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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한과 연속 전체 문제

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번우리말 풀이

[계산기 사용] 물리학에서 진공 속의 점전하가 거리 rr 떨어진 곳에 만드는 전기장의 크기는 쿨롱 법칙으로 정해져요. E(r)=q4πε0r2E(r)=\dfrac{q}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}} 이고, 여기서 EE 는 전기장의 크기, qq 는 입자의 전하, rr 은 입자와 전기장을 재는 곳 사이의 거리, 14πε0\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} 은 쿨롱 상수로 8.988×109 N⋅m2/C28.988\times 10^{9}\,\text{N}\cdot \text{m}^{2}/\text{C}^{2} 예요.

a. 입자의 전하가 q=10−10q=10^{-10} 일 때 그래픽 계산기로 E(r)E(r) 의 그래프를 그리세요. b. lim⁡r→0+E(r)\lim_{r\to 0^{+}}E(r) 를 구하세요. 이 양은 물리적으로 무슨 뜻일까요? 물리적으로 의미가 있을까요? 왜 오른쪽에서 다가가는 극한을 구할까요?

영어 원문 보기

[T] In physics, the magnitude of an electric field generated by a point charge at a distance r in vacuum is governed by Coulomb’s law: E(r)=q4πε0r2,E(r)=\frac{q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}, where E represents the magnitude of the electric field, q is the charge of the particle, r is the distance between the particle and where the strength of the field is measured, and 14πε0\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}} is Coulomb’s constant: 8.988 × 109 N⋅m2/C2.8.988\,\times \,{10}^{9}\,\text{N}\cdot {\text{m}}^{2}/{\text{C}}^{2}.

a. Use a graphing calculator to graph E(r)E(r) given that the charge of the particle is q=10−10.q={10}^{-10}. b. Evaluate lim⁡r→0+E(r).\lim_{r\to {0}^{+}}E(r). What is the physical meaning of this quantity? Is it physically relevant? Why are you evaluating from the right?

풀이 보기

r→0+r\to0^{+} 일 때 분모 r2r^2 이 00 에 가까워져 전체 값이 한없이 커져요.

  1. 1

    식을 간단히 해요. q=10−10q=10^{-10} 을 넣고 쿨롱 상수를 곱하면 E(r)=8.988×109⋅10−10r2=0.8988r2E(r)=\dfrac{8.988\times10^{9}\cdot10^{-10}}{r^2}=\dfrac{0.8988}{r^2} 이에요.

  2. 2

    (a) 그래프의 모양이에요. 거리 r>0r>0 일 때 rr 이 커지면 EE 는 00 에 가까워지고, rr 이 00 에 가까워지면 EE 는 한없이 커지는 곡선이에요. 식 자체는 r<0r<0 에서도 그려지지만(좌우대칭인 두 가닥), 거리는 음수가 될 수 없어서 물리적으로는 r>0r>0 쪽만 써요.

  3. 3

    (b) 극한을 구해요. r→0+r\to0^{+} 이면 r2→0+r^2\to0^{+} 이고 분자 0.89880.8988 은 양수이므로

    lim⁡r→0+0.8988r2=∞\lim_{r\to0^{+}}\frac{0.8988}{r^2}=\infty

  4. 4

    의미를 해석해요. 입자에 가까이 갈수록 전기장의 크기가 끝없이 커진다는 뜻이에요. 하지만 실제 입자는 크기가 있고 거리 00 까지 갈 수 없어서, 무한대가 되는 것은 점전하라는 이상화 때문에 생긴 값이고 현실의 값은 아니에요.

  5. 5

    왜 오른쪽에서 다가가는지 정리해요. 거리 rr 은 00 보다 큰 값만 가질 수 있어서 r<0r<0 쪽에서 다가가는 것은 의미가 없기 때문이에요.

답

(a) E(r)=0.8988r2E(r)=\dfrac{0.8988}{r^2} 의 그래프(그림 참조) (b) ∞\infty. 입자에 가까워질수록 전기장이 한없이 커진다는 뜻이며, 이상화된 점전하에서만 나오는 값이라 현실적인 값은 아니에요. 거리는 음수가 될 수 없어 오른쪽에서만 다가가요.

자주 하는 실수

극한이 ∞\infty 라는 것을 전기장이 실제로 무한대가 된다는 뜻으로 받아들여요.

원본 교재 풀이(영어)

a.

A graph of a function with two curves. The first is in quadrant two and curves asymptotically to infinity along the y axis and to 0 along the x axis as x goes to negative infinity. The second is in quadrant one and curves asymptotically to infinity along the y axis and to 0 along the x axis as x goes to infinity.

b. ∞. The magnitude of the electric field as you approach the particle q becomes infinite. It does not make physical sense to evaluate negative distance.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 28번
# 좌극한과 우극한활용보통
2.OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번우리말 풀이

힘을 RR 에서 00 으로 만드는 대신, r≥Rr\ge R 에서 힘이 10−2010^{-20} 이 되도록 해 봐요. 양성자 두 개를 생각하고, 전하의 크기는 1.6022×10−19 C1.6022\times 10^{-19}\,\text{C}, 쿨롱 상수는 ke=8.988×109 Nm2/C2k_e=8.988\times 10^{9}\,\text{Nm}^2/\text{C}^2 라고 하세요. 이 계가 연속이 되게 하는 RR 의 값이 있을까요? 있다면 구하세요.

영어 원문 보기

Instead of making the force 0 at R, instead we let the force be 10−20 for r≥R.r\ge R. Assume two protons, which have a magnitude of charge 1.6022 × 10−19 C,1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{C}, and the Coulomb constant ke=8.988 × 109Nm2/C2.{k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}. Is there a value R that can make this system continuous? If so, find it.

답 쓰고 채점
m
풀이 보기

경계 r=Rr=R 에서 쿨롱 힘 keq2R2\dfrac{k_eq^2}{R^2} 이 주어진 값 10−2010^{-20} 과 같아야 연속이에요.

  1. 1

    조건을 세워요. 두 전하 사이의 쿨롱 힘은 F=keq2r2F=\dfrac{k_eq^2}{r^2} 이에요. r=Rr=R 에서 이 힘이 10−2010^{-20} 과 같아야 두 식이 이어져요. (이 문제의 앞 부분에 나온 쿨롱 힘의 식을 썼어요.)

    keq2R2=10−20\frac{k_eq^2}{R^2}=10^{-20}

  2. 2

    R2R^2 에 대해 풀어요. R2=keq210−20R^2=\dfrac{k_eq^2}{10^{-20}} 이에요.

  3. 3

    값을 넣어 계산해요. q2=(1.6022×10−19)2≈2.5670×10−38q^2=(1.6022\times10^{-19})^2\approx2.5670\times10^{-38} 이고 keq2≈8.988×109×2.5670×10−38≈2.3073×10−28k_eq^2\approx8.988\times10^{9}\times2.5670\times10^{-38}\approx2.3073\times10^{-28} 이므로

    R2≈2.3073×10−2810−20=2.3073×10−8R^2\approx\frac{2.3073\times10^{-28}}{10^{-20}}=2.3073\times10^{-8}

  4. 4

    제곱근을 취해요. R>0R>0 이므로 R=2.3073×10−8≈1.519×10−4 mR=\sqrt{2.3073\times10^{-8}}\approx1.519\times10^{-4}\,\text{m} 예요.

답

있어요. R≈0.0001519 mR\approx0.0001519\,\text{m}

자주 하는 실수

단위와 지수를 잘못 계산해요. 특히 q2q^2 에서 10−1910^{-19} 도 함께 제곱해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

R=0.0001519 mR=0.0001519\,\text{m}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 3번
# 함수의 연속활용보통
3.CLP-1 · 1.2절 · 7번우리말 번역

시각 tt (단위: 초)에서 물체의 위치가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. s(t)=3t2+5s(t)=3t^2+5.

(a) 3초부터 5초까지 물체의 평균 속도를 구하세요. (b) 시각 t=1t=1 에서 물체의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time tt (measured in seconds) is given by s(t)=3t2+5s(t)=3t^2+5.

(a) What is the average velocity of the object from 3 seconds to 5 seconds? (b) What is the velocity of the object at time t=1t=1?

답 쓰고 채점
(a)
단위/초
(b)
단위/초
정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: change in positionchange in time=s(5)−s(3)5−3=(3⋅52+5)−(3⋅32+5)5−3=24\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24 이므로 초당 24 단위이다. (b) 강의 노트에서 시각 aa 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} 따라서 이 문제에서는 다음과 같다. v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→0[3(1+h)2+5]−[3(1)2+5]h=lim⁡h→06h+3h2h=lim⁡h→06+3h=6v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6 따라서 t=1t=1 일 때의 속도는 초당 6 단위이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: change in positionchange in time=s(5)−s(3)5−3=(3⋅52+5)−(3⋅32+5)5−3=24\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24 units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time aa is v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} So, in our case: v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→0[3(1+h)2+5]−[3(1)2+5]h=lim⁡h→06h+3h2h=lim⁡h→06+3h=6v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6 So the velocity when t=1t=1 is 6 units per second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 6번
# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류
4.CLP-1 · 1.2절 · 8번우리말 번역

어떤 물체의 시각 tt (단위: 초)에서의 위치가 s(t)=ts(t)=\sqrt{t} 로 주어진다고 하자.

(a) t=1t=1초부터 t=9t=9초까지 물체의 평균 속도는 얼마인가? (b) 시각 t=1t=1에서 물체의 속도는 얼마인가? (c) 시각 t=9t=9에서 물체의 속도는 얼마인가?

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time tt (measured in seconds) is given by s(t)=ts(t)=\sqrt{t}.

(a) What is the average velocity of the object from t=1t=1 second to t=9t=9 seconds? (b) What is the velocity of the object at time t=1t=1? (c) What is the velocity of the object at time t=9t=9?

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: 위치의 변화량시간의 변화량=s(9)−s(1)9−1=3−19−1=14\dfrac{\text{위치의 변화량}}{\text{시간의 변화량}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4} 단위/초이다. (b) 강의 노트에서, 시각 aa 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} 따라서 이 경우에는 다음과 같다.

v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→01+h−1h=lim⁡h→01+h−1h⋅(1+h+11+h+1)=lim⁡h→0(1+h)−1h(1+h+1)=lim⁡h→011+h+1=12 단위/초\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ 단위/초} \end{aligned} (c) v(9)=lim⁡h→0s(9+h)−s(9)h=lim⁡h→09+h−3h=lim⁡h→09+h−3h⋅(9+h+39+h+3)=lim⁡h→0(9+h)−9h(9+h+3)=lim⁡h→019+h+3=16 단위/초\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ 단위/초} \end{aligned}

참고: 평균 속도는 두 순간 속도의 평균이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: change in positionchange in time=s(9)−s(1)9−1=3−19−1=14\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4} units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time aa is v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} So, in our case:

v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→01+h−1h=lim⁡h→01+h−1h⋅(1+h+11+h+1)=lim⁡h→0(1+h)−1h(1+h+1)=lim⁡h→011+h+1=12 units per second\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ units per second} \end{aligned} (c) v(9)=lim⁡h→0s(9+h)−s(9)h=lim⁡h→09+h−3h=lim⁡h→09+h−3h⋅(9+h+39+h+3)=lim⁡h→0(9+h)−9h(9+h+3)=lim⁡h→019+h+3=16 units per second\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ units per second} \end{aligned}

Remark: the average velocity is not the average of the two instantaneous velocities.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 7번
# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류