빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한과 연속 전체 문제

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유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

21문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번우리말 풀이

[계산기 사용] 물리학에서 진공 속의 점전하가 거리 rr 떨어진 곳에 만드는 전기장의 크기는 쿨롱 법칙으로 정해져요. E(r)=q4πε0r2E(r)=\dfrac{q}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}} 이고, 여기서 EE 는 전기장의 크기, qq 는 입자의 전하, rr 은 입자와 전기장을 재는 곳 사이의 거리, 14πε0\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} 은 쿨롱 상수로 8.988×109 N⋅m2/C28.988\times 10^{9}\,\text{N}\cdot \text{m}^{2}/\text{C}^{2} 예요.

a. 입자의 전하가 q=10−10q=10^{-10} 일 때 그래픽 계산기로 E(r)E(r) 의 그래프를 그리세요. b. lim⁡r→0+E(r)\lim_{r\to 0^{+}}E(r) 를 구하세요. 이 양은 물리적으로 무슨 뜻일까요? 물리적으로 의미가 있을까요? 왜 오른쪽에서 다가가는 극한을 구할까요?

영어 원문 보기

[T] In physics, the magnitude of an electric field generated by a point charge at a distance r in vacuum is governed by Coulomb’s law: E(r)=q4πε0r2,E(r)=\frac{q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}, where E represents the magnitude of the electric field, q is the charge of the particle, r is the distance between the particle and where the strength of the field is measured, and 14πε0\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}} is Coulomb’s constant: 8.988 × 109 N⋅m2/C2.8.988\,\times \,{10}^{9}\,\text{N}\cdot {\text{m}}^{2}/{\text{C}}^{2}.

a. Use a graphing calculator to graph E(r)E(r) given that the charge of the particle is q=10−10.q={10}^{-10}. b. Evaluate lim⁡r→0+E(r).\lim_{r\to {0}^{+}}E(r). What is the physical meaning of this quantity? Is it physically relevant? Why are you evaluating from the right?

풀이 보기

r→0+r\to0^{+} 일 때 분모 r2r^2 이 00 에 가까워져 전체 값이 한없이 커져요.

  1. 1

    식을 간단히 해요. q=10−10q=10^{-10} 을 넣고 쿨롱 상수를 곱하면 E(r)=8.988×109⋅10−10r2=0.8988r2E(r)=\dfrac{8.988\times10^{9}\cdot10^{-10}}{r^2}=\dfrac{0.8988}{r^2} 이에요.

  2. 2

    (a) 그래프의 모양이에요. 거리 r>0r>0 일 때 rr 이 커지면 EE 는 00 에 가까워지고, rr 이 00 에 가까워지면 EE 는 한없이 커지는 곡선이에요. 식 자체는 r<0r<0 에서도 그려지지만(좌우대칭인 두 가닥), 거리는 음수가 될 수 없어서 물리적으로는 r>0r>0 쪽만 써요.

  3. 3

    (b) 극한을 구해요. r→0+r\to0^{+} 이면 r2→0+r^2\to0^{+} 이고 분자 0.89880.8988 은 양수이므로

    lim⁡r→0+0.8988r2=∞\lim_{r\to0^{+}}\frac{0.8988}{r^2}=\infty

  4. 4

    의미를 해석해요. 입자에 가까이 갈수록 전기장의 크기가 끝없이 커진다는 뜻이에요. 하지만 실제 입자는 크기가 있고 거리 00 까지 갈 수 없어서, 무한대가 되는 것은 점전하라는 이상화 때문에 생긴 값이고 현실의 값은 아니에요.

  5. 5

    왜 오른쪽에서 다가가는지 정리해요. 거리 rr 은 00 보다 큰 값만 가질 수 있어서 r<0r<0 쪽에서 다가가는 것은 의미가 없기 때문이에요.

답

(a) E(r)=0.8988r2E(r)=\dfrac{0.8988}{r^2} 의 그래프(그림 참조) (b) ∞\infty. 입자에 가까워질수록 전기장이 한없이 커진다는 뜻이며, 이상화된 점전하에서만 나오는 값이라 현실적인 값은 아니에요. 거리는 음수가 될 수 없어 오른쪽에서만 다가가요.

자주 하는 실수

극한이 ∞\infty 라는 것을 전기장이 실제로 무한대가 된다는 뜻으로 받아들여요.

원본 교재 풀이(영어)

a.

A graph of a function with two curves. The first is in quadrant two and curves asymptotically to infinity along the y axis and to 0 along the x axis as x goes to negative infinity. The second is in quadrant one and curves asymptotically to infinity along the y axis and to 0 along the x axis as x goes to infinity.

b. ∞. The magnitude of the electric field as you approach the particle q becomes infinite. It does not make physical sense to evaluate negative distance.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 28번
# 좌극한과 우극한활용보통
2.OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번우리말 풀이

힘을 RR 에서 00 으로 만드는 대신, r≥Rr\ge R 에서 힘이 10−2010^{-20} 이 되도록 해 봐요. 양성자 두 개를 생각하고, 전하의 크기는 1.6022×10−19 C1.6022\times 10^{-19}\,\text{C}, 쿨롱 상수는 ke=8.988×109 Nm2/C2k_e=8.988\times 10^{9}\,\text{Nm}^2/\text{C}^2 라고 하세요. 이 계가 연속이 되게 하는 RR 의 값이 있을까요? 있다면 구하세요.

영어 원문 보기

Instead of making the force 0 at R, instead we let the force be 10−20 for r≥R.r\ge R. Assume two protons, which have a magnitude of charge 1.6022 × 10−19 C,1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{C}, and the Coulomb constant ke=8.988 × 109Nm2/C2.{k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}. Is there a value R that can make this system continuous? If so, find it.

답 쓰고 채점
m
풀이 보기

경계 r=Rr=R 에서 쿨롱 힘 keq2R2\dfrac{k_eq^2}{R^2} 이 주어진 값 10−2010^{-20} 과 같아야 연속이에요.

  1. 1

    조건을 세워요. 두 전하 사이의 쿨롱 힘은 F=keq2r2F=\dfrac{k_eq^2}{r^2} 이에요. r=Rr=R 에서 이 힘이 10−2010^{-20} 과 같아야 두 식이 이어져요. (이 문제의 앞 부분에 나온 쿨롱 힘의 식을 썼어요.)

    keq2R2=10−20\frac{k_eq^2}{R^2}=10^{-20}

  2. 2

    R2R^2 에 대해 풀어요. R2=keq210−20R^2=\dfrac{k_eq^2}{10^{-20}} 이에요.

  3. 3

    값을 넣어 계산해요. q2=(1.6022×10−19)2≈2.5670×10−38q^2=(1.6022\times10^{-19})^2\approx2.5670\times10^{-38} 이고 keq2≈8.988×109×2.5670×10−38≈2.3073×10−28k_eq^2\approx8.988\times10^{9}\times2.5670\times10^{-38}\approx2.3073\times10^{-28} 이므로

    R2≈2.3073×10−2810−20=2.3073×10−8R^2\approx\frac{2.3073\times10^{-28}}{10^{-20}}=2.3073\times10^{-8}

  4. 4

    제곱근을 취해요. R>0R>0 이므로 R=2.3073×10−8≈1.519×10−4 mR=\sqrt{2.3073\times10^{-8}}\approx1.519\times10^{-4}\,\text{m} 예요.

답

있어요. R≈0.0001519 mR\approx0.0001519\,\text{m}

자주 하는 실수

단위와 지수를 잘못 계산해요. 특히 q2q^2 에서 10−1910^{-19} 도 함께 제곱해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

R=0.0001519 mR=0.0001519\,\text{m}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 3번
# 함수의 연속활용보통
3.OpenStax 1권 · 2.1절 · 16번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 공의 평균 속도를 구하세요.

a. [4.99,5][4.99,5] b. [5,5.01][5,5.01] c. [4.999,5][4.999,5] d. [5,5.001][5,5.001]

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the ball over the given time intervals.

a. [4.99,5][4.99,5] b. [5,5.01][5,5.01] c. [4.999,5][4.999,5] d. [5,5.001][5,5.001]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 6번
# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 1권 · 2.1절 · 17번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 t=5t=5 sec 에서 공의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the ball at t=5t=5 sec.

정답·풀이 보기

−49 m/sec (공의 속도는 아래 방향으로 49 m/sec이다)

원본 교재 풀이(영어)

−49 m/sec (velocity of the ball is 49 m/sec downward)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 20번
# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 2.1절 · 18번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 돌의 평균 속도를 구하세요.

a. [1,1.05][1,1.05] b. [1,1.01][1,1.01] c. [1,1.005][1,1.005] d. [1,1.001][1,1.001]

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the stone over the given time intervals.

a. [1,1.05][1,1.05] b. [1,1.01][1,1.01] c. [1,1.005][1,1.005] d. [1,1.001][1,1.001]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 22번
# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 2.1절 · 19번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 t=1t=1 sec 에서 돌의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the stone at t=1t=1 sec.

정답·풀이 보기

5.2 m/sec

원본 교재 풀이(영어)

5.2 m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.1절 · 2번
# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 2.1절 · 20번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 로켓의 평균 속도를 구하세요.

a. [9,9.01][9,9.01] b. [8.99,9][8.99,9] c. [9,9.001][9,9.001] d. [8.999,9][8.999,9]

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the rocket over the given time intervals.

a. [9,9.01][9,9.01] b. [8.99,9][8.99,9] c. [9,9.001][9,9.001] d. [8.999,9][8.999,9]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 5번
# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 2.1절 · 21번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 t=9t=9 sec 에서 로켓의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the rocket at t=9t=9 sec.

정답·풀이 보기

−9.8 m/sec

원본 교재 풀이(영어)

−9.8 m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 8번
# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 2.1절 · 22번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 달리는 사람의 평균 속도를 구하세요.

a. [1.95,2.05][1.95,2.05] b. [1.995,2.005][1.995,2.005] c. [1.9995,2.0005][1.9995,2.0005] d. [2,2.00001][2,2.00001]

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the runner over the given time intervals.

a. [1.95,2.05][1.95,2.05] b. [1.995,2.005][1.995,2.005] c. [1.9995,2.0005][1.9995,2.0005] d. [2,2.00001][2,2.00001]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.1절 · 5번
# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 2.1절 · 23번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 t=2t=2 sec 에서 달리는 사람의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the runner at t=2t=2 sec.

정답·풀이 보기

6 m/sec

원본 교재 풀이(영어)

6 m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 11번
# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 24번우리말 번역

직선을 따라 움직이는 입자의 변위가 함수 x(t)=t2−2t+4x(t)={t}^{2}-2t+4 로 주어진다. 여기서 x 는 미터 단위로, t 는 초 단위로 측정한다. 시간 구간 t=[0,2]t=[0,2] 에서의 평균 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moving along a line has a displacement according to the function x(t)=t2−2t+4,x(t)={t}^{2}-2t+4, where x is measured in meters and t is measured in seconds. Find the average velocity over the time period t=[0,2].t=[0,2].

정답·풀이 보기

0 m/sec⁡0\,\text{m}/\sec

원본 교재 풀이(영어)

0 m/sec⁡0\,\text{m}/\sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 20번
# 극한의 성질과 계산활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 2장 복습 · 25번우리말 번역

앞의 연습문제를 바탕으로, t=0.01 sec⁡t=0.01\,\sec 이내의 평균 속도를 확인하여 t=2t=2 에서의 순간 속도를 어림하세요.

영어 원문 보기

From the previous exercises, estimate the instantaneous velocity at t=2t=2 by checking the average velocity within t=0.01 sec⁡.t=0.01\,\sec .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 43번
# 극한의 성질과 계산활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.CLP-1 · 1.2절 · 1번우리말 번역

이 절에서 쓰는 의미로, 속력과 속도의 차이는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

As they are used in this section, what is the difference between speed and velocity?

정답·풀이 보기

속력은 음이 아니다. 속도는 방향을 나타내는 부호(양 또는 음)를 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

Speed is nonnegative; velocity has a sign (positive or negative) that indicates direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 20번
# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류
14.CLP-1 · 1.2절 · 2번우리말 번역

속력은 결코 음이 될 수 없다. 그렇다면 0이 될 수는 있습니까?.

영어 원문 보기

Speed can never be negative; can it be zero?

정답·풀이 보기

예. 움직이지 않는 물체의 속력은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes–an object that is not moving has speed 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 1번
# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류
15.CLP-1 · 1.2절 · 3번우리말 번역

아침에 방에서 일어나 학교까지 2킬로미터를 걷고, 점심을 먹으러 다시 2킬로미터를 걷고, 공부하러 커피숍까지 4킬로미터를 걸은 다음, 다음 날 아침까지 방으로 돌아와 있다고 가정하세요. 아침부터 다음 날 아침까지 24시간 동안의 평균 속도는 얼마인지 구하세요. (씨엘피-1에서는 일변수 함수를 다루므로, 이 단계에서는 우리가 사는 세계 전체가 xx축 위에 있다고 생각하세요.)

영어 원문 보기

Suppose you wake up in the morning in your room, then you walk two kilometres to school, walk another two kilometres to lunch, walk four kilometres to a coffee shop to study, then return to your room until the next morning. In the 24 hours from morning to morning, what was your average velocity? (In CLP-1, we are considering functions of one variable. So, at this stage, think of our whole world as being contained in the xx-axis.)

답 쓰고 채점
km/h
정답·풀이 보기

출발한 곳과 도착한 곳이 같으므로 위치의 변화량은 0이고, 시간의 변화량은 24시간이다. 따라서 평균 속도는 024=0\dfrac{0}{24}=0 이므로 시속 0 km이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since you started and ended in the same place, your difference in position was 0, and your difference in time was 24 hours. So, your average velocity was 024=0\dfrac{0}{24}=0 kph.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 2번
# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류
16.CLP-1 · 1.2절 · 5번우리말 번역

시각 tt 에서 물체의 위치가 s(t)s(t) 로 주어져 있다. 이때 시각 t=at=a 부터 t=bt=b 까지의 시간 구간에서 평균 속도는 s(b)−s(a)b−a\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a} 로 주어진다. 이 분수가 곡선 y=s(t)y=s(t) 위의 점 t=at=a 에서 점 t=bt=b 까지의 할선의 기울기도 나타내는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

The position of an object at time tt is given by s(t)s(t). Then its average velocity over the time interval t=at=a to t=bt=b is given by s(b)−s(a)b−a\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a}. Explain why this fraction also gives the slope of the secant line of the curve y=s(t)y=s(t) from the point t=at=a to the point t=bt=b.

정답·풀이 보기

곡선의 기울기는 change in vertical componentchange in horizontal component\dfrac{\text{change in vertical component}}{\text{change in horizontal component}} 로 주어진다. 세로 성분의 변화량은 정확히 s(b)−s(a)s(b)-s(a) 이고, 가로 성분의 변화량은 정확히 b−ab-a 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of a curve is given by change in vertical componentchange in horizontal component\dfrac{\text{change in vertical component}}{\text{change in horizontal component}}. The change in the vertical component is exactly s(b)−s(a)s(b)-s(a), and the change in the horizontal component is exactly b−ab-a.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 3번
# 함수의 극한의 뜻활용기본자동 분류
17.CLP-1 · 1.2절 · 7번우리말 번역

시각 tt (단위: 초)에서 물체의 위치가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. s(t)=3t2+5s(t)=3t^2+5.

(a) 3초부터 5초까지 물체의 평균 속도를 구하세요. (b) 시각 t=1t=1 에서 물체의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time tt (measured in seconds) is given by s(t)=3t2+5s(t)=3t^2+5.

(a) What is the average velocity of the object from 3 seconds to 5 seconds? (b) What is the velocity of the object at time t=1t=1?

답 쓰고 채점
(a)
단위/초
(b)
단위/초
정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: change in positionchange in time=s(5)−s(3)5−3=(3⋅52+5)−(3⋅32+5)5−3=24\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24 이므로 초당 24 단위이다. (b) 강의 노트에서 시각 aa 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} 따라서 이 문제에서는 다음과 같다. v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→0[3(1+h)2+5]−[3(1)2+5]h=lim⁡h→06h+3h2h=lim⁡h→06+3h=6v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6 따라서 t=1t=1 일 때의 속도는 초당 6 단위이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: change in positionchange in time=s(5)−s(3)5−3=(3⋅52+5)−(3⋅32+5)5−3=24\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24 units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time aa is v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} So, in our case: v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→0[3(1+h)2+5]−[3(1)2+5]h=lim⁡h→06h+3h2h=lim⁡h→06+3h=6v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6 So the velocity when t=1t=1 is 6 units per second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 6번
# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류
18.CLP-1 · 1.2절 · 8번우리말 번역

어떤 물체의 시각 tt (단위: 초)에서의 위치가 s(t)=ts(t)=\sqrt{t} 로 주어진다고 하자.

(a) t=1t=1초부터 t=9t=9초까지 물체의 평균 속도는 얼마인가? (b) 시각 t=1t=1에서 물체의 속도는 얼마인가? (c) 시각 t=9t=9에서 물체의 속도는 얼마인가?

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time tt (measured in seconds) is given by s(t)=ts(t)=\sqrt{t}.

(a) What is the average velocity of the object from t=1t=1 second to t=9t=9 seconds? (b) What is the velocity of the object at time t=1t=1? (c) What is the velocity of the object at time t=9t=9?

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: 위치의 변화량시간의 변화량=s(9)−s(1)9−1=3−19−1=14\dfrac{\text{위치의 변화량}}{\text{시간의 변화량}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4} 단위/초이다. (b) 강의 노트에서, 시각 aa 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} 따라서 이 경우에는 다음과 같다.

v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→01+h−1h=lim⁡h→01+h−1h⋅(1+h+11+h+1)=lim⁡h→0(1+h)−1h(1+h+1)=lim⁡h→011+h+1=12 단위/초\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ 단위/초} \end{aligned} (c) v(9)=lim⁡h→0s(9+h)−s(9)h=lim⁡h→09+h−3h=lim⁡h→09+h−3h⋅(9+h+39+h+3)=lim⁡h→0(9+h)−9h(9+h+3)=lim⁡h→019+h+3=16 단위/초\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ 단위/초} \end{aligned}

참고: 평균 속도는 두 순간 속도의 평균이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: change in positionchange in time=s(9)−s(1)9−1=3−19−1=14\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4} units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time aa is v(a)=lim⁡h→0s(a+h)−s(a)hv(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h} So, in our case:

v(1)=lim⁡h→0s(1+h)−s(1)h=lim⁡h→01+h−1h=lim⁡h→01+h−1h⋅(1+h+11+h+1)=lim⁡h→0(1+h)−1h(1+h+1)=lim⁡h→011+h+1=12 units per second\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ units per second} \end{aligned} (c) v(9)=lim⁡h→0s(9+h)−s(9)h=lim⁡h→09+h−3h=lim⁡h→09+h−3h⋅(9+h+39+h+3)=lim⁡h→0(9+h)−9h(9+h+3)=lim⁡h→019+h+3=16 units per second\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ units per second} \end{aligned}

Remark: the average velocity is not the average of the two instantaneous velocities.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 7번
# 함수의 극한의 뜻활용보통자동 분류
19.CLP-1 · 1.5절 · 28번우리말 번역

주사한 지 tt 시간 후 몸속에 있는 어떤 물질의 농도가 어떤 식 c(t)c(t) 로 주어지고, lim⁡t→∞c(t)≠0\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t) \neq 0 이라고 하자. 어떤 종류의 물질을 주사했을 수 있을까요?

영어 원문 보기

Suppose the concentration of a substance in your body tt hours after injection is given by some formula c(t)c(t), and lim⁡t→∞c(t)≠0\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t) \neq 0. What kind of substance might have been injected?

정답·풀이 보기

그 물질이 장기적으로 남아 있는 양은 어떤 양수이다. 즉 그 물질은 계속 남아 있다. 이런 물질의 한 예가 문신의 잉크이다. (주사한 것이 약이었다면 아마 대사되어 lim⁡t→∞c(t)=0\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t)=0 일 것이다.)

참고: 사실 tt 를 무한대로 보내는 것은 그다지 의미가 없다. 수백만 시간이 지나면 몸조차 남아 있지 않을 텐데, 그렇다면 c(t)c(t) 는 무엇을 재고 있는 것일까? 현실에서 식을 사용할 때는 흔히 그 식이 정해진 어떤 범위에서만 유효하다고 이해한다. tt 가 무한대로 갈 때의 극한은 그 함수의 장기적인 변화 양상을 대신 나타내는 것으로 자주 쓰인다.

원본 교재 풀이(영어)

The amount of the substance that will linger long-term is some positive number–the substance will stick around. One example of a substance that does this is the ink in a tattoo. (If the injection was of medicine, probably it will be metabolized, and lim⁡t→∞c(t)=0\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t)=0.)

Remark: it actually doesn't make much sense to let tt go to infinity: after a few million hours, you won't even have a body, so what is c(t)c(t) measuring? Often when we use formulas in the real world, there is an understanding that they are only good for some fixed range. We often use the limit as tt goes to infinity as a stand-in for the function's long-term behaviour.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 19번
# 무한대에서의 극한과 점근선활용도전자동 분류
20.CLP-1 · 1.6절 · 2번우리말 번역

내가 태어났을 때 나는 키가 1미터보다 작았다. 지금은 키가 1미터보다 크다. 내 키에 대해 사잇값 정리가 말해 주는 결론은 무엇일까요?

영어 원문 보기

When I was born, I was less than one meter tall. Now, I am more than one meter tall. What is the conclusion of the Intermediate Value Theorem about my height?

정답·풀이 보기

ff 를 내 키, 내가 태어난 시각을 aa, 지금을 bb 라 하면 f(a)≤1≤f(b)f(a) \leq 1 \leq f(b) 임을 안다. 내 키는 연속인 함수라고 가정하는 것이 합리적이다. 그러면 사잇값 정리에 의해 aa 와 bb 사이에 f(c)=1f(c)=1 인 값 cc 가 존재한다. 즉 내가 태어난 때부터 오늘까지 사이에 내 키가 정확히 1미터였던 어떤 시점(이를 cc 라 했다)이 있다.

사잇값 정리는 내 키가 1미터였던 날이 정확히 언제인지는 말해 주지 않는다는 점에 주의하자. 그런 날이 내가 태어난 때부터 오늘까지 사이에 있었음을 보장할 뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

If we let ff be my height, the time of my birth is aa, and now is bb, then we know that f(a)≤1≤f(b)f(a) \leq 1 \leq f(b). It is reasonable to assume that my height is a continuous function. So by the IVT, there is some value cc between aa and bb where f(c)=1f(c)=1. That is, there is some time (we called it cc) between my birth and today when I was exactly one meter tall.

Notice the IVT does not say precisely what day I was one meter tall; it only guarantees that such a day occurred between my birth and today.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 1번
# 함수의 연속활용기본자동 분류