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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한과 연속 전체 문제

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

46문제 · 3 / 3쪽

41.CLP-1 · 1.6절 · 15번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: 11+cos⁡(x)\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}.

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: 11+cos⁡(x)\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}.

정답·풀이 보기

함수 1/x1/\sqrt{x} 는 (0,+∞)(0,+\infty) 에서 연속이고 함수 cos⁡(x)+1\cos(x) + 1 은 모든 점에서 연속이다.

따라서 1/cos⁡(x)+11/\sqrt{\cos(x) + 1 } 은 cos⁡x=−1\cos x=-1 인 점을 제외하고 연속이다. 이것은 xx 가 π\pi 의 홀수 배일 때 일어난다. 그러므로 이 함수는 x=±π,±3π,±5π,…x=\pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots 를 제외한 모든 점에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function 1/x1/\sqrt{x} is continuous on (0,+∞)(0,+\infty) and the function cos⁡(x)+1\cos(x) + 1 is continuous everywhere.

So 1/cos⁡(x)+11/\sqrt{\cos(x) + 1 } is continuous except when cos⁡x=−1\cos x=-1. This happens when xx is an odd multiple of π\pi. Hence the function is continuous except at x=±π,±3π,±5π,…x=\pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 16번
# 함수의 연속계산보통자동 분류
42.CLP-1 · 1.6절 · 16번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: f(x)=1sin⁡xf(x)=\dfrac{1}{\sin x}.

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: f(x)=1sin⁡xf(x)=\dfrac{1}{\sin x}.

정답·풀이 보기

이 함수는 sin⁡(x)≠0\sin(x)\neq 0 일 때 연속이다. 즉, xx 가 π\pi 의 정수 배가 아닐 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous when sin⁡(x)≠0\sin(x)\neq 0. That is, when xx is not an integer multiple of π\pi.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 17번
# 함수의 연속계산보통자동 분류
43.CLP-1 · 1.6절 · 17번우리말 번역

다음 함수가 x=cx=c 에서 연속이 되도록 하는 cc 의 값을 모두 구하세요: f(x)={8−cx일 때x≤cx2일 때x>cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{일 때} & x\le c\\ x^2 & \text{일 때} & x> c \end{array}\right. 연속의 정의를 이용하여 답을 정당화하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous at x=cx=c: f(x)={8−cxifx≤cx2ifx>cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{if} & x\le c\\ x^2 & \text{if} & x> c \end{array}\right. Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

두 구간의 식이 각각 다항식이므로 이 함수는 x≠cx\ne c 에서 연속이다. 따라서 문제는 x=cx=c 에서 연속인지 여부뿐이며, 이를 위해서는 lim⁡x→c−f(x)=f(c)=lim⁡x→c+f(x)\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)=\lim_{x\to c+}f(x) 이어야 한다. 계산하면 lim⁡x→c−f(x)=lim⁡x→c−8−cx=8−c2;\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^-}8-cx = 8-c^2; f(c)=8−c⋅c=8−c2 이고f(c)=8-c\cdot c= 8-c^2\text{ 이고} lim⁡x→c+f(x)=lim⁡x→c+x2=c2.\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^+}x^2=c^2. 따라서 8−c2=c28-c^2=c^2 이어야 하고, 이로부터 c2=4c^2=4, 즉 c=−2c=-2 또는 c=2c=2 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠cx\ne c since each of those two branches are polynomials. So, the only question is whether the function is continuous at x=cx=c; for this we need lim⁡x→c−f(x)=f(c)=lim⁡x→c+f(x).\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)=\lim_{x\to c+}f(x). We compute lim⁡x→c−f(x)=lim⁡x→c−8−cx=8−c2;\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^-}8-cx = 8-c^2; f(c)=8−c⋅c=8−c2 andf(c)=8-c\cdot c= 8-c^2\text{ and} lim⁡x→c+f(x)=lim⁡x→c+x2=c2.\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^+}x^2=c^2. So, we need 8−c2=c28-c^2=c^2, which yields c2=4c^2=4, i.e. c=−2c=-2 or c=2c=2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 18번
# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류
44.CLP-1 · 1.6절 · 18번우리말 번역

다음 함수가 모든 점에서 연속이 되도록 하는 cc 의 값을 모두 구하세요:

f(x)={x2+cx≥0cos⁡cxx<0\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+c & x\geq 0\\ \cos cx & x< 0 \end{cases} \end{aligned}

연속의 정의를 이용하여 답을 정당화하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous everywhere:

f(x)={x2+cx≥0cos⁡cxx<0\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+c & x\geq 0\\ \cos cx & x< 0 \end{cases} \end{aligned}

Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

x2+cx^2+c 와 cos⁡cx\cos cx 가 모든 점에서 연속이므로 이 함수는 x≠0x \ne 0 에서 연속이다. 이제 x=0x=0 에서의 연속성을 확인해야 한다. 이를 위해 다음 세 값이 같음을 확인해야 한다.

lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x2+c=cf(0)=clim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−cos⁡cx=cos⁡0=1\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} x^2+c = c\\ f(0) &= c \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \cos cx = \cos 0 = 1 \end{aligned}

그러므로 c=1c=1 일 때 극한값들이 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠0x \ne 0 since x2+cx^2+c and cos⁡cx\cos cx are continuous everywhere. It remains to check continuity at x=0x=0. To do this we must check that the following three are equal.

lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x2+c=cf(0)=clim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−cos⁡cx=cos⁡0=1\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} x^2+c = c\\ f(0) &= c \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \cos cx = \cos 0 = 1 \end{aligned}

Hence when c=1c=1 we have the limits agree.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 19번
# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류
45.CLP-1 · 1.6절 · 19번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 cc 의 값을 모두 구하세요: f(x)={x2−4(x<c 일 때)3x(x≥c 일 때) .f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{(}x< c\text{ 일 때)}\\ 3x & \text{(}x \ge c\text{ 일 때)}\,.\end{cases} 연속의 정의를 이용하여 답을 설명하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous: f(x)={x2−4if x<c3xif x≥c .f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{if } x< c\\ 3x & \text{if } x \ge c\,. \end{cases} Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

두 구간에서 함수는 각각 다항식으로 정의되므로 x≠cx\ne c 에서 함수는 연속이다. 따라서 문제가 되는 것은 x=cx=c 에서 함수가 연속인지 여부뿐이다. 또한 lim⁡x→c−f(x)=c2−4\lim_{x\to c^-}f(x) = c^2-4 이고 lim⁡x→c+f(x)=f(c)=3c \lim_{x\to c^+}f(x) = f(c) = 3c\, 이다. 연속이려면 두 극한과 함숫값이 모두 일치해야 하므로, ff 가 연속일 필요충분조건은 c2−4=3cc^2-4 = 3c 이다. 즉 필요충분조건은 c2−3c−4=0 c^2-3c-4 = 0\, 이다. 이를 (c−4)(c+1)=0(c-4)(c+1) = 0 으로 인수분해하면 c=−1c=-1 또는 c=+4c=+4 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠cx\ne c since each of those two branches are defined by polynomials. Thus, the only question is whether the function is continuous at x=cx=c. Furthermore, lim⁡x→c−f(x)=c2−4\lim_{x\to c^-}f(x) = c^2-4 and lim⁡x→c+f(x)=f(c)=3c .\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c) = 3c\,. For continunity we need both limits and the value to agree, so ff is continuous if and only if c2−4=3cc^2-4 = 3c, that is if and only if c2−3c−4=0 .c^2-3c-4 = 0\,. Factoring this as (c−4)(c+1)=0(c-4)(c+1) = 0 yields c=−1c=-1 or c=+4c=+4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번
# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류
46.CLP-1 · 1.6절 · 20번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 cc 의 모든 값을 구하세요. f(x)={6−cx일 때x≤2cx2일 때x>2cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{일 때} & x\le 2c\\ x^2 & \text{일 때} & x> 2c \end{array}\right.연속의 정의를 이용하여 답을 근거와 함께 설명하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous: f(x)={6−cxifx≤2cx2ifx>2cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{if} & x\le 2c\\ x^2 & \text{if} & x> 2c \end{array}\right.Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

두 구간의 식이 각각 다항식이므로 함수는 x≠2cx\ne 2c 에서 연속이다. 따라서 남은 문제는 함수가 x=2cx=2c 에서 연속인지 여부뿐이며, 이를 위해서는 lim⁡x→2c−f(x)=f(2c)=lim⁡x→2c+f(x)\lim_{x\to 2c^-}f(x)=f(2c)=\lim_{x\to 2c+}f(x) 이어야 한다. 각각 계산하면 lim⁡x→2c−f(x)=lim⁡x→2c−6−cx=6−2c2;\lim_{x\to 2c^-}f(x)=\lim_{x\to 2c^-}6-cx = 6-2c^2; f(2c)=6−c⋅2c=6−2c2이고f(2c)=6-c\cdot 2c= 6-2c^2\text{이고} lim⁡x→2c+f(x)=lim⁡x→2c+x2=4c2\lim_{x\to 2c^+}f(x)=\lim_{x\to 2c^+}x^2=4c^2 이다. 따라서 6−2c2=4c26-2c^2=4c^2 이어야 하므로 c2=1c^2=1, 즉 c=−1c=-1 또는 c=1c=1 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠2cx\ne 2c since each of those two branches are polynomials. So, the only question is whether the function is continuous at x=2cx=2c; for this we need lim⁡x→2c−f(x)=f(2c)=lim⁡x→2c+f(x).\lim_{x\to 2c^-}f(x)=f(2c)=\lim_{x\to 2c+}f(x). We compute lim⁡x→2c−f(x)=lim⁡x→2c−6−cx=6−2c2;\lim_{x\to 2c^-}f(x)=\lim_{x\to 2c^-}6-cx = 6-2c^2; f(2c)=6−c⋅2c=6−2c2 andf(2c)=6-c\cdot 2c= 6-2c^2\text{ and} lim⁡x→2c+f(x)=lim⁡x→2c+x2=4c2.\lim_{x\to 2c^+}f(x)=\lim_{x\to 2c^+}x^2=4c^2. So, we need 6−2c2=4c26-2c^2=4c^2, which yields c2=1c^2=1, i.e. c=−1c=-1 or c=1c=1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 23번
# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류