x\sqrt{{x}^{2}-4}}dx over [2,6][2,6]

정답·풀이 보기

제4사분면에 있는 함수 f(x) = -.5 * 아크탄젠트(2 / (√(x^2 – 4)))의 그래프이다. 이 그래프는 증가하며 위로 볼록한 곡선이고, x=2 에서 수직 점근선을 가진다.

부정적분은 12sec⁡−1(x2)+C\frac{1}{2}{\sec }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+C 이다. C=0C=0 으로 잡으면 [2,6][2,6] 에서의 정적분과 같은 값이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the function f(x) = -.5 * arctan(2 / ( sqrt(x^2 – 4) ) ) in quadrant four. It is an increasing concave down curve with a vertical asymptote at x=2.

The antiderivative is 12sec⁡−1(x2)+C.\frac{1}{2}{\sec }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+C. Taking C=0C=0 recovers the definite integral over [2,6].[2,6].

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 17번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 5.7절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 C=0C=0 인 부정적분 ∫f\int f 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 의 값과 같아지도록 하는 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] [0,6][0,6] 에서 ∫1(2x+2)xdx\int \frac{1}{(2x+2)\sqrt{x}}dx

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative ∫f\int f with C=0C=0 over the given interval [a,b].[a,b]. Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫1(2x+2)xdx\int \frac{1}{(2x+2)\sqrt{x}}dx over [0,6][0,6]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 45번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 5.7절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 C=0C=0 인 부정적분 ∫f\int f 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 의 값과 같아지도록 하는 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] [−6,6][-6,6] 에서 ∫(sin⁡x+xcos⁡x)1+x2sin⁡2xdx\int \frac{(\sin x+x\cos x)}{1+{x}^{2}{\sin }^{2}x}dx

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative ∫f\int f with C=0C=0 over the given interval [a,b].[a,b]. Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫(sin⁡x+xcos⁡x)1+x2sin⁡2xdx\int \frac{(\sin x+x\cos x)}{1+{x}^{2}{\sin }^{2}x}dx over [−6,6][-6,6]

정답·풀이 보기

구간 (-6,6) 에서 f(x) = arctan(x sin(x)) 의 그래프이다. 대략 (-5, -1.5), (-2,1), (0,0), (2,1), (5,-1.5) 에 꺾이는 점이 다섯 개 있다.

일반적인 부정적분은 tan⁡−1(xsin⁡x)+C{\tan }^{-1}(x\sin x)+C 이다. C=−tan⁡−1(6sin⁡(6))C=-{\tan }^{-1}(6\sin (6)) 으로 놓으면 정적분과 같아진다.

원본 교재 풀이(영어)

The graph of f(x) = arctan(x sin(x)) over (-6,6). It has five turning points at roughly (-5, -1.5), (-2,1), (0,0), (2,1), and (5,-1.5).

The general antiderivative is tan⁡−1(xsin⁡x)+C.{\tan }^{-1}(x\sin x)+C. Taking C=−tan⁡−1(6sin⁡(6))C=-{\tan }^{-1}(6\sin (6)) recovers the definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 23번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 5.7절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 C=0C=0 인 부정적분 ∫f\int f 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 의 값과 같아지도록 하는 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] ∫2e−2x1−e−4xdx\int \frac{2{e}^{-2x}}{\sqrt{1-{e}^{-4x}}}dx ([0,2][0,2] 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative ∫f\int f with C=0C=0 over the given interval [a,b].[a,b]. Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫2e−2x1−e−4xdx\int \frac{2{e}^{-2x}}{\sqrt{1-{e}^{-4x}}}dx over [0,2][0,2]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 21번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 5.7절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 C=0C=0 인 부정적분 ∫f\int f 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 의 값과 같아지도록 하는 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] ∫1x+xln⁡2xdx\int \frac{1}{x+x{\ln }^{2}x}dx ([0,2][0,2] 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative ∫f\int f with C=0C=0 over the given interval [a,b].[a,b]. Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫1x+xln⁡2xdx\int \frac{1}{x+x{\ln }^{2}x}dx over [0,2][0,2]

정답·풀이 보기

구간 (0, 2)에서 함수 f(x) = arctan(ln(x))의 그래프이다. x절편이 (1,0)인 증가하는 곡선이다.

일반적인 부정적분은 tan⁡−1(ln⁡x)+C{\tan }^{-1}(\ln x)+C 이다. C=π2=tan⁡−1∞C=\frac{\pi }{2}={\tan }^{-1}\infty 로 잡으면 정적분의 값과 같아진다.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the function f(x) = arctan(ln(x)) over (0, 2). It is an increasing curve with x-intercept at (1,0).

The general antiderivative is tan⁡−1(ln⁡x)+C.{\tan }^{-1}(\ln x)+C. Taking C=π2=tan⁡−1∞C=\frac{\pi }{2}={\tan }^{-1}\infty recovers the definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 33번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 5.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 C=0C=0 인 부정적분 ∫f\int f 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 의 값과 같아지도록 하는 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] ∫sin⁡−1x1−x2dx\int \frac{{\sin }^{-1}x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}dx ([−1,1][-1,1] 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative ∫f\int f with C=0C=0 over the given interval [a,b].[a,b]. Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫sin⁡−1x1−x2dx\int \frac{{\sin }^{-1}x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}dx over [−1,1][-1,1]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 29번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번대학 수준우리말 번역

A>0A>0 일 때, I(A)=∫−AAdt1+t2I(A)={\int }_{-A}^{A}\frac{dt}{1+{t}^{2}} 을 계산하고, 11+t2\frac{1}{1+{t}^{2}} 의 그래프 아래 [−∞,∞][-\infty ,\infty ] 에서의 넓이인 lim⁡A→∞I(A)\lim_{A\to \infty }I(A) 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For A>0,A>0, compute I(A)=∫−AAdt1+t2I(A)={\int }_{-A}^{A}\frac{dt}{1+{t}^{2}} and evaluate lim⁡A→∞I(A),\lim_{A\to \infty }I(A), the area under the graph of 11+t2\frac{1}{1+{t}^{2}} on [−∞,∞].[-\infty ,\infty ].

정답·풀이 보기

2tan⁡−1(A)→π2{\tan }^{-1}(A)\to \pi as A→∞A\to \infty

원본 교재 풀이(영어)

2tan⁡−1(A)→π2{\tan }^{-1}(A)\to \pi as A→∞A\to \infty

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 29번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 5.7절 · 44번대학 수준우리말 번역

1<B<∞1<B<\infty 일 때, I(B)=∫1Bdttt2−1I(B)={\int }_{1}^{B}\frac{dt}{t\sqrt{{t}^{2}-1}} 을 계산하고, 1tt2−1\frac{1}{t\sqrt{{t}^{2}-1}} 의 그래프 아래 [1,∞)[1,\infty ) 에서의 넓이인 lim⁡B→∞I(B)\lim_{B\to \infty }I(B) 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For 1<B<∞,1<B<\infty , compute I(B)=∫1Bdttt2−1I(B)={\int }_{1}^{B}\frac{dt}{t\sqrt{{t}^{2}-1}} and evaluate lim⁡B→∞I(B),\lim_{B\to \infty }I(B), the area under the graph of 1tt2−1\frac{1}{t\sqrt{{t}^{2}-1}} over [1,∞).[1,\infty ).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 17번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)